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中华 人 民 共 和 国 国 家 标 准UD C 5 1 9.2 8数 据 的 统 计 处 理 和 解 释r 分布(皮尔逊Il l 型分布)的参数估计GB 8055一87S t a t i s t i c a l i n t e r p r e t a t i o n o fP a r a me t e r e s t i ma t i o n f o r g a mmad a t adi s t r i but i o n(P e a r s o n 1 1 1 d i s t rib u t i o n)1 引言 l.1 适用范围及用途 本标准适用于服从、分布的各种随机变量本标准规定了根据样本值估计r 分布的参数的方法 1.2 应用亲件 对测量、试验、调查得到的数据，要进行理沦分析、经验判断或统计检验，如果服从 分布.则可按本标准确定其参数的点估计和区间估计2 名词术语 本标准所用统计学名词术语见G B 3 3 5 8-8 2 统计学名词术语及符号，除此之外.还规定名词术语如下:2.1 偏态系数c o e f f i c i e n t o f s k e w n e s s 总体的三阶中心矩与 标准差的立方之比 C，二E(X一E(X)Y 八寸&(X一E(X)Y)，2.2 样本的几何均值 g e o m e t r i c m e a n o f s a m p l e:个 抽 样 单 位 乘 积 的 令 次 幂。(1、二，)2.3 甲函数!1 一 f u n c t i o nF函数的导数与 1 1 函数之比。州甲 o 0，琪0 其中，斑)。是形状参数;h。是尺度参数 当，沈，:、为样本观测值时，本节给出参数,n,6 的点估计。4.1.1 矩估计(,r 1 0)当精度要求不高时，可用此法 实施步骤 a.计算样本均值、一 令 J x,(1)b，计算样本方差1,1 一 万 士、1 I u(，一 z)(2)计算 很的矩估计欢=r /R(3)d.计算b 的矩估计b=S/,4.2 极大似然估计(n t o)寻求极大似然估计有两种方法，近似公式法和牛顿迭代法。其中近似公式法给出的极大似然估日.(5)计算误差可达1 0,，牛顿迭代法可给出更高的计算精度，实际 L 作中可根据需要选用其中之-4.1.2.1 r E 似公式法 实施步骤:a，计算统计最 /7一 I n一 I n r 其中，沂 是样本的几何均值 b计算，的极大似然估计 当 0 H毛0.5 7 7 2时 0.5 0 0 0 8 7 6 十 0.1 6 4 8 8 5 2 8 一0.0 5 4 4 2 7 4 H m=1 1 当 0.5 7 7 2 口x-a其中。是形状参数,b O 是尺度参数，。是位置参数当ax，一，x n 为样本观测值时，本节给出参数。，b，。和三参数 r 分布的期望 产，变异系数C .偏态系数 C，的点估计4.2.74.2.2参数 m,b,a 与)e-C，的关系a m b斗、m/(m+a/b)2/,几R4/C;e C,C,l 2.(I 5).(L 6)(J 7)二(1 8)a l l一 2 C,/C,):;:适线法(n 2 0)实施步骤:样本从大到小排列成x.x;一 李 x;,b.用公式P,一 n+1(:一，2。)(2 1)计算 P t。计算Ex,(2 2)d.计算氏和C，的初始值 C,。和 久 C。=S/x C。二2 x C./(x 一z;,)e.查附录 A 3的表A 2，由C,o，P查得对应的O,(ti=1,2s.计算.(P)x(p)=x(C ,O,+1)乡计算目标函数值:一一(2 5)Q 二艺 4-x(P,)一 2 6)GB 8055一87h.用模t搜索法逐步求出使 心达到最小的C帅 了，具体步骤见附录 B(补充件)中的B.艺节.取/，=x,C，二C J ,G?,一l,框图及程序见附录B(补充件)。5 二参数 1 分布的区间估计 当:二，之，。为样本观测值时，给定置信水平 一a.本节给出二参数 分布参数m,b 的双侧置信区间 5.T 参数。的置信区间(m I)实施步骤:e.计算统计量H=l n s 一I n z.，.(2 7)b.查G B 9 0 8 6.2-8 3 统计分布数值表护分布 中表2 x,分布分位数表”%9,一 2 一 乒，一。，9 r 一 x 杯，一1)。.计算m的耸信下限 。二(3，十、9 9 li 干1 2(，十1)g,H)l(1 2 s H)，一(2 8)d.计算 m的置信上限 ，。=(3 g、十,/9 g,十1 2(,+行一万 f!)/(1 2.H).(2 9)5.2 参数b 的里信区间 5.2 门当、已知时，参数b 的置信区间 5.2.1.1 当 m已知，且 2 a m簇2 5 0 时 实施步骤:a.查G B 4 0 8 6.2 一8 3 中 表2.,x 分布分位数表”若2,a，为 整 数，则 直 接 查 得X -0(2 n m)和 X 郭2,an e);若 2 n m)2 m-2 5 0 时 实施步骤:a.查G B 4 0 8 6.1-8 3 K 统 计分布数值表 正态分布 中 表3 正态分布 分位数表”，得。,一 子 ,u=计算2一 争 一，4 n n a X u,一 子 汁2 n m7,s 二v 9 n m X u=十2,a.(3 2)二(3 3)b.计算 b 的置信 限b 一 2,a/7,(3 4)计算L 的投信上限L l=2.a/-。二(3 51)是使 甲函数达到极小时的(1,1 C,GB 8 05 5 一 87 附录A图与附表 (补充件)A.1 三参数r分布密度函数图若随机变量 x 的密度函数形如 从0犷Jll才，1f(x 1 m,b,a)=I_ _(a_-6 y 一 _-(m)b /m e z a x ax乓 .乓 a其中，m O,b 0，一二a+二则称二 服从三参数f 分布，也称皮尔逊I I I 型分布。