[收稿日期]2021-06-03;[修改日期]2022-06-22[基金项目]江苏师范大学科研启动基金项目(16XLR029);江苏省“青蓝工程”项目(9212120401)[作者简介]叶专(1988-),男,博士,副教授,从事偏微分方程研究.E-mail:yezhuan815@126.com[通讯作者]温志红(1989-),女,博士,讲师,从事复分析研究.E-mail:wenzhihong1989@163.com第38卷第6期大学数学Vol.38,№.62022年12月COLLEGEMATHEMATICSDec.2022有关两个新颖不等式的进一步推广叶专,温志红(江苏师范大学数学与统计学院,徐州221116)[摘要]基于设序法与函数法,得到两个新颖不等式的更一般形式.[关键词]不等式;单调性;设序法[中图分类号]O172.1[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2022)06-0101-051引言众所周知,不等式的证明方法非常之多,比如构造法、函数法、分析法、换元法、反证法、设序法、凸凹性法、条件极值法等[1-6],其中,设序法顾名思义就是将变量重新排序,充分利用排序的顺序来证明所需要的不等式.实际上,利用单调性是证明不等式的常用方法,构造辅助函数简单,通常是将不等式两边直接做差即可.文献[1]利用函数单调性给出了如下一个新颖不等式:设0≤d≤2,xi>0(i=1,2,…,n),则有maxx1,x2,…,xn∑ni=1[1+(i-1)d]xi≥2+(n-1)d2n∑ni=1xi2,当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.注意,文献[1]中指出上述不等式中关于d的区间限制0≤d≤2中的上限2是最佳的,不能延拓到比2大的某数使得上述不等式成立.受文献[1]的启发,文献[2]中给出了如上结论的一个对偶形式的结果:设0≤d≤2,xi>0(i=1,2,…,n),则有minx1,x2,…,xn∑ni=1[1+(i-1)d]xi≤2+(n-1)d2n∑ni=1xi2,当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.结合设序法与函数法,最近文献[3]将文献[2]所需要的限制条件0≤d≤2放宽到d≥0,即证得如下新颖不等式:设d≥0,xi>0,(i=1,2,…,n),则有minx1,x2,…,xn∑ni=1[1+(i-1)d]xi≤2+(n-1)d2n∑ni=1xi2,当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立.2主要结果如上几个结果形式简单、结果漂亮、证明简洁,受此启发,本文主要对上述结果进行进一步的推广,即得到如下第一个定理.定理1设ai>0(i=1,2,…,n)满足nmaxa1,a2,…,an-2∑ni=1ai≤0,(1)则对于任意的xi>0(i=1,2,…,n),有minx1,x2,…,xn∑ni=1aixi≤∑ni=1ain2∑ni=1xi2,(2)当且仅当x1=x2=…=xn等号成立.注一方面,当n=2时,条件(1)自然成立,这表明对于n=2不需要限制条件(1).另一方面,对于n≥3,当条件(1)去掉时,不等式(2)不再成立.比如考虑n=3的情形,选取a1=1,a2=1000,a3=3003,x1=1,x2=3534,x3=183136.不难验证a1,a2,...
