三维有界区域上具有非线性边...合反应-扩散方程解的存在性_陈雪姣.pdf

第 卷 第 期 年 月 贵州师范大学学报（自然科学版）（）引用格式：陈雪姣，李远飞 三维有界区域上具有非线性边界条件的耦合反应扩散方程解的存在性 贵州师范大学学报（自然科学版），（）：，（），（）：三维有界区域上具有非线性边界条件的耦合反应扩散方程解的存在性陈雪姣，李远飞（广州华商学院 数学与统计研究所，广东 广州）摘要：研究了三维有界区域上带非线性梯度项的一类抛物模型的解在有限时间的爆破问题。假设解在区域的边界上满足非线性条件，当爆破发生时，通过构造辅助函数，利用能量估计的方法和微分不等式技术，得到了爆破时间的下界。对方程中的参数做出一定的限制之后，证明了解的全局存在性。关键词：非线性梯度项；爆破；下界；全局存在性中图分类号：文献标识码：文章编号：（）：，（，）：，：；引言及准备知识本文研究具有非线性梯度项的耦合反应扩散方程 ，（，）（，）（）收稿日期：基金项目：广东省普通高校创新团队项目（）；广州华商学院科研团队项目（）；广州华商学院导师制项目（）作者简介：陈雪姣（），女，硕士，副教授，研究方向：偏微分方程，：通讯作者：李远飞（），男，博士，特聘教授，研究方向：偏微分方程，：，（，）（，）（）（，），（，），（，）（，）（）（，）（），（，）（），（）其中 ，（）是有界区域并具有光滑的边界 ，是可能的爆破时间。该模型模拟了两种成分可燃混合物中的热传播、化学反应和 个无自限生物基团的相互作用等。非负初始数（），（）是满足相容性条件的 函数，即（，），（，）因此，根据经典抛物理论，问题（）问题（）的解是唯一存在的，并且是非负的。此外，满足 （，），（，）（）其中，是大于 的常数。在过去的几十年中，关于线性和非线性抛物方程解的存在性以及爆破现象一直是人们关注的焦点。事实上，方程（）方程（）的几种特殊形式已经得到了研究。在 年，研究了非线性边界条件下的半线性抛物方程 ，（，）（，），（，）（，）（，）（），（，）（），|其中 是拉普拉斯算子，是 上的一个半径为 的球，是 上的单位外法向量。在对方程中的参数做出一定的限制之后，得到了解的爆破率的上界和下界。则把文献的结果推广到了热量方程，（，）（，），（，）（，）（，）（），（，）（），|年，等考虑了以下耦合反应扩散问题 ，（，）（，），（，）（，）（，）（），（，）（），|解的爆破现象。该系统模拟了各种物理现象，例如，描述了热在双组分连续介质中的扩散和燃烧过程、电导率、体积能量释放和核爆炸。如果边界条件（）由（），（），（，）（，）代替，通过构造辅助函数，并假设（），（）当 ，时获得了方程（）和（）解的爆破时间的下界。本文首先研究方程（）方程（）解的全局存在性，寻找确保解存在的条件。当爆破发生时，我们推导爆破时间的下界。事实上，不管爆破最后有没有发生，这种下界都是有意义的。例如文献提到的 年哥伦比亚号航天飞机的灾难。由于航天飞机发射时被一块泡沫脱落击中飞机左翼，导致那隔热材料局部受损。结果，航天飞机在重返大气层时由于在受损部分附近产生的巨大热量而解体。事实上，以前的几架航天飞机也有类似的问题，但它们都能安全着陆。一些工程师怀疑这些损伤太小，以至于航天飞机在温度变得足够大之前着陆。更多关于解爆破性研究和解的存在性研究的最新成果，读者可以参见文献。本文重点研究当 时耦合反应扩散方程（）方程（）的爆破时间的下界。与文献相比，本文讨论、和 在不同范围上解的爆破情况。本文通过定义与文献不同的辅助函数，利用一阶微分不等式技术和能量估计的方法，推导爆破时间的下界，并且推导了解全局存在的充分条件，显然本文的结果更加全面。重要引理为了推导本文的主要结果，我们给出一些有用的引理。我们注意到文献已经取得以下结果。引理 设 是，上的有界星型区域。若 （），则有 其中 （），。引理 设 是 上的有界星型凸区域。若 （），则有 （）第 期陈雪姣，李远飞：三维有界区域上具有非线性边界条件的耦合反应扩散方程解的存在性其中 。