一种三阶分段线性混沌系统及其在图像加密中的应用_刘嵩.pdf

第5 7卷第2期华中师范大学学报(自然科学版)V o l.5 7 N o.22 0 2 3年4月J OUR NA LO FC E N T R A LCH I NANO RMA LUN I V E R S I T Y(N a t.S c i.)A p r.2 0 2 3收稿日期:2 0 2 1-1 2-1 6.基金项目:湖北省教育厅优秀青年科技创新团队项目(T 2 0 1 6 1 1);湖北民族大学博士基金项目(MD 2 0 2 0 B 0 2 1).*通信联系人.E-m a i l:g p z h a n g m a i l.c c n u.e d u.c n.D O I:1 0.1 9 6 0 3/j.c n k i.1 0 0 0-1 1 9 0.2 0 2 3.0 2.0 0 5文章编号:1 0 0 0-1 1 9 0(2 0 2 3)0 2-0 2 1 3-1 0一种三阶分段线性混沌系统及其在图像加密中的应用刘 嵩1,2,张建强2,邱 达1,刘静漪1,张国平2*(1.湖北民族大学新材料与机电工程学院,湖北 恩施4 4 5 0 0 0;2.华中师范大学物理科学与技术学院,武汉4 3 0 0 7 0)摘 要:基于异宿环S h i l n i k o v定理,该文提出了一个三阶分段线性混沌系统,构建了该系统两个平衡点之间的异宿环,证明了异宿环存在的充分条件,分析了混沌吸引子的形成机理,验证了系统的可实现性.应用该系统产生混沌数据序列,构建置乱矩阵和随机扩散矩阵对图像进行加密.在MA T L A B平台进行了密钥敏感性分析、相关性分析、信息熵分析和抗噪声分析等.实验结果表明:该算法有较好的加密效果与抗攻击能力.关键词:分段线性;异宿环;图像加密;混沌中图分类号:T P 3 9 1.4 1文献标志码:A开放科学(资源服务)标志码(O S I D):混沌是自然界普遍存在的一种运动现象,其应用领域包括保密通信、气象科学、神经网络、图像加密、生 物 医 学、经 济 学 等 各 个 方 面1-5.根 据P o i n c a r e-B e n d i x s o n定理,一个自治系统产生混沌要求至少有一个非线性项和三个状态变量6.连续时间混沌系统生成的基本方法主要包括状态反馈控制、脉冲控制、引入非线性函数、切换控制等,而在实际中构造混沌系统往往是几种方法的综合运用7-1 0.如何生成满足要求的混沌系统是一个长期的研究课题,目前还正处于研究热潮中.分段线性系统本质上也是一种非线性系统,其动力学行为在分段区域内按照线性规律变化,分析相对简单,而且物理实现也相对简单1 1-1 2.对于两个或者多个线性系统,通过引入分段线性控制器,也可以生成混沌.H a n等在两个基本线性系统基础上,利用切换控制方法构造一类分段线性混沌系统,该系统可产生两翅膀、多翅膀和网格多翅膀混沌吸引子,并对所构造的系统进行基本的动力学分析和实验验证1 3;S u n等首先构造了仅有一个公共平衡点的两个三维线性系统,然后设计了一个正八面体切换律来构成混沌系统1 4;P o n c e等研究了一个4 D分 段 线 性 忆 阻 系 统 的 多 重 分 岔1 5;Am a d o r等研究了分段线性忆阻器模型,分析了其动力学特性1 6;马铭磷等分段线性忆阻系统的簇发振荡及其机理1 7.利用分段线性函数构建混沌系统,需要理解混沌产生的机理.S h i l n i k o v定理适合具有鞍焦型同宿环或者异宿环的三阶自治混沌系统的分析和设计,不仅可以分析非线性系统动力学行为,而且可以作为设计三阶自治混沌系统的理论依据1 8.根据异宿环S h i l n i k o v定理,如果三阶自治系统满足条件:1)从平衡点Oi(i=1,2)处出发的流,其线性化的系数矩阵有实特征值i(i=1,2)和一对共轭复特征值iji(i=1,2),并且满足|i|i|,120,120;2)存在一条连接两个平衡点的异宿 环,则 系 统 存 在S m a l e马 蹄 意 义 下 的 混沌1 8.