有限FI代数的矩阵表示_韦安丽.pdf

华南师范大学学报(自然科学版)Journal of South China Normal University(Natural Science Edition)2022，54(6):102108doi:106054/jjscnun2022091收稿日期:20210827华南师范大学学报(自然科学版)网址:http:journalnscnueducn基金项目:山东省自然科学基金项目(Z2020MA053)*通信作者:李莹，Email:liyingld 163com有限 FI 代数的矩阵表示韦安丽，李莹*，赵建立，丁文旭(聊城大学数学科学学院/矩阵半张量积理论与应用研究中心，聊城 252000)摘要:将矩阵半张量积理论应用于 FI 代数系统的描述，给出了 FI 代数的矩阵表示，并借助于此矩阵表示研究了 FI代数的同态、同构及其上导子的相关结构的性质。同时，利用逻辑矩阵运算获得了检测上述性质的直接可验证条件。关键词:矩阵半张量积;FI 代数;同态和同构;导子中图分类号:O159文献标志码:A文章编号:10005463(2022)06010207The Matrix Expression of Finite FI AlgebraWEI Anli，LI Ying*，ZHAO Jianli，DING Wenxu(School of Mathematical Sciences/esearch Center of Semitensor Product of Matrices:Theory and Applications，Liaocheng University，Liaocheng 252000，China)Abstract:The theory of the semitensor product of matrices is applied to systematic matrix description of FI alge-bra，and the matrix expressions of FI algebra are presented Via these matrix expressions，the properties of the ho-momorphisms，isomorphisms and related structures of the derivatives of the FI algebra are studied At the sametime，straightforward verifiable conditions for detecting the properties above are obtained by using logical matricesoperationsKeywords:semitensor product of matrices;FI algebra;homomorphism and isomorphism;derivation模糊蕴涵代数1，简称 FI 代数，揭示了蕴涵算子的本质。众多著名的模糊逻辑代数系统，如 MV代数2、BL 代数3、0代数4、剩余格5 和格蕴涵代数6 等，都是 FI 代数的特殊子类代数。迄今为止，许多科学工作者从事这方面的研究并取得了丰硕成果714。例如，王国俊7 证明了 3种不同形式的 MV代数刻画的等价性，同时分析了MV代数、BL代数和 0代数的逻辑背景;ZHU 和XU9 发展了一般剩余格的滤波理论;裴道武等10 揭示了 FI 格与模糊逻辑中几个重要代数系统之间的紧密联系，且一些重要的模糊逻辑代数系统都是FI 格类的子类;吴达13 在 FI 代数中引进“交换”运算，从而得到了进一步刻画 FI 代数及 HFI 代数的若干结果。矩阵半张量积是一种新的矩阵乘积，是描述有限集上映射的强大工具，已成功应用于布尔网络15、密码学16、图着色17、信息安全18 和车辆控制19 等领域。基于此，本文将矩阵半张量积应用于逻辑代数研究领域，给出了 FI 代数的若干等价刻画:通过矩阵半张量积方法在统一的理论框架内刻画了有限 FI 代数;利用矩阵表达式，将有限 FI 代数上抽象的逻辑运算规律转化为具体逻辑矩阵的简单运算;彻底解决了有限 FI 代数同构的分类问题。1预备知识在本文中，采用以下符号:R表示实数域;Rn表示所有 n 维实列向量集合;Rmn表示所有 mn 阶实矩阵集合;Lmn表示 mn 阶逻辑矩阵集合;AT表示矩阵 A 的转置，Coli(A)表示矩阵 A 的第 i 列;In表示 n 阶单位矩阵，in表示 In的第 i 列，1t表示 t 个元素全为 1 的列向量;n=in|i=1，n，=2;Dn=1，2，n，D=0，1;X 表示集合 X 的基数;表示矩阵的 Kronecker 积;。表示矩阵半张量积。定义 120 对于矩阵 A=(aij)Rmn，B=(bij)Rpq，定义 A 和 B 的 Kronecker 积为:AB=a11Ba12Ba1nBa21Ba22Ba2nBam1Bam2BamnB 。定义 220 设矩阵 ARmn，BRpq，定义 A 与B 的半张量积为A。B=(AItn)(BItP)，其中 t 为 n 和 p 的最小公倍数。当 n=p 时，A。B=AB，即矩阵半张量积是普通矩阵乘法的推广，并且保留矩阵乘法的重要性质。矩阵半张量积具有下列性质:引理 120 设 A，B，C 是实矩阵，a，bR，则(1)(分配律)A。(aBbC)=aA。BbA。C，(aAbB)。C=aA。CbB。C;(2)(结合律)(A。B)。C=A。(B。C);(3)设 xRm，yRn，则 x。y=xy。引理 220 设 xRt，ARmn，则 x。A=(ItA)。x。定义 321 换位矩阵 Wm，n Rmnmn定义为Wm，n=n1m，n2m，nmm。换位矩阵的作用是交换 2 个不同维的列向量因子在矩阵半张量积运算下的顺序。引理 321 设 xRm，yRn，则 Wm，n。x。y=y。x。设 H=h1，h2，hr 是一个有限集，如果可以用一个向量 irr表示集合 H 中的每个元素，即hiir(i=1，2，r)，则称这种表达为有限集的向量表达式，其对应顺序可以任意指定。