扩散型Mackey-Glass方程解的稳定性_姜亦成.pdf

第 43 卷 第 3 期 高 师 理 科 学 刊 Vol.43 No.3 2023 年 3 月 Journal of Science of Teachers College and University Mar.2023 文章编号：1007-9831（2023）03-0011-03 扩散型 Mackey-Glass 方程解的稳定性 姜亦成，樊红云（齐齐哈尔大学 理学院，黑龙江 齐齐哈尔 161006）摘要：研究了扩散型 Mackey-Glass 方程带有 Neumann 边界条件的初边值问题解的稳定性 利用能量估计的方法，证明了当方程系数取不同值时，解以指数收敛到不同常数值的稳态解 关键词：Mackey-Glass 方程；Neumann 边值；稳定性；能量估计 中图分类号：O171 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2023.03.003 Stability about solutions of the diffusive Mackey-Glass equation JIANG Yicheng，FAN Hongyun（School of Science，Qiqihar University，Qiqihar 161006，China）AbstractAbstract：The stability of the solution of the initial boundary value problem of the diffusion Mackey-Glass equation with Neumann boundary condition is studiedUsing the method of energy estimation，it is proved that when the coefficients of the equation take different values，the solution converges exponentially to the steady-state solution of different constant values Key wordsKey words：Mackey-Glass equation；Neumann boundary value；stability；energy estimate 1 引言及预备知识 本文主要讨论扩散型 Mackey-Glass 方程 ()()()()(),1,qutputrD ututtautr-+=+-xxxxx，,0tx （1）带有 Neumann 边值条件的解的稳定性，式中：N R为具有光滑边界的有界连通开集；(,)u xt为血液中的细胞浓度；0D 为扩散系数；为 Laplace 算子；,p为正常数，分别表示细胞的死亡率与生长率；0r 为时滞，表示造血细胞生成的时间周期；a为正常数，1q 为整数 方程（1）描述的是造血细胞的浓度变化规律不考虑空间扩散效应的时滞常微分方程为 ()()()(),1,qutputruttautr-+=+-xxxx （2）是由 Mackey1等于 1977 年给出的时滞效应是一种常见的生物现象，因此带有时滞的微分方程模型更能真实地反映自然界的现象近 20 年间，许多学者对带有时滞的反应扩散方程进行了深入研究，得到了大量丰富的结果文献2得到了模型（1）的 Dirichlet 边界条件的初边值问题解的稳定性与分歧结果；文献3利用加权的能量估计方法得到了 Nicholson 苍蝇模型的震荡行波的稳定性及唯一性；文献4采用单调性方法及 收稿日期：2022-09-10 基金项目：齐齐哈尔大学博士科研基金启动项目（340242）；黑龙江省属高校基本科研项目（135509313，135109226）作者简介：姜亦成（1980-），男，山东潍坊人，副教授，博士，从事偏微分方程理论研究E-mail： 12 高 师 理 科 学 刊 第 43 卷 空间分解技术，证明了 Nicholson 苍蝇方程不满足单调性且具有第一边界值的解收敛到稳态解；文献5-7研究了时滞反应扩散方程半空间问题解的性态 本文考虑方程（1）带有 Neumann 边界条件 (),0ut=xn，x （3）及初始值 ()()0,usus=xx，,0sr-，x （4）的初边值问题解的稳定性，式中：n表示单位法向量 齐次 Neumann 边界条件（3）在生物上表示种群在区域的内部与外界无流动 引理 18 设10是特征问题,0,uuu-=xx的主特征值，则222211LLuu 引理 2 设函数()0g t，且满足不等式()()()g tg tpg tr+-，若0p，则()etg tM-，式中：M与为正常数 利用比较原理，结合文献3中的定理，易证得引理 2 主要结果及证明 显然，初边值问题（1）（3）（4）的常值稳态解为0u-=，111qpua+=-定理 设()()2,utL+Rx为初边值问题（1）（3）（4）的解，那么（1）若0p，则()()121,etLutC-x；（2）若1pD+，则()222(),etLutuC-+-x 式中：1C，2C为只与初始值(),utx有关的正常数；1，2为正常数；1为算子-带有 Dirichlet 边界条件的主特征值 证明 （1）当0p时，方程（1）两边同乘以(),utx后关于变量x在上积分，可得()()2222,dddd1,qLLLuutruuDu uuptautr-+=+-xxxx 利用引理及 Holder 不等式可得()()2222221d,dLLLLLuuDup uutrt+-x，进而2ddLut+()()221,LLDup utr+-x令()2(),Lg tut=x，由引理可知，存在正常数1C，1，使得()121(),etLutC-x（2）当1pD+时，为了方便，设()1qpuf uau=+，vuu+=-，得到方程（1）关于u+的扰动方程()()()d,dvD