在应用该定理时,条件1)较容易满足,困难之处在于寻找异宿轨道,而异宿轨道与系统平衡 点 是 密 切 相 关 的1 9.鉴 于 此,本 文 基 于S h i l n i k o v定理,首先通过设计异宿轨道构建一个三阶分段线性混沌系统,然后将构建的混沌系统应用于一种新的“置乱+扩散”加密算法,获得了较好的加密效果.1模型的提出根据S h i l n i k o v定理相关理论,在S p r o t t提出的J e r k模型2 0的基础上进行改造,提出的三阶分段线性混沌系统模型如下:2 1 4 华中师范大学学报(自然科学版)第5 7卷x=y-bs g n(x),y=dx-as g n(x)+ez-cs g n(x),z=-2x-as g n(x)+fy-bs g n(x)-z-cs g n(x),(1)其中,a、b、c、d、e、f是系统参数,x、y、z是状态变量,x、y、z是 对 应 状 态 变 量 关 于 时 间 的 微 分,s g n()是符号函数.由于系统(1)满足V=xx+yy+zz=-10,(8)则系统具有鞍焦平衡点.2混沌机理分析2.1混沌机理分析选取合适的参数,使得式(6)的特征值为1=、2,3=j,且|,满 足 异 宿 环S h i l n i k o v定理的第一个条件.设1=对应的特征向量为=123T,(9)j对应的特征向量为1,2=uj r=u1u2u3Tjr1r2r3T,(1 0)其中,u=u1u2u3T、r=r1r2r3T.设向量n是u和r所张成平面的法向量,满足n=ur=n1n2n3T,(1 1)系统(1)在平衡点P1:(a,b,c)所对应的一维特征空间直线lp1:x-a1=y-b2=z-c3,(1 2)对应的二维特征平面v1:n1(x-a)+n2(y-b)+n3(z-c)=0.(1 3)在平衡点P2:(-a,-b,-c)所对应的一维特征空间直线lp2:x+a1=y+b2=z+c3,(1 4)对应的二维特征平面v2:n1(x-a)+n2(y-b)+n3(z-c)=0.(1 5)由系统(1)可知,系统的分界面v:x=0.(1 6)平面v与平面v1、v2的交线分别为L1、L2:L1:n1(x-a)+n2(y-b)+n3(z-c)=0,x=0,(1 7)L2:n1(x+a)+n2(y+b)+n3(z+c)=0,x=0.(1 8)由微分方程理论可知,系统(1)的解是由一维特征空间的直线运动和二维特征平面的螺旋运动合成.如果系统(1)在混沌状态下存在P1到P2异宿轨道,则必定存在着无穷多条异宿轨道,而且其中必定有一条是从P1出发,沿着lp1的方向经过直线L2的某一点,最后到达平衡点P2.即要求直线lp1与平面v的交点N位于直线L2上,满足:n1(x+a)+n2(y+b)+n3(z+c)=0,x-a1=y-b2=z-c3,x=0.(1 9)第2期刘 嵩等:一种三阶分段线性混沌系统及其在图像加密中的应用2 1 5 同理,如果系统(1)在混沌状态下存在P2到P1异宿轨道,则必定有一条是从P2出发,沿着lp2的方向经过直线L1的某一点,最后到达平衡点P1.即要求直线lp2与平面v的交点M位于直线L1上,满足:n1(x-a)+n2(y-b)+n3(z-c)=0,x+a1=y+b2=z+c3,x=0.(2 0)如果存在一条P1到P2的异宿轨道,同时存在一条P2到P1的异宿轨道,那么就可以构成一个异宿环,从而满足了异宿环S h i l n i k o v定理的第二个条件,系统存在S m a l e马蹄意义下的混沌,如图1所示.因此,式(1 9)和式(2 0)同时成立可以满足异宿环S h i l n i k o v定理的第二个条件,该条件是一个充分条件.整理式(1 9)和式(2 0),可得等价条件为:(n22+n33-n11)a=2n21b+2n31c.