具有可逆效应的自催化扩散模型的定性分析_刘晓慧.pdf

第 卷 第 期北华大学学报（自然科学版）年 月 （）文章编号：（）：具有可逆效应的自催化扩散模型的定性分析刘晓慧，郭改慧（陕西铁路工程职业技术学院基础课部，陕西 渭南；陕西科技大学数学与数据科学学院，陕西 西安）摘要：在齐次 边界条件下，研究一类具有可逆效应的自催化扩散模型首先，通过稳定性理论建立由扩散引起的 不稳定性；其次，利用 局部分支理论，给出简单特征值处的分支结构；最后，采用空间分解技术和隐函数定理，证明双特征值处稳态分支的存在性关键词：自催化模型；不稳定性；稳态分支中图分类号：文献标志码：收稿日期：基金项目：国家自然科学基金项目（）；陕西铁路工程职业技术学院科研基金项目（）作者简介：刘晓慧（），女，助教，主要从事微分方程及其应用研究，：，（，；，）：，：；引 言自催化反应中反应物和生成物的动态变化一直是国内外学者关注的焦点问题，了解自催化反应的动力学性质，对 的复制、化学振荡和斑图动力学等问题的研究具有重要作用 年，提出一类自催化系统，其反应机制为，（）其中、和 分别为反应物和生成物为探究化学反应中丰富的空间模式，众多学者致力于研究具有扩散项的系统（），但大多仅针对系统（）的单向反应系统或含有一个可逆的反应系统，如文献事实上，自催化反应中 才是系统（）的关键反应，文献 研究了单向自催化反应系统 正平衡点的稳定性和非常数稳态解的存在性目前，对含有关键可逆项的研究大多关注的是系统的稳定性和极限环问题为探索关键可逆反应更多的动力学行为，文献 在文献 的基础上，研究了具有关键可逆项的自催化系统 的 分支，无量纲化的微分方程模型为 ，|（）其中：和分别为关键物质和的无量纲浓度；和分别为关键物质和的扩散系数，、均为正常数；表示单位外法向量；为拉普拉斯算子 不稳定性是指均匀空间的稳态解在扩散空间中可能失稳，并产生非均匀的斑图此结论被广泛应用到生物、化学和物理等领域，如 反应扩散系统和自催化扩散系统等本文将在文献 的基础上进一步探究系统（）在齐次 边界下的 不稳定性和稳态分支由文献 可知，系统存在惟一的正平衡点（，），其中，不稳定性本节，讨论系统（）在扩散影响下产生的 不稳定性在齐次 边界条件下，算子 的特征值 满足 ，具有多重度 ，特征值 所对应的特征函数为（，）在一维空间（，）中，特征值|，对应的特征函数具有如下形式，|，|假设，那么存在一个最大正整数 使得当 时满足 （）令?（，），其中，（），定理 设 （）若（）或（）且?，则系统（）在正平衡点（，）处局部渐近稳定；（）若 （）且?，则系统（）在正平衡点（，）处不稳定证明：系统（）在（，）处的线性化系统为|第 期刘晓慧，等：具有可逆效应的自催化扩散模型的定性分析令（，）为 对应特征值 的特征函数，即 （，）（，），其中 ，整理得 ，|显然 的所有特征值可由方程 （）的特征值给出，其中 （），|令 （）当 时，对任意的 ，都有 此时 的符号对正平衡点（，）的稳定性起着关键作用，可通过 的符号来给出系统（）产生 不稳定的最优条件（）如果（），这意味着线性算子 的所有特征值均具有负实部，那么正平衡点（，）局部渐近稳定如果 （）且?，那么，当 时 ，且（），这意味着对任意的都有 当 时，发现（），所以仍然可以得到 因此，当 时，有 ，此时正平衡点（，）局部渐近稳定（）如果 （）且?，那么，在 ，内存在最小值，使得 ，这意味着 ，因此正平衡点（，）不稳定证毕稳态分支在一维空间（，）中将变换（?，?）（，）代入系统（），为方便计算仍用、表示?、?，则系统（）变为 （）（）（），（，），（）（）（），（，），|（）本节以 为分支参数，讨论系统（）在（，）处非常数正解的分支结构令 （，）：，（，），（，）（，）定义映射：为（，）（）（）（）（）（）（）|，（，）显然（，）是系统（）的惟一常数解，也是映射（，）的常数解，即（，（，）（，）关于 在（，）处的 导数为（），（，）()|北华大学学报（自然科学版）第 卷定理 假设 （）（）对任意整数，当 时都有，则（，（，）是方程（，）的一个分支点当 充分小时，方程（，）存在一条非常数解曲线（）（），（），（），满足（），（），（）（，），（）（），（）（），其中（）、（）、（）是关于 的连续微分函数，且（），（）假设存在一个正整数（）使得，?