三角形等积变形本质探究及反思_张春燕.pdf

第 25 卷 第 2 期 宁波教育学院学报 Vol.25 No.2 2023 年 4 月 JOURNAL OF NINGBO INSTITUTE OF EDUCATION Apr.2023 收稿日期：2022-12-08 作者简介：张春燕（1980-），女，浙江萧山人，中学一级教师，研究方向：初中数学课堂教学。三角形等积变形本质探究及反思 张春燕（宁波市实验学校，浙江 宁波 315016）摘要：反比例函数背景下，探究几何图形的面积以及几何图形面积与比例系数k之间的关系，是典型的数形结合题，中考也常涉及该知识点。因此在反比例函数新课结束后，安排一节复习课，让学生对新学的知识作回顾和巩固。原计划为反比例函数复习课，因学生对其中一个知识点“等积变形”不熟悉，转而利用教材中的探究活动，进行追本溯源，探寻问题本质。关键词：等积变形；平行线；本质 中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-2560（2023）02-0111-04“等积变形”是历年中考常见知识点，会隐身于反比例、二次函数等综合题目之中，学生对这类考题是既熟悉又害怕。通过本次探究活动，学生了解了这类题的特征，抓住关键点为作出平行线，再利用“夹在两条平行线间的垂线段相等”性质，逐步建立知识体系。从“同底等高”这一知识点出发，学生经历自主探究，解决一系列高阶问题，有效提升解决问题的思维能力1。本文选择浙教版八年级下第四章第二节课后的探究活动，在教师的引导下，学生们经历由浅入深、由易到难的探究过程，并将探究得到的结果进行变式拓展应用。一、呈现原题找结论 反比例函数复习课从基本概念开始，逐步复习到图象性质，教师出示图象并抛出问题：请大家仔细观察图 1，在这个图中你可以得出哪些结论（结论从图形面积，线的位置、大小关系，角度等方面去考虑）？出示本题的目的是为了巩固学生对反比例函数中比例系数k与几何图形面积关系，并将由此所推导出来的一系列结论，作为以后解决类似问题的有效方法，帮助学生跳出“题海”。图 1 图 2 该问题引导式的设问，学生们较快找到以下结论：（1）伴随矩形S矩形AEOM=S矩形BFON=DOI:10.13970/ki.nbjyxyxb.2023.02.025112 宁波教育学院学报 2023 k，（2）矩形S矩形AMFP=S矩形BNEP，（3）SAMF=SAPF=SBPE=SBNE，但结论（4）SAFB=SAEB、SAFE=SBFE的得出较慢，结论（5）EFAB的得出较困难，之后却顺利得出结论（6）BAE=AEF，以及结论（7）线段CA=EF=BD。在以上所有结论得出的过程中，相对（5）直线EFAB学生对于得出结论比较困难，原因为从图象观察，可以得出AFB与AEB、AFE与BFE均为同底等高的三角形，故可得出他们面积分别相等。当分别过A、B两点作出高线可以推出四边形为矩形（图 2），根据矩形性质定理便可推出结论（5）EFCD。这个过程反映出学生对于“等积变形”这一知识点的生疏，也是因为对该知识点的本质理解不透彻。二、剖析过程找原因 在实际的教学中，这耳熟能详的基本性质常会隐藏在函数或某个几何图形中，如果能够从这大框架中把它抽离出来，学生便能轻易得出以上结论。若对定理本质掌握不透彻，就会出现以上的情况很熟悉但又很陌生。反思我们平时的教学因太注重定理的巩固，而忽视定理的延伸与拓展，尤其是高阶思维问题群的设计比较少。上面复习题的图象清晰、问题层次分明，教学预设要求学生用刚学完的新识与旧知，简洁明了地回答以上的结论，但实际情况是这些结论的得出并没有这么顺利。其中缘由除了学生对“等积变形”不熟练之外，更重要的是学生对于该知识点的本质不清楚。学生正是因为缺少数学本质体系的建构，所以出现以上状况。学生一旦拥有较完整的体系，便能轻松地将新学的知识与已学知识相结合。若适当增加条件，还能形成新问题，通过符号演化及合理的逻辑推理出结果，长此以往促使学生的思维更开阔2。目前，学生对学过的知识点掌握得比较零散，需要教师引导他们整合，进行追本溯源。