弱左型B半群的真覆盖_李春华.pdf

第 卷 第 期 年 月江西师范大学学报（自然科学版）（）收稿日期：资助项目：国家自然科学基金（；），江西省自然科学基金（）和江西省教育厅科学技术研究课题（）资助项目作者简介：李春华（），男，江西宜丰人，教授，博士，主要从事半群代数理论的研究：李春华，郑淑寒，方洁莹，等 弱左型 半群的真覆盖 江西师范大学学报（自然科学版），（）：，（），（）：文章编号：（）弱左型 半群的真覆盖李春华，郑淑寒，方洁莹，孟令香（华东交通大学理学院，江西 南昌）摘要：弱型 半群是在半富足半群范围内的广义逆半群 该文利用弱左型 半群真覆盖的定义，给出了弱左型 半群真覆盖的相关性质 特别地，得到了相应于弱左型 半群作用在幂单幺半群上的真覆盖的结构定理关键词：弱左型 半群；真覆盖；酉的；幂单幺半群中图分类号：文献标志码：引言近年来，越来越多的学者开始关注广义正则半群的研究 一般而言，可以通过广义格林关系对广义正则半群进行讨论和研究 引入了富足半群概念，自此，以格林关系满足一定条件的各种广义正则半群的研究引起了国内外学者的关注 定义了格林 关系 令 为半群，并且，（），（），其中（）为的幂等元集合 提出了一类广义的富足半群，即半富足半群 称半群 为半富足的，若 的每个 类和 类都包含幂等元特别地，若在半群 中每个 类都包含幂等元，则称 为左半富足半群 若左半富足半群 的幂等元可交换，则称 为左半适当半群 左半适当半群被称为弱左型 半群，若下列条件成立：（）是左同余；（）（，（），）（）（）（）；（）（），）（）（）易知，在 的每个 类中幂等元是唯一的，故 ，记 是与 具有格林关系 的唯一幂等元 等研究了有限半群类的有限真覆盖 年，等研究了在幺半群上的真覆盖，同时也得到了任意 幺半群都存在 真覆盖 在此基础上，文献 进一步研究了在型 半群上的真覆盖并且得到了一些结果 众所周知，弱型 半群是在半富足半群上广义的型 半群，基于此，本文研究了弱左型 半群的真覆盖，并得到一些结论预备知识引理 令 是半群，则以下条件等价：）；）（）引理令 是任意半群，（），则以下条件等价：）；）且 （），蕴含 格林关系 是广义的 关系 在半群 中的元素，当且仅当和有相同的幂等左恒等元 显然，在任意半群中有，在正则半群中有 在半群 中，格林关系 和都是左同余，但 不一定是左同余定义令是弱左型半群，按如下定义的关系：（，）（）引理若为真的弱左型半群，则为在 上的最小幂单同余定义令是任意弱左型半群，则称为真的，若 ，其中 为在 中的恒等关系下面给出一个弱左型 半群的例子例令 （）（），其中 为非负整数，（）是 的矩阵|，这里 显然，关于一般矩阵的乘法，是半富足半群，且（）|，|事实上，显然 的 类分别是 （）和（）另外，（）是半格，并且，有（）（）因此，根据左弱型 半群的定义容易得出 是弱左型 半群定义 令 为半群 到另一半群 的同态，若，（）（）蕴含（），则称 为 同态定义令 为弱左型 半群，为真的弱左型 半群 称 为相应于 的真覆盖，若 为 到 的同态，且（），（），使得 （）定义令为真的弱左型半群，若为相应于弱左型 半群 的真覆盖，是幂单幺半群并且 ，则称 为相应于 作用在 上的真覆盖定义 令 是任意半群，则称 为 酉的，若，（）使得（），蕴含（）引理令是真弱左型半群，则是酉的证 令 （），使得 （），则（）（），即（）（），其中（）（），由的定义可知（，）于是，（），由于 是真弱左型 半群，故 （），即 是 酉的主要结论定义令为真的弱左型半群，为包含恒等元 的幂单幺半群，映射：（），其中（）为 的子集族 称 是全满的，若下列条件成立：（）（）（）；（）（，）（）（）（）；（）（）；（）（）（）；（）（）（）；（）（，（）（）定理令为真的弱左型半群，为包含恒等元 的幂单幺半群，映射：（），其中（）为 的子集族 假设 （，）（），如下定义在 中的运算：（，）（，）（，）（，）显然，是半群 若 是全满的，则下列结论成立：）（）（，）（）（）；）（，）（，）（）（，）（）；）为弱左型 半群；）（，），（，）（，）（，），证 ）令 （，）（），由定义 的（）可知，（）（，）（）显然，（）（）令（，），（，）并且（，）（，）首先，令（，）（），若（，）（，）（，），则（，）（，），即 由于是弱左型半群，故 ，于是，（，）（，）（，）（，）又因为（，）（，）（，），因 