令 ，|，（），（），（），（）（，）：（）（）（）若当 或 时，则（?，（，）是方程（，）的一个分支点当 充分小时，方程（，）存在一条非常数解曲线（）（），（）（），满足（）?，（），（），其中（）、（）、（）是关于 的连续可微函数，这里满足不等式，（）（），（）或，（）（）（）证明：（）由 分支定理可知，若（，（，）是分支点，则需满足以下条件：（）、和 存在且连续；（）（，（，）（，（，）；（）若（，（，），则（，（，）（，（，）由线性化算子（，）（，（，），|，可知、和 是连续的条件（）满足当?，时，有 ，则（，），其中|，第 期刘晓慧，等：具有可逆效应的自催化扩散模型的定性分析因此（，）（，）的伴随算子为（，），|，同理可得（，），|，其中 由（）（）可得 （，）（，）条件（）满足经计算（，（，）|，且（，（，），所以（，（，）（，）条件（）满足（）假设存在一个正整数（）使得，?，则有（?），（?），且（?）（，）：（）（），这意味着（?）（?）此时（）中的条件（）不满足，分支理论不再适用下面采用空间分解技术和隐函数定理来完成双重特征值处稳态分支的证明把映射（，）的线性部分和非线性部分分解为（，）()（）（）（）（）（）|（）|（，）（，）|，其中（，）（，），且（，），()把 分解为 ，其中 ，已在式（）中被定义下面寻找方程（，）形如 （），（，）的解，其中、是参数在 上定义算子：|（）（）显然，（），且 由于 是从 到 的一个映射，故可将 分解为 ，其中 （），（）（?）固定 ，定义非线性映射（，；）：（，）为（，；）（，（）北华大学学报（自然科学版）第 卷（）（）?|，其中?且?（）（）（）（）显然（?，；）（，；）在（?，；）处关于（，）的 导数为（，）（?，；）（，）（?）|，其中、在式（）和式（）中给出作分解|，|，其中|，|，显然|，|下面，分 和 两种情形来讨论情形 当 时，有，则|进一步分解|，|，其中|，|，设（，）（，；）（，），其中第 期刘晓慧，等：具有可逆效应的自催化扩散模型的定性分析（）（），（?）|令（，）（?，；）（，），则有（）（），（?）|（）由式（）和式（）中的第个等式知，将结果代入第个等式得 ，这表明（，）（?，；）是一个单射对任意的（），需有（，）使得（，）（?，；）（，）|（）由 的分解可知，存在、和（，）使得|，将上述等式代入式（）得 ，（?）|（）由式（）可得 ，将、代入式（）的第 个等式得()|?|，这意味着北华大学学报（自然科学版）第 卷?|此时（，），?|满足式（），这表明（，）（?，；）是满射综上，映射（，；）是一个同构映射由隐函数定理可知，当 充分小时，方程（，（，）存在一条非常数解曲线（），（），（），其中（）、（）、（）是关于 的连续可微函数且满足（）?，（），（）因此（，（，）的非常数解为（），（）（）情形 当 时，有 ，则|分解|，|，其中|，|，整理知（，）（，；）（，）（?）（）（）|，其中|，|，|，|，|与情形类似，如果满足式（），那么（，）（?，；）是从 到的一个同构映射证毕小 结本文在齐次 边界条件下讨论了系统（）的 不稳定性和稳态分支的存在性结果表明，当 （）且?时，系统（）在正平衡点处局部渐近稳定；当（）且?时，系统（）在正平衡点处不稳定，可能会产生非常稳态分支第 期刘晓慧，等：具有可逆效应的自催化扩散模型的定性分析参考文献：，：，（）：，：郭改慧，郭飞燕，李纪纯具有饱和效应的任意阶自催化反应扩散模型的 不稳定性和 分支吉林大学学报（理学版），（）：，（）：，：，（）：郭改慧，刘晓慧一类自催化可逆生化反应模型的 分支及其稳定性数学物理学报，（）：，（）：，：，：，：，（）：，：，：，（）：【责任编辑：伍 林】北华大学学报（自然科学版）第 卷