正交极空间Q-+(7,q)...SU_3(q)-不变奇妙集_冯涛.pdf

中国科学:数学2023年第53卷第2期:249260SCIENTIA SINICA Mathematica论文英文引用格式:Feng T,Li W C,Tao R.PSU3(q)-invariant intriguing sets of orthogonal polar space Q+(7,q)(in Chinese).SciSin Math,2023,53:249260,doi:10.1360/SSM-2022-0071c 2022中国科学 杂志社正交极空间Q+(7,q)中的PSU3(q)-不变奇妙集献给朱烈教授80华诞冯涛1,李伟聪2,3,陶然4,51.浙江大学数学科学学院,杭州 310027;2.南方科技大学数学系,深圳 518055;3.南科大杰曼诺夫数学中心,深圳 518055;4.山东大学教育部密码技术与信息安全重点实验室,青岛 266237;5.山东大学网络空间安全学院,青岛 266237E-mail:,,收稿日期:2022-04-27;接受日期:2022-08-29;网络出版日期:2022-09-26;*通信作者国家重点研发计划(批准号:2021YFA1001000)和国家自然科学基金(批准号:12171428)资助项目摘要设q 2(mod 3)为一个素数幂.借助于Kantor的Q+(7,q)模型,本文研究了正交极空间Q+(7,q)的点集在群PSU3(q)作用下的轨道结构,由此构造出新的自同构群为PSU3(q)的(q2+q)-和q3-卵形体(ovoid).在此模型下,本文确定Q+(7,q)的所有PSU3(q)-不变奇妙集,证明其一定是酉型卵形体、新构造的两类m-卵形体或它们的补集.关键词奇妙集卵形体正交极空间酉群MSC(2020)主题分类51A50,51E20,05B251引言假设S是一个秩为r的有限经典极空间,并用表示其上的极映射.S的点共线图(S)是一个强正则图,其顶点集为S中的点,两个顶点相邻当且仅当它们正交(参见文献4).用A表示(S)的邻接矩阵,并用1表示长为|S|的全1向量.给定极空间S中的一个非平凡集合M,用M表示其示性向量,即对于S中的点P,根据其是否在M中,相应地有M(P)=1或M(P)=0.如果M|M|S|1是矩阵A的特征向量,则称M为该极空间S中的奇妙集(intriguing set).邻接矩阵A有两个受限的(restricted)特征值,分别对应于两类奇妙集:i-紧集(tight set)和m-卵形体(ovoid),其中i和m为它们对应的参数.特别地,1-卵形体简称作卵形体.奇妙集的概念最早由Bamberg等2在经典广义四边形中给出,随后被Bamberg等1推广到了有限经典极空间.它统一了此前有限几何中的多个概念,并揭示了这些几何对象的代数意义.奇妙集冯涛等:正交极空间 Q+(7,q)中的 PSU3(q)-不变奇妙集不但是重要的几何构型,而且与图论和编码理论有密切的联系,因此近些年来得到了广泛关注和研究,详情参见文献1,5.对于奇妙集的研究涉及较为深刻的群论和数论知识.对于满足特定的传递性假设的奇妙集,一般可以利用有限典型群的结构定理和深刻的表示论知识完全分类,例如,Bamberg和Penttila3对有限经典极空间中具有不可解自同构群的传递卵形体进行了分类.三维射影空间中的Cameron-Liebler线族等价于Q+(5,q)中的紧集,在文献11的构造中涉及极为复杂的指数和运算.在低秩极空间中,奇妙集的构造方面已经有大量工作,可参见文献1,614及其中所列的参考文献.当极空间的秩较大时,已知的奇妙集构造比较稀少.1982年,Kantor16利用群PGU3(q)的8维绝对不可约表示构造了双曲正交极空间Q+(7,q)中的一类卵形体,其中q 2(mod 3).这类卵形体称作酉型(unitary)卵形体.