有关两个新颖不等式的进一步推广_叶专.pdf

收稿日期2 0 2 1-0 6-0 3;修改日期2 0 2 2-0 6-2 2 基金项目江苏师范大学科研启动基金项目(1 6 X L R 0 2 9);江苏省“青蓝工程”项目(9 2 1 2 1 2 0 4 0 1)作者简介叶专(1 9 8 8-),男,博士,副教授,从事偏微分方程研究.E-m a i l:y e z h u a n 8 1 51 2 6.c o m 通讯作者温志红(1 9 8 9-),女,博士,讲师,从事复分析研究.E-m a i l:w e n z h i h o n g 1 9 8 91 6 3.c o m第3 8卷第6期大 学 数 学V o l.3 8,.62 0 2 2年1 2月C O L L E G E MATHEMAT I C SD e c.2 0 2 2有关两个新颖不等式的进一步推广叶 专,温志红(江苏师范大学数学与统计学院,徐州2 2 1 1 1 6)摘 要基于设序法与函数法,得到两个新颖不等式的更一般形式.关键词不等式;单调性;设序法 中图分类号O 1 7 2.1 文献标识码C 文章编号1 6 7 2-1 4 5 4(2 0 2 2)0 6-0 1 0 1-0 51 引 言众所周知,不等式的证明方法非常之多,比如构造法、函数法、分析法、换元法、反证法、设序法、凸凹性法、条件极值法等1-6,其中,设序法顾名思义就是将变量重新排序,充分利用排序的顺序来证明所需要的不等式.实际上,利用单调性是证明不等式的常用方法,构造辅助函数简单,通常是将不等式两边直接做差即可.文献1 利用函数单调性给出了如下一个新颖不等式:设0d2,xi0(i=1,2,n),则有m a xx1,x2,xn ni=11+(i-1)dxi 2+(n-1)d2n ni=1xi 2,当且仅当x1=x2=xn时等号成立.注意,文献1 中指出上述不等式中关于d的区间限制0d2中的上限2是最佳的,不能延拓到比2大的某数使得上述不等式成立.受文献1 的启发,文献2 中给出了如上结论的一个对偶形式的结果:设0d2,xi0(i=1,2,n),则有m i nx1,x2,xn ni=11+(i-1)dxi 2+(n-1)d2n ni=1xi 2,当且仅当x1=x2=xn时等号成立.结合设序法与函数法,最近文献3 将文献2 所需要的限制条件0d2放宽到d0,即证得如下新颖不等式:设d0,xi0,(i=1,2,n),则有m i nx1,x2,xn ni=11+(i-1)dxi 2+(n-1)d2n ni=1xi 2,当且仅当x1=x2=xn时等号成立.2 主要结果如上几个结果形式简单、结果漂亮、证明简洁,受此启发,本文主要对上述结果进行进一步的推广,即得到如下第一个定理.定理1 设ai0(i=1,2,n)满足nm a xa1,a2,an -2ni=1ai0,(1)则对于任意的xi0(i=1,2,n),有m i nx1,x2,xn ni=1aixi ni=1ain2 ni=1xi 2,(2)当且仅当x1=x2=xn等号成立.注 一方面,当n=2时,条件(1)自然成立,这表明对于n=2不需要限制条件(1).另一方面,对于n3,当条件(1)去掉时,不等式(2)不再成立.比如考虑n=3的情形,选取a1=1,a2=1 0 0 0,a3=3 0 0 3,x1=1,x2=3 53 4,x3=1 8 31 3 6.不难验证a1,a2,a3不满足条件(1),同时有m i nx1,x2,x3 a1x1+a2x2+a3x3 =1+3 53 41 0 0 0+1 8 31 3 63 0 0 35 0 7 1,a1+a2+a39(x1+x2+x3)2=4 0 0 491+3 53 4+1 8 31 3 6 25 0 6 8.这就表明不等式(2)不再成立.注意到当ai=1+(i-1)d(i=1,2,n),定理1与文献3 的结果是一致的,因此定理1是前人结果的进一步推广.对于定理1的对偶形式,给出如下定理.定理2 设00(i=1,2,n)有m a xx1,x2,xn ni=1aixi ni=1ain2 ni=1xi 2,(4)当且仅当x1=x2=xn等号成立.注 这里需要指出的是当条件(3)去掉时,不等式(4)不再成立.比如考虑n=2的情形,选取a1=1,a2=4,x1=1 0,x2=0.1.不难验证a1,a2不满足条件(3),同时有m a xx1,x2 a1x1+a2x2 =1 0 4,a1+a24x1+x2 2=1 0 128 01 2 7.5.这就表明此时不等式(4)不再成立.注意到当ai=1+(i-1)d(i=1,2,n),条件(3)变成n2m i n2,1+d -2+(n-1)d n0.直接计算,从上式可得d应满足0d2,这与文献1 的结果是一致的,因此定理2是前人结果的进一步推广.3 定理的证明定理1的证明 对于任意给定的n个正实数xi(i=1,2,n),按照从小到大排序,即xk1xk2xkn,其中ki i=ni=1为1,2,n 的一个排序.注意到ni=1aixi=ni=1akixki,因此,只需证明:对于xk1xk2xkn,如下不等式成立xk1 ni=1akixki ni=1akin2 ni=1xki 2.(5)为此,定义一元函数f201大 学 数 学 第3 8卷f(xkn)=ni=1akin2 ni=1xki 2-xk1 ni=1akixki.对函数f求导数,利用条件(1)可得d f(xkn)xkn=2ni=1akin2 ni=1xki-aknxk12ni=1akin2n xk1 -aknxk1=2ni=1akinxk1-aknxk1 m a xa1,a2,an xk1-aknxk10.这表明f(xkn)在(0,)是递增函数.又xk1xk2xkn,从而当取xkn=xk1时,有xk1=xk2=xkn,故f(xkn)f(xk1)=ni=1akin2n xk1 2-xk1ni=1aki xk1=0.