第43卷第1期高师理科学刊Vol.43No.12023年1月JournalofScienceofTeachers′CollegeandUniversityJan.2023文章编号：1007-9831（2023）01-0020-04用无穷矩阵方程求解第二类Stirling数表示的自然数幂和唐军强，艾英（焦作大学基础部，河南焦作454000）摘要：讨论了4个用第二类Stirling数表示的自然数的幂和公式．利用升阶乘和降阶乘的定义式，得到关于各阶幂和的递推关系，用求解无穷矩阵方程的方法给出用第二类Stirling数表示的幂和公式，并证明了它们之间的等价性．关键词：无穷矩阵方程；自然数；幂和；第一类Stirling数；第二类Stirling数中图分类号：O156文献标识码：Adoi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.01.005PowersumofnaturalnumbersexpressedbyStirlingnumbersofsecondkindbysolvinginfinitematrixequationTANGJunqiang，AIYing（DepartmentofBasicCourses，JiaozuoCollege，Jiaozuo454000，China）Abstract：FourpowersumformulasofnaturalnumbersexpressedbyStirlingnumbersofsecondkindarediscussed．Bymeansofthedefinitionofrisingfactorialandfallingfactorial，therecursiverelationofthepowersumofeachorderisobtained，andtheformulaofthepowersumexpressedbytheStirlingnumbersofsecondkindisgivenbymeansofsolvingtheinfinitematrixequation，andtheequivalencebetweenthemisproved.Keywords：infinitematrixequation；naturalnumber；powersum；Stirlingnumbersoffirstkind；Stirlingnumbersofsecondkind1引言及预备知识自然数的幂和是一个古老的问题，很多数学家都对其做过研究．该问题牵涉极广，可以用Bernoulli数、第二类Stirling数、第二类Euler数等给出它的计算公式[1-2]．仅用第二类Stirling数就可以给出4个形式上看起来不同的公式，这容易使人感到困惑．本文基于构造无穷矩阵方程的方法，给出这些公式的推导过程，并讨论它们之间的等价性．定义()(1)(2)(1)kxxxxxk=---+…，称为实变元x的k次降阶乘[3-4]．第一类Stirling数记作1(,),1skjjk≤≤，其实就是()kx的展开式中不考虑符号的系数，即11111()(1)(2)(1)()(1)(1)(1)kkkkxxxxxksk,kxsk,kxsk,x--=---+=--++-……（1）第二类Stirling数记作2(,),1sijji≤≤，是由降阶乘()kx反过来表示kx的系数，即收稿日期：2022-05-28基金项目：河南省自然科学基金项目（222300420579）作者简介：唐军强（1980-），男，河南开封人，讲师，硕士，从事解析数论研究．E-mail：tjq_1999@si...
