模糊子模度及其性质_李卓栋.pdf

第 45 卷第 3 期2023 年 5 月 湖北大学学报(自然科学版)Journal of Hubei University(Natural Science)Vol.45No.3May 2023收稿日期:20220404基金项目:黑龙江省省属高等学校基本科研业务费科研团队项目(1451TD011),黑龙江省高等教育教学改革项目重点委托项目(SJGZ20200174)和牡丹江师范学院国家级课题培育项目(GP2020005)资助作者简介:李卓栋(1995),男,硕士生;霍东华,女,通信作者,副教授,E-mail:i94donghua 文章编号:10002375(2023)03032705模糊子模度及其性质李卓栋,霍东华(牡丹江师范学院数学科学学院,黑龙江 牡丹江 157012)摘要:将度的概念推广到模糊子模,利用模糊集的蕴涵算子,引入模糊子模度的概念,用于刻画模的模糊子集是模糊子模的程度.研究模糊子模度的等价刻画,和截集的关系以及在同态映射下,模糊子模度的性质.关键词:模糊子模;蕴涵算子;模糊子模度中图分类号:O159文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2022.00.075著录信息:李卓栋,霍东华.模糊子模度及其性质J.湖北大学学报(自然科学版),2023,45(3):327-331.DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2022.00.075.LI Z D,HUO D H.Fuzzy submodules degree and its related propertiesJ.Journal of Hubei University(Natural Science),2023,45(3):327-331.DOI:10.3969/j.issn.1000-2375.2022.00.075.Fuzzy submodules degree and its related propertiesLI Zhuodong,HUO Donghua(School of Mathematical Sciences,Mudanjiang Normal University,Mudanjiang 157012,China)Abstract:The concept of degree was extended to fuzzy submodules.Using the implication operator of fuzzy sets,the concept of fuzzy submodules degree was introduced to characterize the degree that the fuzzy subset of modules was fuzzy submodules.The equivalent characterization of fuzzy submodules degree,the relationship with cut set and the properties of fuzzy submodules degree under homomorphic mapping were studied.Key words:fuzzy submodules;implication operator;fuzzy submodules degree 0引言1965 年,美国控制论专家 Zadeh 教授1在 Information and Control 杂志上发表了模糊数学的第一篇论文 Fuzzy sets,之后模糊数学迅速发展并开拓到代数领域.1971 年,Rosenfeld2引入了模糊群的概念.1975 年,Negoita3等将模理论引入模糊代数后,模糊模理论得到迅速发展,成为了模糊代数中最活跃的部分之一.1987 年,潘福铮4引入了模糊模的范畴,并且讨论了模糊有限生成模.2010 年,Shi5首次提出模糊子群度的概念,用来衡量一个模糊子集是模糊子群的程度.2011 年,作为模糊子群度5概念的推广,史福贵等6将原有的结论推广到了格上,提出了 L-模糊子群度和 L-模糊正规子群度,进一步完善了模糊子群度的概念,并且结合集合套理论7,对原有内容进行了丰富的延伸.2014 年,赫晓琳等8对一般 t-模的模糊子群度以及正规模糊子群相关性质进行了研究.2016 年,赫瑶媛9将模糊子群度由群发展到环,提出模糊子环度.本研究在此基础上,将度的概念推广到模糊子模,并给出模糊子模度的相328 湖北大学学报(自然科学版)第 45 卷关性质.1预备知识定义 1.1在完备的 Heyting 代数 L 中,存在一个二元运算|,其含义如下a|b=c L|a c b.我们列出它的一些性质.1)(a|b)ca c b;2)a|b=a b;3)a|(ibi)=i(a|bi);4)(Viai)|b=i(ai|b);5)(a|c)(c|b)a|b;6)a bc|a c|b;7)a bb|c a|c;8)(a|b)(c|d)a c|b d;(文献6第 2 页)其中表示 L 中的极大元,表示上确界“sup”,表示下确界“inf”.对于非空集 X,LX表示 X 上所有L-模糊集的集合(文献10).a_表示 X 上取 a 值的常数 L-模糊集.定义 1.24M 是一个 R-模,M 被称为一个模糊左 R-模,如果存在映射 A:M 0,1,满足下列条件:1)A(a+b)A(a)A(b)(a,b M);2)A(-a)=A(a)(a M);3)A(0)=1;4)A(ra)A(a)(a M,r R).定义 1.311M 是一个 R-模,M 的一个非空子集 N 叫做 M 的一个子模,若 N 满足:1)N 为 M 的一个子群;2)对 a R,y N 恒有 ay N.