(2 1)图1 平衡点特征空间F i g.1 F e a t u r es p a c eo f e q u i l i b r i u mp o i n t2.2数值验证为了满足异宿环S h i l n i k o v定理的第一个条件,选取d=1、e=1 0、f=-0.7,式(6)的特征值为1=-2.1 9 9 5、2,3=i=0.5 9 9 82.8 7 7 3j,具有2个鞍焦平衡点,且满足S h i l n i k o v不等式|.设1=、2,3=j对应的特征向量为=123T=-0.4 0 8 80.8 9 9 1-0.1 5 6 9T,(2 2)1,2=uj r=u1u2u3Tjr1r2r3T=0.0 6 2 80.9 0 4 80.0 4 8 0Tj-0.3 0 1 400.2 9 0 5T.(2 3)u和r所张成平面的法向量:n=ur=n1n2n3T=0.2 6 2 8-0.0 3 2 70.2 7 2 7T.(2 4)经计算,a=1、b=1.3 1 8 3 3、c=0满足异宿环S h i l n i k o v定理的第二个条件,存在S m a l e马蹄意义下的混沌.系统的相图如图2所示.系统出现了双涡卷吸引子,计算对应的L y a p u n o v指数分别为0.5 6 4 3、0.0 0 0 2、-2.1 2 6 8,证明了混沌吸引子的存在.3混沌系统的实现根据混沌电路模块化设计的思想,通过变量比例压缩变换、微分-积分转换、时间尺度变换、仿真及电路实现等步骤,采用分立元件设计并实现了所设计的三阶分段线性混沌电路.选取d=1、e=1 0、f=-0.7、a=1、b=1.3 1 8 3 3、c=0,系统(1)可以表示为x=y-1.3 1 8 3 3s g n(x),y=x-s g n(x)+1 0z,z=-2x-s g n(x)-0.7y-1.3 1 8 3 3s g n(x)-z.(2 5)从图2展示的相图可以看出,变量没有超出运算放大器1 3.5 V的动态范围,所以不需要做变量比例压缩变换.对式(2 5)作时间尺度变换.设=t/0,0=1/(R0C0),则式(2 5)可以进行如下变换,x=dxdt=dxd(0),y=dydt=dyd(0),z=dzdt=dzd(0).dxd=0y-1.3 1 8 3 3s g n(x),dyd=0 x-s g n(x)+1 0z,dzd=0-2x-s g n(x)-0.7y-1.3 1 8 3 3s g n(x)-z.(2 6)作微分积分转换,得到:x=0y-1.3 1 8 3 3s g n(x)d,y=0 x-s g n(x)+1 0zd,z=0-2x-s g n(x)-0.7y-1.3 1 8 3 3s g n(x)-zd.(2 7)由于采用了反相加法比例运算器,作标准化处理:2 1 6 华中师范大学学报(自然科学版)第5 7卷图2 三阶分段线性混沌系统相图F i g.2 P h a s ed i a g r a mo fp r o p o s e ds y s t e m x=0-y+1.3 1 8 3 3s g n(x)d,y=0-x+s g n(x)-1 0zd,z=0-2x-s g n(x)+0.7y-1.3 1 8 3 3s g n(x)+zd.(2 8)运算放大器选择T L 0 8 2,是一款通用的双运算放大器,具有较低的输入偏置电压和偏移电流.积分模块取R0=1 0k、C0=3 3n F,根据式(2 8),可以得到各个模块化电路设计,如图36所示.图7给出了基于M u l t i s i m软件的混沌电路仿真图.从 图7可 以 看 出,电 路 仿 真 观 察 到 的M u l t i s i m波形与图2所示的M a t l a b仿真结果一致,说明了混沌吸引子的真实存在性和本设计的可行性.根据设计的仿真电路图,采用运算放大器、电阻和电容等通用电子元件搭建了实际的电子电路,通过示波器可以得到该混沌硬件电路的相图如图8所示.图3 变量x模块电路F i g.3 M o d u l ec i r