本文将采用相同的模型,研究特殊酉群PSU3(q)在Q+(7,q)点集上的轨道结构,从而得到Q+(7,q)上自同构群为PSU3(q)的(q2+q)-卵形体和q3-卵形体,并且对Q+(7,q)中的PSU3(q)-不变奇妙集进行完全分类.针对本文的研究内容,介绍下列定义与引理.定义1.11令q是一个素数幂,Q+(7,q)是双曲型正交极空间,其极映射用表示.给定极空间Q+(7,q)中的一个非平凡点集M,如果|M|=m(q3+1)并且|P M|=m(q2+1)q2,如果P M,m(q2+1),如果P Q+(7,q)M,(1.1)则称M为Q+(7,q)中一个m-卵形体.引理1.11令M1和M2分别为Q+(7,q)中的m1-卵形体和m2-卵形体.(1)如果M1是M2的子集,则M2 M1是Q+(7,q)的(m2 m1)-卵形体;(2)如果M1和M2不相交,则M1 M2是Q+(7,q)的(m1+m2)-卵形体.2Q+(7,q)的模型和 PSU3(q)的轨道结构2.1Q+(7,q)的模型令q=ph是一个素数幂,满足q 2(mod 3)且q 2;令Fq表示有q个元素的有限域.对于x Fq2,令x表示x的共轭,即x=xq;定义从Fq2到Fq上的迹函数为Tr(x)=x+x.令V是由如下矩阵构成的Fq上的8维向量空间:M=c a b ,(2.1)其中,Fq2,a,b,c Fq且+a+=0.定义V上的一个二次型Q(M)=2+2+Tr()+bc.(2.2)该二次型是非退化的,其极化型(polar form)如下:B(M,N)=Q(M+N)Q(M)Q(N)=tr(MN),(2.3)250中国科学:数学第 53 卷第 2 期其中tr(MN)表示矩阵MN的迹.相应的极映射为 v=x V:B(x,v)=0.由(2.2)所定义的Q是双曲二次型,其定义的正交极空间Q+(7,q)的点集为Q=Fq:M V,Q(M)=0,(2.4)其中Fq表示V中向量M的Fq射影点.下文将Fq简记为.令GL3(q2)表示Fq2上3阶可逆矩阵的全体构成的一般线性群,即GL3(q2)=A=(aij)33|det(A)=0,aij Fq2,1 6 i,j 6 3,其中det(A)表示矩阵A的行列式.对于A GL3(q2),定义其共轭A为将A中每个元素均取q次方所得的矩阵.记J=0 0 10 1 01 0 0,并定义G0=A:A GL3(q2)|J1AJ=(A)1,其中A表示矩阵A的共轭转置.由文献16可知G0同构于酉群GU3(q),且群G0按如下方式作用在向量空间V上:矩阵A G0将X V映到A1XA.容易验证G0中的数量矩阵在V上的作用是平凡的,故这诱导了PGU3(q)在V上的作用.令Q由(2.4)所定义,根据文献16,G0对应的射影群PGU3(q)在二次曲面Q上有3个轨道,分别对应于Q中秩为1、2和3的矩阵.2.2PSU3(q)的轨道结构令G=A:A G0|det(A)=1.(2.5)其在V上的作用诱导了射影特殊酉群PSU3(q)在Q上的作用.本小节分析PSU3(q)在Q上的轨道结构.由于q 2(mod 3),3整除q+1,故Fq2中有3阶元.我们有q+1=2+1=0.现取V中的5个向量如下:X1=0 0 10 0 00 0 0,X21=0 1 00 0 10 0 0,X22=0 00 0 20 0 0,(2.6)X23=0 200 0 0 0 0,X3=0 00 1 00 0.(2.7)容易验证它们是(2.2)的零点,故它们是Q+(7,q)中的点.251冯涛等:正交极空间 Q+(7,q)中的 PSU3(q)-不变奇妙集对于Q中的一点,令O()表示以点为代表元的PSU3(q)-轨道.令Oi=O(),i=1,3,(2.8)O2j=O(),j=1,2,3.(2.9)定理2.1假设q 2(mod 3),q 2,并设二次曲面Q由(2.4)所定义.群PSU3(q)在Q上恰有5个轨道,即O1、O21、O22、O23和O3,其中Oi(i=1,3)和O2j(j=1,2,3)由(2.8)和(2.9)所定义.