此，（，）（）（，）同理可知，（，）（）（，）于是，（，）（）（，）进而，（，）（，）（，）（，），（，）（，）（，）（，），即 ，故 于是，（）反之，显然成立）由上述）、）可知，是左半富足半群并且（）是半格，故 是半适当半群 下面证明 满足江西师范大学学报（自然科学版）年条件（）令（，），（，）并且（，）（，）由）可知，（）由于是弱左型半群，所以（，），有（）根据结论）的充分性可知，（，）（，），即（，）（，）（，）（，）因此，在 中 关系是左同余接下来证明 满足条件（）令（，），（，）（），（，），其中，（）由于 是弱左型 半群，故（，）（，）（，）（，）（），）（）（），）（），）（），）（，）（，）（，）（，）（，）（，）因此，条件（）成立最后，证明 满足条件（）令（，）（），（，），其中 （）并且（，）（，），即（，）（，）于是，（，）（，）（，）（，），即 因此 由于 是弱左型 半群，故 （），使得 （）因此，（，）（），）（，）（，）（，），其中（，）（）综上所述，是弱左型 半群）令（，），（，）并且满足（，）（，），则 （），使得（，）（，）（，）（，），即（，）（，）于是，并且 因此，充分性显然成立综上所述，定理 得证定理令是真弱左型半群，为包含恒等元的幂单幺半群，为到（）的全满映射，其中（）是 的子集族 令 （，）（），则 为相应于 作用在 上的真覆盖 反之，任意相应于 作用在 上的真覆盖都可以按上述构造证 首先，由定理 可知，是弱左型 半群 令（，），（，），并 且 满 足（，）（）（）（，）由定理 的）和）可知（），故，（）由于 是全满映射，所以根据条件（），显然，即（，）（，）故（）（）因此，是真弱左型 半群定义映射：，（，）显然，是好定义并且是满同态 令（，）（，），即 显然，（），于是，为 同态 令 （），（，），使得（，），即 （）由于是全满映射，所以由条件（）可得 故（，）（，）（）因此，为相应于 的真覆盖下证 为相应于 作用在 上的真覆盖 定义映射：，（，），且（，），（，）和（，）（，），则（，）（，）由定理 的）可知，故 是好定义 再令（，），（，），并且（，）（，），故 于是，（）由于 是全满映射，所以由条件（）可得 又由定理 的）可知（，）（，），即（，）（，）因此，是单射 显然，又是满射 另外，（，），（，），有（，）（，）（，）（，）（，）因此，是同构，即 为相应于 作用在 上的真覆盖反之，令是弱左型 半群到的同态，并且 满足幂等元提升（），（）使得 （）取 （），则为相应于作用在 上的真覆盖 定义映射 为：（），（），（）（）（），（）下证是全满映射，并且，其中 （，）（）首先，由自然同态：是满射可知（），条件（）成立 令，（）并且 （）故，使得，于是，（），（）因此，（）（）（），即条件（）成立 显然，（），故条件（）成立又令（）则，使得 ，由于 ，所以，（）由于是真弱左型半群，故 （），即（）（）另外，令（），则 （），使得 ，且 ，于是，（），即（）（），因此，条件（）成立下证 建立映射：，（，）显然，是满同态，并且（，）（，），则 ，又由于是同态，所以（），即（）（）由于是真弱左型 半群，故 ，即 显然，是真弱左型半第 期李春华，等：弱左型 半群的真覆盖群 现证满足条件（）令，（）并且，故（，），（，），由定理 可知（，）（）（，）由上述证明可知 ，于是，使得（）（，）（，），（）（，）（，）故（）由 定义可得（），使得 从而（，）（）（）（）（）（）（）（）（，）（）于是，（，）（）（，），即（，）（）（）（，）由于是真弱左型半群，所以（，）（，），即 因此，条件（）成立最后，令，（），其中，则（，），（，），进而，由定义 的（）可得（，）（）（，），又由定理 的）可知 因此，条件（）成立，即 是全满映射 参考文献 ，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：李春华，徐保根，黄华伟 真弱左型 半群上的幂单同余 山东大学学报（理学版），（）：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：李春华，汪立民 关于右型 半群的真覆盖 华南师范大学学报（自然科学版），（）：，（，）：，：；（责任编辑：曾剑锋）江西师范大学学报（自然科学版）年