[收稿日期]2022-02-20;[修改日期]2022-08-31[基金项目]高等学校大学数学教学研究与发展中心2020年项目(CMC20200204);华中科技大学教学研究专项项目(2019026);华中科技大学教学研究专项项目(2020023)[作者简介]黄永忠(1965-),男,博士,教授,从事数学分析课程教学研究.E-mail:huangyz@hust.edu.cn[通讯作者]雷冬霞(1973-),女,博士,副教授,从事数学分析课程教学研究.E-mail:dongxialei@hust.edu.cn第38卷第6期大学数学Vol.38,№.62022年12月COLLEGEMATHEMATICSDec.2022与p级数的余项有关的级数与极限黄永忠,雷冬霞(华中科技大学数学与统计学院,武汉430074)[摘要]通过用Euler-Maclaurin公式建立p级数余项的一个较高阶的等式,给出两个与p级数余项有关的级数在p>2,p=2,以及1
1时,p级数∑∞k=11kp是收敛的.文献[1]利用p级数的余项rn(p)=∑∞k=n+11kp关于1n的阶,给出了级数∑∞n=1nmrn(p)当p>m+2≥1时的计算式子.本文继续考虑与rn(p)有关的级数和极限.熟知,当p>1时,rn(p)=1p-1·1np-1+o1np-1(可见文献[1]).本文先用Euler-Maclaurin公式(文献[2]式(19))建立rn(p)的一个进一步的等式(见引理2)rn(p)=1(p-1)np-1-12np+O1np+1,然后考虑级数∑∞n=1∑∞k=n1kp-1(p-1)np-1,得到它在p>2,p=2以及11,ζ(p)=∑∞k=11kp.2两个引理引理1[3]对q∈(0,1),有∑nk=11kq=1(1-q)nq-1+μ+O1nq,(1)其中μ是与q有关的常数,且μ=-q1-q-q∫+∞1x-[x]xq+1dx∈-11-q,-q1-q.(2)注1由引理1和等式∑nk=11(2k-1)q=∑2nk=11kq-12q∑nk=11kq可得∑nk=11(2k-1)q=1(1-q)2qnq-1+1-12qμ+O1nq.(3)引理2对p>1,有∑∞k=n+11kp=1(p-1)np-1-12np+O1np+1.(4)证对f(x)=1xp,有f'(x)=-pxp+1,f″(x)=p(p+1)xp+2,从而由文献[2]的Euler-Maclaurin公式(式(19)),得∑mk=n+11kp=∫mndxxp+12(f(m)-f(n))+112(f'(m)-f'(n))-∫mnB2(x)f″(x)dx=1p-11np-1-1mp-1-121np-1mp-p121np+1-1mp+1-p(p+1)2Rm,n,(5)其中B2(x)=(x-[x])22-x-[x]2+112...
