总体参数假设检验的研究性教学——以非正态总体为例_姜培华.pdf

第 43 卷 第 3 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.3 2023 年 3 月 Journal of Science of Teachers College and University Mar.2023 文章编号：1007-9831（2023）03-0077-07 总体参数假设检验的研究性教学 以非正态总体为例 姜培华（安徽工程大学 数理与金融学院，安徽 芜湖 241000）摘要：非正态总体参数的假设检验是数理统计中的一个难点问题，其处理方法灵活多变，技巧性强，教师难于讲授，学生难于掌握系统研究了在处理非正态总体参数假设检验时检验统计量的构造问题，给出几种常用的构造方法通过实例展示了使用这些方法构造检验统计量的思路和技巧，使学生便于理解和掌握所给的处理方法和技巧具有一定的方法论意义，在数理统计研究性教学中值得推广使用 关键词：研究性教学；非正态总体；假设检验；检验统计量；拒绝域 中图分类号：O211.1G642.0 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.03.016 Research teaching on hypothesis testing of population parameters Taking a non-normal population for example JIANG Peihua （School of Mathematics-Physics and Finance，Anhui Polytechnic University，Wuhu 241000，China）AbstractAbstract：Hypothesis testing of parameters for non-normal population is a difficult problem in mathematical statisticsIts processing method is flexible and skillful,which is difficult for teachers to teach and students to masterThe construction of test statistics was systematically studied when dealing with the hypothesis test of non-normal population parameters，and several common construction methods was givenThrough examples，the ideas and skills of using these methods to construct test statistics are shown，which is easy for students to understand and masterThe processing methods and techniques have certain methodological significance and are worth popularizing in the research teaching of mathematical statistics Key wordsKey words：research teaching；non-normal population；hypothesis testing；test statistics；rejection region 统计推断是数理统计的基本问题之一，而总体参数的假设检验是统计推断的一项重要内容在样本来自正态总体的情形下，对总体参数的假设检验有多种经典的检验方法，各类概率论与数理统计教材中都有非常详尽的介绍1-2 但是对于非正态总体情形下参数的假设检验问题讨论较少，很多教材中都是简单提及，没有进行深入讨论在实际问题中经常会遇到总体服从非正态情形下未知参数的假设检验问题，文献3研究了伽玛分布尺度参数的（形状参数已知）最优区间估计和最佳双边检验；文献4中研究了瑞利分布未知参数的最佳双边检验；文献5研究了威布尔分布尺度参数（形状参数已知）的最佳双边检验研究发现，收稿日期：2022-04-07 基金项目：教育部产学研合作协同育人项目（202102218020）；数理统计省级示范课项目（2020SJJXSFK0310）；概率论与数理统计 省级线上线下混合式课程项目（2021xsxxkc039）；安徽工程大学重点教学研究项目（2022jyxm31）；数理统计校级课程思政优 质课项目（2021szyzk52）作者简介：姜培华（1979-），男，山东曹县人，副教授，博士，从事数理统计和应用统计研究E-mail： 78 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 解决非正态总体下未知参数的假设检验问题并非易事，主要因为对于不同的非正态总体，如何恰当构造参数的检验统计量是一个难点本文基于教学实践，对非正态总体下构造未知参数假设检验的常用方法进行了全面梳理和总结，通过实例展示如何使用这些方法来对未知参数进行假设检验，以方便学生系统掌握处理非正态总体参数假设检验的常见方法和技巧，也为教师系统讲授该内容提供教学参考 1 引言及预备知识 引理 11112 若随机变量X的分布函数()XFx为严格单调的连续函数，其反函数1()XFy-存在，则()XYFx=服从均匀分布()0,1U 引理 21115 若随机变量X服从均匀分布()0,1U，则随机变量()212ln(2)ZX=-，随机变量()222ln 1(2)ZX=-引理 36 若随机变量,XY分别服从二项分布(),b np和负二项分布(),NB rp，即()P Xk=(1)(0,1,)kn knppknk-=，()1(1)(0,1,)rkrkP Ykppkk+-=-=，则,XY的分布函数满足(1)1().XYFrF nr-=-引理 47 设p为二项分布中事件发生的概率，为泊松分布的强度参数，则下列恒等式成立：（1）10!