综上所述,不等式(5)成立,也就有不等式(2)成立,定理1证明完毕.定理2的证明 对于任意给定的n个正实数xi(i=1,2,n),按照从小到大排序,即xk1xk2xkn,其中ki i=ni=1为1,2,n 的一个排序.首先验证m a xx1,x2,xn ni=1aixi m a xxk1,xk2,xkn ni=1aixkn+1-i.(6)事实上,将矩阵a1a2anxknxkn-1xk1 第二行中xkn+1-i与xkn+1-j(i0,q0,d0,证明对任意的正整数n,有1-qn 22n(a1-d)(1-q)+d(1-qn)-a1+(n-1)d(1-q)qn m i n1,qn-1 2a1+(n-1)d.证 注意到当q=1时,所需证明的不等式自然成立.为此,只需要证明q0且q1时,所需证明的不等式成立即可.现在,选取ai=a1+(i-1)d,xi=x1qi-1,i=1,2,n,x10.直接计算可得 nm a xa1,a2,an -2ni=1ai=n an-2ni=1ai=n a1+(n-1)d -2a1+(n-1)d n=-n a10,这表明条件(1)成立.从而根据定理1有m i nx1,x2,xn ni=1aixi ni=1ain2 ni=1xi 2.(8)注意到ni=1aixi为等差数列乘以等比数列的和,因此根据错位相减法得到ni=1aixi=a1x1+d(x2+x3+xn)-q anxn1-q =(a1-d)x1+d(x1+x2+x3+xn)-q anxn1-q=(a1-d)x1+dx1(1-qn)1-q-a1+(n-1)d x1qn1-q=(a1-d)(1-q)+d(1-qn)-a1+(n-1)d (1-q)qn(1-q)2x1.简单计算可得ni=1ain2 ni=1xi 2=2a1+(n-1)d2nx1(1-qn)1-q 2=2a1+(n-1)d2n(1-qn)2(1-q)2x21.将上述两个估计代入到(8)知 m i nx1,x2,xn (a1-d)(1-q)+d(1-qn)-a1+(n-1)d (1-q)qn x1 2a1+(n-1)d (1-qn)22nx21.(9)注意到当q(0,1)时,有m i nx1,x2,xn =xn=x1qn-1,将其代入到(9)可得qn-1(a1-d)(1-q)+d(1-qn)-a1+(n-1)d (1-q)qn 2a1+(n-1)d (1-qn)22n.(1 0)注意到当q(1,)时,有m i nx1,x2,xn =x1,将其代入到(9)可知(a1-d)(1-q)+d(1-qn)-a1+(n-1)d (1-q)qn 2a1+(n-1)d (1-qn)22n.(1 1)401大 学 数 学 第3 8卷综合(1 0)和(1 1),不难验证1-qn 22n(a1-d)(1-q)+d(1-qn)-a1+(n-1)d(1-q)qn m i n1,qn-1 2a1+(n-1)d.因此,所需要的结论成立.例2 设0a1a2an,满足n2m i n2a1,a2 -2ni=1ai0,证明:如下不等式成立 ni=1ai ni=11ai 2n3a1.证 选取xi=1ai,i=1,2,n.注意到条件0a1a2an,可知m a xx1,x2,xn =x1=1a1.于是根据定理2有1a1nni=1ain2 ni=11ai 2,将上式整理可得 ni=1ai ni=11ai 2n3a1.5 结 论不同形式的不等式,在理论分析和实际应用中都具有重要作用.文中对已有特殊情形的不等式进行推广,通过对某些参数加以新的特殊限制条件,得到了两个新颖不等式的更一般的推广结果,并给出了严格的证明和应用举例.对这些不等式进行深入挖掘和多方面思考、逐步深化、循序渐进,有助于培养探索意识和发现能力,体会运用联系的观点分析问题,领会从简单到复杂、从表面到本质的科学思维方法.同时,可以进一步完善和丰富不等式的相关内容.致谢 作者非常感谢相关参考文献对本文的启发及审稿专家提出的宝贵修改意见.参 考 文 献1 杨克昌,陈培德.一个新颖不等式的加强J.数学通报,1 9 9 9(7):4 0-4 1.2 朱玉扬.一个新颖不等式的对偶结果J.数学通报,2 0 0 0(5):4 6-4 7.3 查正权.一个不等式的推广J.高师理科学刊,2 0 1 8(3 8):2 3-2 4.4 王振辉,陈超平.一道研究生考试不等式题的最佳常数J.大学数学,2 0 1 9,3 5(6):8 1-8 4.5 华云.关于GA-凸函数的H a d a m a r d型不等式J.大学数学,2 0 0 8,2 4(2):1 4 7-1 4 9.6 赵添润,王东红,王岩青.一组凹凸性不等式及其应用J.大学数学,2 0 2 1,3 7(1):1 1 9-1 2 2.R e m a r k so nF u r t h e rG e n e r a l i z a t i o no fT w oN e wI n e q u a l i t i e sY EZ h u a n,WE NZ h i h o n g(D e p a r t m e n to fM a t h e m a t i c sa n dS t a t i s t i c s,J i a n g s uN o r m a lU n i v e r s i t y,X u z h o uJ i a n g s u2 2 1 1 1 6,C h i n a)A b s t r a c t:B a s e do nt h es e q u e n c em e t h o da n dt h e f u n c t i o nm e t h o d,t w on e wi n e q u a l i t i e sa r eo b t a i n e d i nm o r eg e n e r a lf o r m.K e yw o r d s:i n e q u a l i t y;m o n o t o n i c i t y;s e q u e n c