它们的长度分别为|O1|=q3+1,|O3|=q3(q3+1),(2.10)|O21|=|O22|=|O23|=(q2+q)(q3+1)3.(2.11)证明矩阵X1和X3的秩分别为1和3,矩阵X21、X22和X23的秩均为2.已知q 2(mod 3)且q 2,群PSU3(q)的阶为q3(q21)(q3+1)3.下面将计算点(i=1,3)和(j=1,2,3)在PSU3(q)中的稳定化子的大小,从而得到轨道的长度如(2.10)和(2.11)所示.通过比较大小即可知这5个轨道是Q的划分,从而是所有的PSU3(q)轨道.由于方法类似,此处只给出的稳定化子的计算过程.群SU3(q)中的元素A稳定当且仅当存在 Fq使得A1X1A=X1,这等价于X1A=AX1,AJA=J,det(A)=1.(2.12)记A=(aij)33,1 6 i,j 6 3.经展开计算可得,(2.12)中的3个等式成立等价于下列等式同时成立:a21=a31=a32=0,a33=a11,a22=1a211,=a(q+1)11,a23=1aq211aq12,Tr(a13aq11)=aq+112.从而,矩阵A由其分量a11 Fq2、a12 Fq2和a13 Fq2所唯一确定,且这3个分量满足Tr(a13aq11)=aq+112.容易验证在SU3(q)中的稳定化子包含3阶数量矩阵,从而有|StabPSU3(q)()|=(q21)q2q3.因此,|O()|=|O1|=|PSU3(q)|StabPSU3(q)()|=q3+1.证毕.注2.1令A0=diag(1,1),则A0 GU3(q)SU3(q),且X22=A10X21A0,X23=A20X21A20.特别地,A0的作用引起O21、O22和O23之间的传递置换,它们的并构成一个PGU3(q)-轨道O2:O2=O21 O22 O23.(2.13)由定理2.1可知,轨道O21、O22和O23构成了Q中所有秩为2的点,故对于i=1,2,3,集合Oi恰好是由Q中秩为i的点构成.3Q+(7,q)中的 PSU3(q)-不变奇妙集本节采用第2节所引入的各种符号.特别地,O1、O2和O3分别为秩为1、2和3的奇异点集合.本节的目标是确定Q+(7,q)中所有PSU3(q)-不变的奇妙集.由文献16可知,O1是卵形体.第3.1小节将证明O2和O3分别构成m-卵形体.第3.2小节将证明除了O1、O2、O3以及它们的补以外没有别的PSU3(q)-不变奇妙集.252中国科学:数学第 53 卷第 2 期3.1Q+(7,q)中自同构群为PSU3(q)的m-卵形体Kantor16对轨道O1进行研究,证明了如下结论.定理3.116集合O1是正交极空间Q+(7,q)中的卵形体.该卵形体称作Q+(7,q)的酉型卵形体,也称作Kantor卵形体.接下来对剩下的PSU3(q)-轨道O21、O22、O23和O3展开研究.引理3.1令O2为由(2.13)所定义的集合,则O2=S1 S2 S3,其中S1=:Fq2,b Fq:Fq2,c Fq,(3.1)S2=:,Fq2,b Fq,Tr()=0,(3.2)S3=:1,2 Fq2,Fq2,b Fq,=1Tr(1+2b)+2,Tr(2)=q+11,q+1=bTr(1+2b).(3.3)证明可以直接验证S1、S2和S3中的元素均在O2中,即秩为2且是二次型Q的零点.现取O2中的一个元素,其中M表达式形如(2.1).下面分3种情形进行讨论.情形1矩阵M有全零行.如果M的第二行(,a,)=(0,0,0),则Tr()=0,由Q(M)=0可得2+bc=0.此时M的秩为1,与M O2矛盾.因此只能是M的第一行全为0或第三行全为0.此时,容易验证为S1中元素.情形2矩阵M没有全零行但有两行线性相关.首先考虑第一和二行线性相关的情形.此时存在 Fq2使得(,c)=(,a,),即=,a=Tr().由此可以推导出=Tr(),c=q+1Tr().直接计算Q(M)=0可得bTr()=q+1,利用这些关系可以推导出M的第二和三行线性相关,从而M的秩为1,与M O2矛盾.因此第一和二行线性