例如，在经典逻辑中，D=0，1，一个逻辑变量xD 可以用向量形式表示:xx1x。类似地，经典逻辑变量的向量表达式也可以用于多值逻辑。例 1考虑 k 值逻辑，定义ik1kik(i=0，1，k1)。基于此，有ikjk=max(i，j)k;ikjk=min(i，j)k;ik=k+1ik。利用向量表达式，一个 n 维变量逻辑函数 f:DnD 可以表示为从 n到 的一个映射。引理4 22 设映射 f:DnD，利用向量表达式，有f(x1，xn)=Mf。x1。x2。xn，其中 MfL22n是唯一的，叫做 f 的结构矩阵。例 2在例 1，当 k=2 时，有 1 12，0 22。记、的结构矩阵分别为 Mc、Md、Mn，由引理 4可得1212=12=Mc。12。12=Col1(Mc);1222=22=Mc。12。22=Col2(Mc);2212=22=Mc。22。12=Col3(Mc);2222=22=Mc。22。22=Col4(Mc)。计算显示 Mc=2 1 2 2 2。类似地，可以得到Md=2 1 1 1 2 和 Mn=2 2 1。2有限 FI 代数的矩阵表示定义 41 一个(2，0)型代数(X，0)称为模糊蕴涵代数，简称为 FI 代数，如果对任意 x，y，z X，有(I1)x(yz)=y(xz);(I2)(xy)(yz)(xz)=1;(I3)xx=1;(I4)xy=yx=1x=y;(I5)0 x=1，其中 1=00。有限集合 X=x1，x2，xt(t)，将 X 中的元素转化为向量的形式:x1 1t，x2 2t，0=xt tt。记的结构矩阵为 M(t)，下面给出与 FI 代数等价的代数条件。定理 1设 X=t，(X，0)是 FI 代数当且仅当 M(t)满足(I1)M(t)(It M(t)=M(t)(ItM(t)Wt，t;(I2)(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)(ItWt，t3)Pt(ItPt)(It2Pt)=1Tt3(M(t)t2t2);(I3)M(t)Pt=1Tt(M(t)t2t2);301第 6 期韦安丽等:有限 FI 代数的矩阵表示(I4)M(t)xy=M(t)Wt，t xy=M(t)t2t2x=y;(I5)M(t)tt=1Tt(M(t)t2t2)，其中，0tt，1M(t)t2t2，Pt=diag(1t，2t，tt)，且对xt，x2=Ptx，t2。证明易证定义 4 的条件(I1)(I5)可等价于定理 1 的条件(I1)(I5)，下面只给出条件(I2)等价于条件(I2)的详细证明，其他的证明过程类似或显见。设(X，0)是有限 FI 代数，且 X=t，定义 0tt，由 1=00 可以得到 1 M(t)t2t2。x，y，z X，条件(I2)的矩阵表示如下:M(t)(M(t)xy)(M(t)(M(t)yz)(M(t)xz)=M(t)t2t2，即(M(t)2(It2(M(t)2)xy2z(M(t)xz)=M(t)t2t2。进一步可得(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)xy2zxz=M(t)t2t2，则有(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)xWt，t3xy2z2=M(t)t2t2，从而(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)(ItWt，t3)PtxPtyPtz=M(t)t2t2，故(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)(ItWt，t3)Pt(ItPt)(It2Pt)xyz=M(t)t2t2。由 x、y、z 的任意性，可得(M(t)2(It2(M(t)2)(It4M(t)(ItW t，t3)Pt(ItPt)(It2Pt)=1Tt3(M(t)t2t2)，由此可知条件(I2)等价于条件(I2)。证毕。例 3设 t=2，由于为一个二元算子，故可设M(2)=m1，m2，m3，m4(mi，i=1，2，3，4)，只有唯一的一组 M(2)满足定理 1 的条件(I1)(I5)，即M(2)=10110100()。例 4设 t=3，类比上述步骤，运用穷举法只得到 4 组满足 FI 代数的定义的 M(3):(1)M1(3)=100110111010001000001000000 ;(2)M2(3)=100110111010000000001001000 ;(3)M3(3)=000100000110010111001001000 ;(4)M4(3)=001100000110010111000001000 。可以在 FI 代数(X，0)上定义一个二元关系:xyxy=1(x，yX)。显然，由诱导的关系是一个偏序。引理 510 设 X，0()是一个 FI 代数，对于任意 x，y，z X，下列性质成立:(i)x1=1;(ii)1x=x;(iii)x(yx)=1;(iv)xyzxzy，yzxz;(v)xyzyxz;(vi)(yz)(xy)(xz)。对于有限 FI 代数，利用结构矩阵 M(t)与矩阵半张量积，可以将引理 5 的(i)(vi)由定性运算转化为定量运算，给出它们的代数表达式。定理 2设 X，0()是一个有限 FI 代数，且X=t。对于 FI 代数上的偏序关系进行矩阵表示，得到M(t)xy=M(t)t2t2。由此二元关系可得到与引理 5 的(i)(vi)等价的代数表达形式:(i)M(t)Wt，t M(t)t2t2=1Tt(M(t)t2t2);(ii)M(t)(M(t)t2t2)=It;(iii)M(t)(ItM(t)(ItWt，t)Pt=1Tt2(M(t)t2t2);(iv)M(t)xy=M(t)t2t2(M(t)2(It2M(t)Wt，t(ItWt，t2)(It2Pt)xyz=M(t)t2t2，(M(t)2(It2M(t)Wt，t2(It2 Pt)xyz=M(t)t2t2;(v)M(t)(ItM(t)