vvf utrf ut+-+=-x （5）由中值定理可知，方程（5）可变为()()d,dvD vvfvtrt-+=-x （6）式中：介于(),utr-x与u+之间 方程（6）两边同时乘以v，并关于变量x在上积分，得()()()22221 dd,d2 dLLvDv vvfvt vtrt-+=-xxxx （7）第 3 期 姜亦成，等：扩散型 Mackey-Glass 方程解的稳定性 13 类似前面的证明，由()fp，利用引理 2 及 Holder 不等式可得()221ddLLvDvt+()2,Lp vtr-x 令()2(),Lg tvt=x，由引理可知，存在正常数2C与2，使得()222,etLvtC-x，即()2,Lutu+-x 22etC-证毕 定理表明，当出生率与死亡率出不同值时，解在2L范数意义下以指数衰减到常数值稳态解 由于能量估计方法的制约，定理的条件中对于出生率p有一定的限制我们认为解的衰减估计不应该依赖于此条件，因此就要充分结合方程的结构特点，采用新的方法处理本问题另外，对于带有 Dirichlet边界条件的初边值问题，由于其稳态解不是常数，而是空间变量的函数，这就给问题的研究带来新的困难，这些都将是进一步考虑的主要问题.参考文献：1 Mackey M C，Glass LOscillation and chaos in physiological control systemJScience，1977，197：287-289 2 Pan Xuejun，Shu Hongying，Wang Lin，et al Dirichlet problem for a delayed diffusive hematopoiesis modelJ Nonlinear Analysis（Real World Applications），2019，48：493-516 3 Lin C K，Lin C T，Lin Y P，et al Exponential stability of non-monotone traveling waves for Nicholsons blowflies equationJ SIAM J Math Anal，2014，46：1053-1084 4 Hao J W，Yang Y JDirichlet problem for the diffusive Nicholsons blowflies equationJJ Differential Equations，1998，150：317-348 5 Yi T S，Zou X FDirichlet problem of a delayed reaction-diffusion equation on a semi-infinite intervalJJ Dynam Differential Equations，2016，28：1007-1030 6 Jiang Yicheng，Zhang KaijunTime-delayed reaction diffusion equations with boundary effect：（I）convergence to non-critical traveling waveJApplicable Analysis，2018，97（2）：230-254 7 Jiang Yicheng，Zhang KaijunStability of traveling waves for nonlocal time-delayed reaction-diffusion equationsJKinetic and Related Models，2018，11（5）：1235-1253 8 王明新非线性椭圆型方程M北京：高等教育出版社，2010：40（上接第 10 页）参考文献：1 张鑫，鲁文儒，缪仲翠，等分数阶微积分在滑模控制中的应用研究J传感器与微系统，2022，41（2）：46-49 2 Das SFunctional fractional calculus for system identification and controlsMBerlin：Springer，2008 3 Bharti C K，Singh S，Ranjan AApplication of fractional calculus in analog signal processing circuitsJInternational Journal of Advanced Research in Computer and Communication Engineering，2015，4（4）：307-309 4 张迎雪，管萍，戈新生高超声速飞行器的模糊分数阶 PID 控制J航天控制，2020，38（6）：31-37 5 敬喜卡尔曼滤波器及其应用基础M北京：国防工业出版社，1973 6 刘禄，潘峰，薛定宇一种分数阶卡尔曼滤波器J东北大学学报，2014，38（8）：1069-1077 7 Yang C，Gao Z，Ma X O，et alStudy on initial value problem for fractional-order Kalman filters of linear continuous-time fractional-order systemsC/2021 IEEE 10th Data Driven Control and Learning Systems Conference，2021，DOI：10.1109/DDCLS52934.2021.9455538 8 Prodlubny IFractional differential equationMNew York：Academic Press，1999 9 Caputo M C，Torres D F MDuality for the left and right fractional de