有界洞型区域内半线性椭圆型方程组的正解_周子豪.pdf

有界洞型区域内半线性椭圆型方程组的正解周子豪，钟金标*（安庆师范大学 数理学院，安徽 安庆 246133）摘要：本文在有界洞型区域内，讨论了带有第一边界条件的一类半线性椭圆型方程组的可解性。此方程组各方程中未知函数均包含了线性部分与非线性部分，通过将方程组边值问题转换为向量方程边值问题后，再利用不动点定理、Green第一恒等式和Poincare不等式等理论方法证明了正解的存在性，同时讨论了在一定条件下解的唯一性。本文分别给出了正解存在性和正解唯一性的两个具体定理应用实例。关键词：正解；不动点定理；紧正算子；Green第一恒等式；Poincare不等式中图分类号：O175.25文献标志码：A文章编号：1007-4260（2023）01-0016-06Positive Solutions to Semilinear Elliptic Systems in a Bounded Domainwith a HoleZHOU Zihao,ZHONG Jinbiao*(School of Mathematics and Physics,Anqing Normal University,Anqing 246133,China)Abstract:In this paper,the solvability of a class of semilinear elliptic systems with first boundary condition are discussedin a bounded domain with a hole.Each equation in this system have contained linear part and nonlinear part about unknownfunctions.The existence of positive solutions has been proved by using the fixed-point theorem,Green s first identity,Poin-care inequality and other theoretical methods after systems boundary problems are transformed into vector equations boundaryproblems.Also,under certain conditions,the uniqueness of solution is discussed.As an application of the main theorem,twospecific examples of the existence and uniqueness of positive solutions are given.Key words:positive solutions;fixed-point theorem;compact and positive operator;Green s first identity;Poincare in-equality许多重要的学科和课题都离不开偏微分方程，时至今日偏微分方程仍没有固定的求解方法，很多问题需要在给定的区域或条件下讨论才有意义。相较于常微分方程而言，偏微分方程的求解更具复杂性和挑战性。本文考察半线性椭圆型方程组|-u=a1(x)u+a2(x)v+f(x,u,v),x -v=a3(x)u+a4(x)v+g(x,u,v),x u=v=0,x 1u=v=b,x 2，（1）其中，ai(x)(i=1,2,3,4)为上非负Ho?lder连续函数，为Rn的有界洞型区域，的内外边界分别记为收稿日期：2021-12-30作者简介：周子豪（1997），男，安徽安庆人，安庆师范大学数理学院硕士研究生，研究方向为偏微分方程。E-mail：通信作者：钟金标（1964），男，安徽安庆人，博士，安庆师范大学数理学院教授，硕士生导师，研究方向为偏微分方程。E-mail：2023年2月第29卷第1期安庆师范大学学报（自然科学版）Journal ofAnqing Normal University（Natural Science Edition）Feb.2023Vol.29 No.1DOI：10.13757/34-1328/n.2023.01.003第1期1与2，边界光滑，且b 0为正常数。早期文献1研究了下列半线性椭圆型方程边值问题|-u=uN+2N-2,x u=0,x 1u=b,x 2，（2）得出了存在正数b*，使得当b b*时，问题（2）没有解。文献2在环形区域上研究了下列半线性椭圆型方程边值问题|-u=f(u),x u=0,x 1u=b,x 2，（3）并得到相同结论，其中非线性项f(u)为凸函数，且在0与处为超线性。文献3在环形区域=x RN|r1|x 0对应的特征函数1(x)即为区域中的正函数。设h是问题|h=0,x h=0,x 1h=1,x 2（5）的解，则由强极值原理，可知在区域中0 h 1，利用此解作下述变换：u =u-bh，v =v-bh。则问题（1）转换成|-u =a1(x)(u +bh)+a2(x)(v +bh)+f(x,u +bh,v +bh),x -v =a3(x)(u +bh)+a4(x)(v +bh)+g(x,u +bh,v +bh),x u =v =0,x ，（6）显然，若问题（6）有非负解，则问题（1）有正解。记算子L=-，则L-1=(-)-1是紧正算子6。令U=()u v，F(x,U)=()a1(x)bh+a2(x)bh+f(x,u +bh,v +bh)a3(x)bh+a4(x)bh+g(x,u +bh,v +bh)，于是问题（6）可转换成向量形式：LU=A(x)U+F(x,U),x U=0,x ，（7）假设问题（1）中的函数满足下列条件：(H1)f(x,s,t)和g(x,s,t)关于(x,s,t)在0,+)2上非负局部Ho?lder连续；(H2)0 f(x,s,t)C，0 g(x,s,t)C，其中C是一个正常数。