(1)(1)d(1)!()!npkn kjn jkjnnppuuukjnj-=-=-；（2）1110!(1)(1)d(1)!()!jkn kjn jpknnppuuukjnj-=-=-；（3）01ee d!(1)jkkujuujk+-=+定理 1 设总体X具有分布函数();F x，12,nxxx为来自该总体的简单随机样本，则有()()2112ln;(2)niiYF xn=-，()()2212ln 1;(2)niiYF xn=-证明 因12,nxxx为来自总体();F x的简单随机样本，由引理 1 可知，()();0,1iF xU，()()1;0,1iF xU-，利用引理 2 和卡方分布的可加性可知结论成立 证毕 定理 2 设总体X的密度函数为()f x，px为其p分位数，()f x在px处连续且()0pf x，则当n +时，样本p分位数pm的渐近分布为()2(1),pppppmN xnfx-近似服从 特别地，对于样本中位数，当n +时，有()0.50.520.51,4mN xnfx 近似服从 定理的证明可参见文献1，此处不再赘述 处理假设检验问题，首先要明确总体的分布函数或概率函数的表达式是否为已知若已知时，还要明确哪些参数是已知的，这是正确进行假设检验的前提 假设检验的一般步骤：Step1 根据问题的要求恰当地提出原假设0H和备择假设1H Step2 在总体分布的表达式为已知时，选取一个合适的检验统计量()12,nTT xxx=，并在原假设0H成立的条件下确定该统计量T的精确分布或渐近分布 Step3 由检验统计量T的分布及给定的显著性水平，以及()0HPTW=或()0HPTW，通过查有关分布的分位数值表求得检验的临界值，从而确定出检验的拒绝域W Step4 将 实测 样 本值()12,nxxx代 入 检验 统 计量T中 计 算，得到 统 计量 的 实测 值()12,nt xxx Step5 根据统计量的实测值()12,nt xxx是否落入拒绝域W中而就拒绝0H或接受0H做出判断，进而结合问题实际给出结论 第 3 期 姜培华：总体参数假设检验的研究性教学以非正态总体为例 79 2 检验统计量的构造方法 对未知参数进行假设检验的关键在于构造合适的检验统计量并确定其所服从的概率分布，然后根据备择假设1H和问题实际确定拒绝域W的形式，基于给定的显著性水平求出检验的临界值（或分位数），从而确定出检验的拒绝域 2.1 基于充分统计量构造检验统计量 例 1 设总体X服从拉普拉斯分布，其密度函数为()1;e,02xfxx-=R，为未知参数，给定样本12,nxxx，考虑关于参数的检验问题0010:HH=，在显著性水平下给出检验的拒绝域，计算检验的p值 解 样本的联合密度函数为()11121,e,02niinxnf xxx=-=由因子分解定理可知，1niiTx=为的充分统计量计算可得随机变量12YX-=的概率分布为221 Exp(2)2XY=，由卡方分布的可加性可知，212(2)niiGXn=在0=时，有22102(2)niiXn=，于是可用2作为检验统计量，利用2(2)n的分位数建立检验的拒绝域 22221/2/2(2)(2)Wnn-=，检验的p值为()()2222002min,pPP=，式中：20102niix=为由样本计算得到的检验统计量的值；2是自由度为2n的卡方分布的随机变量 例 2 设总体X服从幂分布，其密度函数为()1;,01,0f xxx-=，为未知参数，给定样本12,nxxx，考虑关于参数的检验问题0010:HH=，在显著性水平下给出检验的拒绝域，计算检验的p值 解 样本的联合密度函数为()()()11ln12,e,0niixnnf xxx=-=由因子分解定理可知，()1lnniiTx=为的充分统计量计算可得随机变量()2 lnYX=-的概率分布为()212 ln Exp(2)2YX=-=，利用卡方分布的可加性可知，()212ln(2)niiGXn=-在0=时，有22012ln(2)niiXn=-，于是可用2作为检验统计量，利用2(2)n的分位数建立检验的拒绝域 22221/2/2(2)(2)Wnn-=，检验的p值为()()2222002min,pPP=，式中：()20012lnniix=-是由样本计算得到的检验统计量的值；2是自由度为2n的卡方分布的随机变量 2.2 基于顺序统计量构造检验统计量 例 3 设总体X服从双参数指数分布，其密度函数为()()1;,e,0 xf xx-=，参数已知，参数未知，给定样本12,nxxx，考虑关于未知参数的检验问题0010:HH=，在显著性水平80 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 下给出检验的拒绝域，计算检验的p值 解 令,1,2,iiXYin-=，则12,nYYY独立同分布于指数分布Exp(1)，从而可知其最小顺序统计量(1)Y仍然服从指数分布，密度函数为()e,0nyg yny-=，进一步可知，()(1)2(1)22(2)n XnY-=.在0=时，有()(1)0222(2)n X-=成立，又因参数已知，于是可用2作为检验统计量，利用2(2)的 分 位 数 建 立 检 验 的 拒 绝 域 22221/2/2(2)(2)W-=，检 验 的p值 为()()2222002min,pPP=，式中：()(1)0202n x-=为由样本计算得到的检验统计量的值；2是自由度为2的卡方分布的随机变量 例 4 设总体()0,XU，参数(0)未知，给定样本12,nxxx，考虑关于参数的检验问题0010:HH=，在显著性水平下给出检验的拒绝域，计算检验的p值 解 令,1,2,iiXYin=，则12,nYYY独立同分布于均匀分布()0,1U可以求得最大顺序统计量()nY的概率密度函数为1(),01nnfynyy-=在0=时，统计量()0nXZ=具有概率密度函数1(),01nzfznz