教师帮助学生建构完整数学体系，逐步把学生的学习引向深度，从而形成较高的思维能力。鉴于此，教师进行及时调整，将八年级下“平行线性质定理”课后的探究活动，从课外拉入到课堂开展，让学生们经历一次追本溯源的旅程。三、追本溯源找本质 该活动放于新课“行线之间的距离相等”“夹在两条平行线之间的平行线段相等”性质之后，意在通过平行线的这些性质，学生能将“等积变形”的结论应用得更加淋漓尽致。具体活动如图 3。图 3 该探究活动，起点低，通过后面两层问题的设置，将低阶思维推向高阶思维。学生通过动手作图，感受到“夹在两条平行线间垂线段相等”这一性质，即通过“等积变形”的基本原理，领悟到解决此类问题的关键是构造一组平行线。学生翻开书本 85 页，以小组为单位，分别对探究活动中提出的问题进行探讨。在探究过程中，分组发挥了作用，组员之间相互提示、讨论，抓住本探究活动的主旨等积变形，在原图上添加辅助线。教师巡视，给予个别小组适当提示与帮助，及时回答学生在探究过程中的疑问。几分钟后，陆续有小组作出第一个小问题的图，且发现作法不唯一，作出不同的方法后继续第二个小问题的探讨。整个过程全员积极参与，因起点低，连平时成绩不是很理想的同学也热情高涨。到规定的实践节点，教师让学生分别进行汇报：结论 1：图中四个三角形面积相等即SABC1=SABC2=SABC3=SABC4。说明理由：因为这第 2 期 张春燕：三角形等积变形本质探究及反思 113 四个三形共用底边AB，三个顶点均在直线l1上，且直线l1l2，根据“夹在两条平行线间的垂线段相等”这个性质，所以四个三角形的高都相等，可以得到这四个三角形面积相等。这个完整的答案说出了四个三角形面积相等的本质。问题 1：A 同学展示了将一个四边形转化成一个三角形的作图，并说明这样作图的依据：要把这个四边形改成三角形且面积不变，需先画一条对角线BD，把四边形分成两个三角形，把三角形BDC顶点C拉伸。因为面积不能变，所以点C只能在过C点且与BD平行的直线上，故作CC1BD，当点C在直线CC1上，三角形BC1D的面积等于三角形BCD的面积（如图 4），且点C1就在AD延长线上，这时形成新的三角形ABC1就是所求的三角形。A 同学的整个回答过程思路清楚，逻辑完整且严谨，这也同时提醒了部分同学该怎么去思考这个问题，是否还有其它的方法，一定是连结对角线BD吗？果然，A 同学的抛砖引玉，引来更多同学的跃跃欲试，陆续有4位学生相继向全班同学展示了他们的方法，将此题共8种不同的转化方法全部呈现。并总结出：通过作平行线，利用夹在两条平行线之间的垂线段相等性质，实现等积变形。有第一小题的良好开端，学生们抓住关键点是作平行线，再根据第二问转化四边形的要点；“有一组对边平行或者两组对边平行”条件出发，依次有 3 位学生展示他们组探究的第二小题，并讲解这样转化的理由。问题 2：分别将面积转换成平行四边形（如图 5），将连结BD，过点C作CC1BD，DC1AB，交CC1于点C1，则三角形DBC的面积与三角形DBC1的面积相等，四边形ABC1D就是所求的平行四边形。转化成梯形（如图 6），连结AC，作DD1AC，CD1BA，交DD1于点D1，则三角形ACD与三角形ACD1面积相等，四边形ABCD1就是所求的梯形。三分之二的同学都能正确的画出转化后的图形。通过小组合作探究，同学们明确“等积变形”最本质是“夹在两条平行线之间的垂线段相等”这一性质的应用，关键是作出平行线。本探究活动低起点、高输出，综合性强，一方面考查的是平行线之间的距离，另一方面考查学生运用作图工具的能力，以及运用三角形等底等高性质等基础知识解决问题的能力。活动对学生各方面的能力都有较高的要求，同时让学生在探究过程中体验到由“特殊”到“一般”的数学思想。图 4 图 5 图 6 四、本质拓展变简单 学生们经历以上的探究过程，在知道等积变形的本质后，教师给出以下问题：问题 1：如图 7，请画一条直线把四边形ABCD分成面积相等相等的两部分。图 7 图 8 因为他们经历了把一个四边形转化成三角形的过程，且将一个三角形面积二等分最简单的方法，画一条中线。