周子豪，钟金标：有界洞型区域内半线性椭圆型方程组的正解 17安庆师范大学学报（自然科学版）2023年1引理引理17设是一个有界区域，假设上的每一点关于Laplace算子是正则的，且f是区域中有界局部的Ho?lder连续函数，则古典Dirichlet问题在区域中有u=f，在上u=对于任意连续边值都是唯一可解的。引理28（不动点定理）设X是一个Banach空间，D是X中的一个闭凸子集，若T是D到D的紧映射，R是正常数，对于满足U=R的任意U D，有U tT(U)，其中t 0,1，则T有一个不动点U D且U R。2解的存在性定理1若|A(x)1，对于t 0,1，则向量方程U=tL-1A(x)U,x U=0,x （8）只有零解。证明因为L-1:C()2C()2是紧正算子，所以问题（8）等价于|-u =ta1(x)u +ta2(x)v,x -v =ta3(x)u +ta4(x)v,x u =v =0,x 。（9）在问题（9）中，分别对两个方程各边乘上u 与v，然后在上积分，可得-u u dx=ta1(x)(u )2dx+ta2(x)u v dx，-v v dx=ta3(x)u v dx+ta4(x)(v )2dx。利用t 0,1和Green第一恒等式7，可得|Du 2dx a1(x)(u )2dx+a2(x)u v dx，|Dv 2dx a3(x)u v dx+a4(x)(v )2dx。利用Cauchy不等式9，可得|Du 2dx|a1(x)(u )2dx+|a2(x)(u )2+(v )22dx，|Dv 2dx|a3(x)(u )2+(v )22dx+|a4(x)(v )2dx。利用Poincare不等式10，可得|Du 2dx|a1(x)1|Du 2dx+|a2(x)21(|Du 2+|Dv 2)dx，|Dv 2dx|a3(x)21(|Du 2+|Dv 2)dx+|a4(x)1|Dv 2dx。将上述两式相加，可得(|Du 2+|Dv 2)dx 2|a1(x)+|a2(x)+|a3(x)21|Du 2dx+|a2(x)+|a3(x)+2|a4(x)21|Dv 2dx|A(x)1|Du 2dx+|A(x)1|Dv 2dx=|A(x)1(|Du 2+|Dv 2)dx，即(|Du 2+|Dv 2)dx|A(x)1(|Du 2+|Dv 2)dx。又因为|A(x)1，所以(|Du 2+|Dv 2)dx=0，即Du =Dv =0。而且在上u =v =0，且u,v 是常数，所以在区域中u =v =0，即U=0。定理2若|A(x)0，对于满足U=R的任意U D和t 0,1，则U tT(U)成立。若不然，则存在0,1中的序列 tn和D中的序列-Un，且满足-Un+，当n +时，有-Un=tnT(-Un)=tnL-1A(x)-Un+tnL-1F(x,-Un)。令n=-Un-Un，则n满足n=1，且n=tnTn=tnL-1A(x)n+tnL-1F(x,-Un)-Un，（12）其中，F(x,-Un)=()a1(x)bh+a2(x)bh+f(x,-un+bh,-vn+bh)a3(x)bh+a4(x)bh+g(x,-un+bh,-vn+bh)。因为ai(x)(i=1,2,3,4)为上非负Ho?lder连续函数，b 0为正常数，并且在区域中0 h 1，所以F(x,-Un)中的a1(x)bh+a2(x)bh和a3(x)bh+a4(x)bh有界。再利用条件(H1)和(H2)，可知f(x,-un+bh,-vn+bh)和g(x,-un+bh,-vn+bh)有 界，故F(x,-Un)有 界，于 是 当n +时，F(x,-Un)-Un 0。利用L-1的紧性，在必要时取子列，可得L-1A(x)n是收敛的。显然有tn t00,1和n 0 D，且0=1。在方程（12）的两边取极限，可得0=t0L-1A(x)0。因此，由定理1可以得到0=0，又因为0=1，故两者矛盾，所以假设成立。再利用引理2的条件，可知T有一个不动点U D，且U R，从而问题（7）存在有界非负解，由此得到问题（1）存在有界正解。3解的唯一性令F(x,U)=()f(x,u)g(x,v)，其中F(x,U)的各项关于各自的变量是非负连续的。考察半线性椭圆型方程组|-U=A(x)U+F(x,U),x U=0,x 1U=b,x 2，（13）其中U=()uv，A(x)=()a1(x)a2(x)a3(x)a4(x)。假设问题（13）中的函数满足条件：(H3)f(x,u)关于u单调递减，而g(x,v)关于v单调递减。定理3若|A(x)1，且f,g满足条件(H3)，则问题（13）的正解不超过一个。证明设()u1v1和()u2v2是问题（13）的两个正解，则分别成立周子豪，钟金标：有界洞型区域内半线性椭圆型方程组的正解 19安庆师范大学学报（自然科学版）2023年|-u1=a1(x)u1+a2(x)v1+f(x,u1),x -v1=a3(x)u1+a4(x)v1+g(x,v1),x u1=v1=0,x 1u1=v1=b,x 2，|-u2=a1(x)u2+a2(x)v2+f(x,u2),x -v2=a3(x)u2+a4(x)v2+g(x,v2),x u2=v2=0,x 1u2=v2=b,x 2，将上述两个方程组各边分别相减，可得|-(u1-u2)=a1(x)(u1-u2)+a2(x)(v1-v2)+f(x,u1)-f(x,u2),x -(v1-v2)=a3(x)(u1-u2)+a4(x)(v1-v2)+g(x,v1)-g(x,v2),x u1-u2=0,v1-v2=0,x 。（14）在问题（14）中，分别对各方程两边乘上(u1-u2)与(v1-v2)，然后在上积分，可得-(u1-u2)(u1-u2)dx=a1(x)(u1-u2)2dx+a2(x)(u1-u2)(v1-v2)dx+f(x,u1)-f(x,u