利用 不等式，可得()()（）利用不等式（），（），（）和式（），由引理 可得（），()（）()（）()（）（）（）其中 是大于零的任常数，()，()（，）。接下来，我们估计。利用 不等式和引理，可得()（）（）()()（）（）其中 是大于零的任意常数。所以 （）（）（）取 足够小并对区域 做适当的限制使得 （）（）则由式（）可得以下引理。引理 设 是 上的有界星型凸区域且式（）成立。若 （），则有 其中（）（）。除了上述引理之外，本文还会利用以下引理。引理 设 是，上的有界星型区域，则存在一个依赖于 和 且大于零的常数，使得 （）（）解的爆破现象利用上一节给出的引理，本节推导解全局存在的条件。为此，我们建立以下辅助函数（）（）其中 ，。首先对（）求导，再利用散度定理和方程（）方程（）和式（），可得（）（）（）：（）利用 不等式，不等式和式（）并注意到 ，可得（）（）（）（）贵州师范大学学报（自然科学版）第 卷 （）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）其中（，）是大于 的常数，是大于 的任意常数。记c ，c ，c ，c，则由式（）可得 c（）c（）（）（）c c（）类似地，当 时，存在大于零的常数c，c，c，c使得c（）c（）（）（）c c（）其中，是大于零的任意常数。当 时，利用不等式和 不等式重新计算。（）()（）（）()（）（）其中（）（）（）。由于 且 ，易证 ，利用引理，可得（）()（）（）（）（）（）（）再利用不等式（）和 不等式，由式（）可得（）()（）（）（）（）()（）（）（）（）()（）（）（）其中 是大于零的任意常数。把式（）代入到式（），可得 c（）c（）（）（）c （）（）其中c（），c（）|，c（）。类似地，当 时，有 c（）c（）（）（）c （）（）其中 c、c、c是 大 于 的 任 意 常 数，（）（）（）。下一步考虑 的情况，重新计算。（）（）（）（）（）（）第 期陈雪姣，李远飞：三维有界区域上具有非线性边界条件的耦合反应扩散方程解的存在性 c（）（）其中 c ，。类似地，当 时，有 c（）（）其中 c ，。显然 ()（）再利用引理，由式（）可得 ()()()（）类似地，有 ()()（）结合式（）和式（），可得 c（）（）其中 c ()。若 ，把式（），式（），式（），式（）和式（）代入到式（），可得（）c（）c（）（）（）c（）c（）（）（）（）c c c c（）c（）（）（）（）（）（）c c c c（）c（）（）（）c（）（）取适当的，使得（）c c c（）c c c（）由式（）可得（）c（）c（）（）（）c（）c（）（）（）c（）c（）（）（）（）（）c（）c（）（）（）c（）（）由于下列式子 ，（）（），（）（），（）（），（）（）均大于且小于 ，利用 不等式可得c（）c（）c（）（）c（）c（）c（）（）c（）（）（）c（）c（）（）c（）（）（）c（）c（）（）c（）（）（）c（）c（）（）c（）（）（）c（）c（）（）其中（，）是大于零的常数以及cc（）（）（）（），cc c（）（），cc（）（）（）（），cc c（）（），贵州师范大学学报（自然科学版）第 卷c c （）（）|（）（）（）（），c c （）（），c c （）（）|（）（）（）（），c c （）（），c c（）（）（）|（）（）（）（）（）（），c c（）（）（），c c（）（）（）|（）（）（）（）（）（），c c（）（）（）。取适当的（，）使得c c c c c c c，再把式（）式（）代入到式（）（）c（）c（）c（）（）（）（）其中 c c c c c c c。如果方程（）方程（）的解在某有限时刻处发生爆破，即（），对（）式从 到积分可得爆破时间的下界。我们把此结果总结为以下定理。定理 设 和 是方程（）方程（）的非负解，其中 上的一个有界光滑的凸区域，满足式（）且 ，。