定义 1.412设 Ai为 Ri的模糊子集,i=1,2,3,n,则ni=1Ri的模糊子集ni=1Ai定义为xi Ri,(ni=1Ai)(x1,x2,xn)=i=1nAi(xi),称ni=1Ai为 Ai(i=1,2,3,n)的模糊直积.定义 1.513对 a 0,1 与 A LX,其中 X 为非空通常集,记1)Aa=x X:A(x)a 称为 A 的 a-截集;2)A(a)=x X:A(x)a 称为 A 的 a-强截集.定义 1.614设 f:X Y 是通常的映射,A 0,1X,B 0,1Y,则有1)f(A)(y)=A(x)|f(x)=y,x X,y Y;2)f(B)x=B(f(x),x X.2主要结果与证明我们首先引入模糊子模的定义.定义 2.115R 为一个幺环,M 为一个 R-模,存在 M 的一个模糊子集 ,满足下列条件1)x,y M,(x+y)min(x),(y);2)r R,x M,(rx)(x),则称模糊子集 为模 M 的一个模糊子模.根据上述定义,模糊子集 是不是 R 的模糊子模是确定的.因此可以利用文献5中的蕴涵算子,将其作为判断模糊子集 是模糊子模程度的条件,可以得到如下定义.第 3 期李卓栋,等:模糊子模度及其性质329 定义 2.2设 R 为一个幺环,M 为一个左 R-模,为 M 的一个模糊子集,的模糊子模度 mr()定义为mr()=x,yM,rR(x)(y)|(x+y)(rx).命题 2.1设 R 为一个幺环,M 为一个左 R-模,当且仅当 mr()=1 时,M 的模糊子集 是模 M 的一个模糊子模.命题 2.1 的证明若 是模 M 的一个模糊子模,有(x+y)min(x),(y),(rx)(x),对 x,y M,r R 成立.因此(x)(y)(x+y)(rx),有(x)(y)|(x+y)(rx)(ry)=1.得到 mr()=x,yM,rR(x)(y)|(x+y)(rx)=1.即 mr()=1,命题得证.反之,若 mr()=1.由定义,有 mr()=x,yM,rR(x)(y)|(x+y)(rx)=1.因此 x,y M,r R,(x)(y)(x+y)(rx)成立,得到(x)(y)(x+y),(x)(y)(rx).又由于 x 与 y 的任意性,不妨设(x)(y),则有(x)(rx),所以模糊子集 为模 M 的一个模糊子模.综上,命题得证.例 2.1设 R 是全体整数对普通加法,乘法做成的整数环,M 是全体整数对普通加法做成的整数加群,定义:Z|0,1:(n)=0.2,如果 n 是奇数;0.6,如果 n 是偶数.则 mr()=x,yM,rR(x)(y)|(x+y)(rx)=0.2,即模糊子集 的模糊子模度为0.2.命题 2.2设 R 为一个幺环,M 为一个左 R-模,为 M 的一个模糊子集,若 mr()a,则 x,y M,r R 有(x)(y)a (x+y)(rx).命题 2.2 的证明已知 mr()=x,yM,rR(x)(y)|(x+y)(rx)a,则对 x,y M,r R 有(x)(y)|(x+y)(rx)a.由定义 1.1 1)可知,(x)(y)a (x+y)(rx).命题得证.由命题 2.2,可得到 mr()的等价定义.定理 2.1设 R 为一个幺环,M 为一个左 R-模,为 M 的一个模糊子集,则 的模糊子模度 mr()满足mr()=a (0,1:(x)(y)a (x+y)(rx),x,y M,r R.定理 2.2设 R 为一个幺环,M 为一个左 R-模,为 M 的一个模糊子集,若(x)=(-x),则满足mr()=x,yM,rR(x)(y)|(x-y)(rx).定理 2.2 的证明mr()=x,yM,rR(x)(y)(x+y)(rx)=x,yM(x)(y)|(x+y)x,yM,rR(x)(y)|(rx).由文献4中的定理 3.3,有330 湖北大学学报(自然科学版)第 45 卷x,yM(x)(y)|(x+y)=x,yM(x)(y)|(x-y)xM(x)|(-x).当(x)=(-x)时,xM(x)|(-x)=1.所以 x,yM(x)(y)|(x+y)=x,yM(x)(y)|(x-y).得到 mr()=x,yM,rR(x)(y)|(x-y)(rx),命题得证.定理 2.3设 R 为一个幺环,M 为一个左 R-模,为 M 的一个模糊子集.有mr()ab (0,a,b是 M 的子模,其中 a (0,1.定理 2.3 的证明先证 mr()ab (0,a,b是 M 的子模.由命题 2.2,有(x)(y)a (x+y)(rx),x,y M,r R.对 b a 和 x,y b,有(x+y)(rx)(x)(y)a (x)(y)b=b,即(x+y)(rx)b,这表明 x+y b和 rx b成立.所以 b是 M 的一个子模,得证.再证 b (0,a,b是 M 的子模 mr()a.由于 b是 M 的子模,则 b是 M 的子群,并且对 x b,r R,有 rx b.所以对 x,y b,有 x+y b,rx b,则 x+y b,rx b,得到 x+y rx b.又因为 b (0,a 和 b 的任意性,所以 x+y rx a x+y rx (x)(y)a,由定义 1.1 1),(x)(y)|(x+y)(rx)a.mr()=x,yM,rR(x)(y)|(x+y)(rx)a,综上,命题得证.命题 2.3设 R 为一个幺环,Mi为一族左 R-模,i为 Mi的一个模糊子集.那么可以得到mrni=1i()ni=1mr(i).命题 2.3 的证明设 M=ni=1Mi,由模糊子模度的定义和定义 1.4,有mrni=1i()=x,yM,rR(ni=1i)(x)()(ni=1i)(y)()()|(ni=1i)(x+y)()(ni=1i)(rx)()()()=x=x1,xn,y=y1,ynM,rRi=1ni(xi)i=1ni(yi)()|i=1ni(xi+yi)i=1ni(rxi)()()x=x1,xn,y=y1,ynM,rRi=1n(i(xi)i(yi)(i(xi+yi)i(rxi)=i=1nxi,yiMi,rR(i(xi)i(yi)|(i(xi+yi)i(rxi)=