当 a=0 时，即为二参数 r 分布;当m=1 时，即为指数分布;当 切 一n“一“，为 整 数 时，即 自 由 度 为，的 X (n，分 布。甩 二2,b=40 0 0,n 找，热 二2，b 二 4 0 0 0,口二 2舰 之 1.b=1 00 0 0,am-2,b 1 0 0 0 0,a=0图 A1A.2 符号表G B 8 0 5 5 一 8 7友 Al一一，一 一一 一 一 一一 一 一 一一-一一一 符号意义f 7tlU 机L 6 u b L1 分布的密度函数r函数1 分布的形状参数I 分布的尺度参数r 分布的位置参数总体期望总体方差总体标准差总体的变R系数总体的偏态系数样 本量随机变量的观测值样木的算术均值样本的几何均值样本的方差样本的标准差样本的二阶中心矩样本的算术均值与几何均值之比的对数甲函数Y 函数的导 数形状参数 湘的估1 1-量尺度参数 b 的估计最位置参数a 的估计量总体均值u的估计量总体变异系数C b 的估计量总体偏态系数C:的估计最置信水乎不大于。的最大整数自由度为:的x 分布的。分位数参数、的置信 r 限参数，的置信下限参数6 的置信上 限参数 b的置信一 下限已9时，取:W(m)_，。爪 一 1 _2m12 m +1 20m 一i25 2 m瑞二(，)一 n +-I、一 16 m 一130 m 当。9时，取、p(m)甲厂(n p一 W!。十 9)一艺 (k 十 二)一二 飞。1。)一、又(k+m)一2 6 2GB 8 0 5 5 一 87程序d i m e n s i o n x(1 0 0)o p e n(2,f i l e-p r n )w r i t e(*,8)f o r ma t(l x,f o r ma t:*)w r i t e(*,1 1)f o r ma t(l x,i n p u t s a m p l e n u mb l e n 一 丫)r e a d(+，1 0)nf o r m a t(i 4)f o r m a t(l x f o r m a t:*;*.)d o 4 4 i=1,nw r i t e(*,1 3)w r it e(*,2 0)if o r ma t(l x,I s a m p l e x(.i 4,)=丫)r e a d(*,2 1)x(1)f o r m a t(f 7.2)c o n t i nu ew r i w(2,1 3 6)f o r m a t(l x,S A MP L E S x:/)w r i t e(2,1 3 5)(x(i),i 二l,n)f o r m a t(l x,5(f 8.2,3 x)/)f o r m a t(l x,f o r m a t:*.*)w r i t e(*,1 5)w r i t e(*,1 2)f o r m a t(l x,c p s 二 丫)r e a d(*,1 4)e p sf o r m a t(f 8.6)w r i t e(2,1 6)e p sf o r m a t(l x,e p s=,#9.7)a=0.0 x b=0.0 x h-0.0d o 5 0 0 i=1,nx b=x b+x(i)x h=x h+a l o g(x(i)一a)x b=x b/n 一ax h 一x h/na l=a l o g(x b)一x hw r i t e(2,5 1 0)a lf o r m a t(l x,a =f 1 4.9)z 0 二0.5/a li f(z O.g e.9.O)g o t o 2 0 0 x 0=9.O+z o12乙熟4 全5;86:7;1 18:9;1 01 0;1 31 1:1 2;1 3:1 4:2 01 5:1 6:2 11 7;4 41 8:1 9:1 3 62 0:2 1:1 3 52 2;1 52 3;2 4,2 5;1 22 6:2 7:1 42 8:2 9;1 63 0;3 1:3 2:3 3;3 4:3 5;5 0 03 6;3 7:3 8;3 9:4 0;5 1 04 1:4 2;4 0 04 3:2 6 3GB 805 5一 8 74 44 5:4 6;4 7;4 8:4 9:5 0:3 0 05 1:5 2;2 0 05 3:5 4;21 05 5:5 6.2 0 15 7:5 8:2 0 55 9:6 0;61:6 2:1 0 06 36 4:5 5 06 5:6 6言6 7:6 86 9:7 0:7 1:7 27 3;7 4:7 5.7 6:7 7;7 8:7 9;8 0.-p=p u s i(x 0)P I=p u s i 1(.0)d o 3 0 0 i=0,8x O 二i+,OP 二p-1.0/x 0P I 二P 1 十1.0/x 0/x 0c o n t i n u eg o t o 2 1 0P=P u s i(z 0)p l-P u s i I(z 0)z=z 0 一(a l o g(z 0)一p-a l)/(1.w t i t e(2,2 0 1)z 0,z,e p sf o r m a t(I x,m 0 二,f l 2.7,2 x,wt i t e(2,2 0 5)a0/z 0 一P I)m二,f 1 2.7.2 x,c p s 二,t 9.7)f o r ma t(I x,a=,f 1 4.9)i f(a b s(z 0 一z).g t.e p s)g o t o 5 5 06=x b/zw r i t-(2,1 0 0)z,bf o r m a t(l x,m二 J1 5.9,5 x,、二,f 1 5.9)s t o pz 0-zg o t.4 0 0e ndf u n c t i o n p u s i(z)s=0.1 一1.0/2 1.0/z/zs=1.0 一，/z/zs 二1.0+s/6.0/zp u s i=a l o g(z)一s+0.5/zr e t ur ne n df u n c t i o n p u s i 1(z)s 二0.2 一1.0/7.0/z/zs=1.0-s 八/