若方程（）方程（）的解在（）的测度下在某有限时刻 处发生爆破的话，则爆破时间 一定具有下界，即（）c（）c c（）其中 c，c，c是大于零的常数，（），。注 由于式（）右边分母中的后面两项的指数都是大于 的，所以式（）右边的积分是收敛的。注 如果 ，结合式（）、式（）、式（）、式（）和式（），可得（）c（）c（）（）（）c（）c（）（）（）c（）c（）（）（）c（）（）c（）（）又由于（）c（）c（）（）c（）c（，）（）c（，）（）（）其中 和 是大于零的任意常数以及c（）（）（），c （），c（，）（）（），c（，）。把式（）式（）和式（）、式（）代入到式（）并取（，）c c c c c cc（，）c可得（）c（）c（）（）其中 c c c c c c c（，）。与式（）类似，我们可以得到以下定理。第 期陈雪姣，李远飞：三维有界区域上具有非线性边界条件的耦合反应扩散方程解的存在性定理 设 和 是方程（）方程（）的非负解，其中 上的一个有界光滑的凸区域，满足式（）且 ，。若方程（）方程（）的解在（）的测度下在某有限时刻 处发生爆破的话，则爆破时间 一定具有下界，即（）c c其中 c，c是大于零的常数。类似地，当 ，时，我们可以得到以下定理。定理 设 和 是方程（）方程（）的非负解，其中 上的一个有界光滑的凸区域，满足式（）且 ，。若方程（）方程（）的解在（）的测度下在某有限时刻 处发生爆破的话，则爆破时间 一定具有下界，即（）?c c其中?c、c是大于零的常数。注 如果 ，把式（）、式（），式（）和式（）代入到式（）并结合式（），可得（）c（）c（）（）（）c（）c（）（）（）c（）c（）c（）（）cc（）（）（）（）cc（）（）（）（）cc（）（）（）（）cc（）（）（）（）cc（）（）cc（）（）如果方程（）方程（）的解在（）的测度下在某有限时刻 处爆破的话，由式（）可知必存在一个时刻 使得（），）。所以（）（）。这与“解在 处爆破”矛盾。因此方程的解是全局存在的。我们把上述结论总结为以下定理。定理 设 和 是方程（）方程（）的非负解，其中 上的一个有界光滑的凸区域，满足式（）且 ，。则方程（）方程（）的解是全局存在的。注 如果方程（）和方程（）由以下方程代替 （，），（，）（，），（，），（，）（，）。只要限定 （，），（，），定理 定理 仍然成立。结论本文研究了具有非线性边界条件下当 时一类抛物方程解的爆破现象，通过对方程中的参数进行一定的限制，得到了爆破解的下界，并获得了全局解的存在性。同时我们的方法还可以向更一般化的模型推广。例如非线性扩散抛物方程 （）（，），（，）（，）（）（，），（，）（，）其中，加权函数（），（）是大于 的连续函数，是扩散系数，是连续的非负函数，主要模拟了一些燃烧过程或物质传输。这种模型中系数与 相关，如何巧妙的设置辅助函数推导能量函数的微分不等式，讨论解的存在性是一个值得研究的方向。参考文献：，（）：，：，（）：贵州师范大学学报（自然科学版）第 卷，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：李远飞 边界条件下更一般化的非线性抛物问题全局解的存在性和爆破 应用数学学报，（）：李远飞 非线性边界条件下高维抛物方程解的全局存在性及爆破现象 应用数学学报，（）：李远飞 一类系数依赖于时间的抛物系统解的全局存在性及爆破现象 数学的实践与认识，（）：，（）：李远飞 抛物系统解的爆破现象 应用数学学报，（）：，（）：李远飞，肖胜中，陈雪姣 非线性边界条件下具有变系数的热量方程解的存在性及爆破现象 应用数学和力学，（）：陈雪姣，李远飞 二元混合物中的热传导方程解的爆破现象 数学的实践与认识，（）：李远飞，郭连红，曾鹏 波动方程在半无穷柱体和外部区域上的空间爆破和衰减性 吉林大学学报（理学版），（）：，（）：李远飞 海洋动力学中二维粘性原始方程组解对热源的收敛性 应用数学和力学，（）：，：，：，责任编辑：彭惠蓉 第 期陈雪姣，李远飞：三维有界区域上具有非线性边界条件的耦合反应扩散方程解的存在性