因此要将这一个不规则四边形面积二等分，他们最容易想到将四边形ABCD转化成三角形，作出三角形中线EF，即把三角形EBC面积二等分，也就是将四面形面积二等分。此操作题，若没有前面的探究活动，这将是一难度极大的作图114 宁波教育学院学报 2023 题，但在经历过探究活动后，他们意识到最先要实现的是“等积变形”，通过拆分，完成变形后，难度降低，便可得出如图8中线段EF将四边形面积二等分，且画法不唯一。本次探究活动是因学生对“等积变形”的不熟悉而临时调整，为了更好地验证本次活动的效果，把“等积变形”再次隐藏在四边形中，出示以下题目。问题 2：如图 9，在平行四边形ABCD中，AE平分BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连结AC、CF。求证：ABE是等边三角形ABCEADSABE=SCEF。图 9 图 10 此题如果直接出示第三问，对八年级学生而言，难度过大，因此又增加了前面两设问，有意识引导学生解题方向：由四边形ABCD是平行四边形，可得ADBC，AD=BC，又因为AE平分BAD，可得BAE=DAE，所以可得BAE=BEA，推出AB=BE，由AB=EA，得到ABE是等边三角形，则ABC=EAD=60，所以ABCEAD；因为FCD与ABD等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等地，所以SFCD=SABD，又因为AEC与DEC同底等高，所以SAEC=SDEC，所以SABE=SCEF。前面两小题的设问，很好地引导学生们找到切入点，将第三问涉及“同底等高“问题轻松解决。此题顺利地求解反映出前面的探究活动起到很好的铺垫效果，也与最初习题相呼应，学生利用探究本质，解决问题。五、课后反思悟心得 从常规的角度看这堂课，是失败的，本是关于反比例函数的复习课，到后来演变成习题涉及的一个知识点探究课。但从知识点的落实和调动学生积极性来讲，还是成功的。初二学生学业压力大，教师很少会安排课堂去进行探究活动，这导致学生对于一些知识的拓展变形显得很生疏。面对这种情况，任课教师除了详细了解所教学生的思维特点和学习方式，还应在课堂上根据现实水平，预估课堂中问题设置的难易程度是否得当。数学中的问题就像是数学的心脏，问题质量的好坏，直接影响教学的效果。教师应根据课堂上随时生成的资源，进行教学调整，适时引导学生进行追本溯源，去探究问题的本质。教师在问题的设置上要分梯度，让不同思维层次的学生都能参与进来3。教师可以设置一些开放性问题，调动学生的主动性，培养学生思维分析的能力。如开放性探究性作业，既可以让学生获得基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，还能让学生在学习数学的过程中体会数学知识之间的联系，构建良好的数学体系，发展数学基本核心素养2。参考文献 1 夏田豪,闻黎明.蓦然回首,新定义题却在灯火阑珊处J.中学数学杂志,2022(8):26-29.2 教育部.义务教育数学课程标准M.北京:北京师范大学出版社,2022:1-15 3 张阳.指向数学高阶思维的问题群设计与思考J.中学数学杂志,2022(6):27-30.（下转第 136 页）136 宁波教育学院学报 2023 On Public Ethical Life from Ningbo Urban Parks in the Republic of China WU Chang,YU Jia(Lin an District Party School of the CPC Hangzhou,Lin an 311300,China)Abstract:Abstract:Parks in modern Chinese cities are important places for peoples daily life.It can be found from Ningbo parks during the p