从DFT导出过程和频谱分析谈DFT教学_唐建.pdf

第 45 卷第 3 期2023 年 6 月电气电子教学学报Journal of Electrical and Electronic EducationVol 45No 3Jun 2023收稿日期:2022-04-15;修回日期:2022-05-23基金项目:安徽省教学研究项目“新工科数字信号处理教学改革”(2020jyxm2269)第一作者:唐建(1972)，男，博士，讲师，主要从事信号与信息处理的教学与研究工作，E-mail:jtang ustc edu cn从 DFT 导出过程和频谱分析谈 DFT 教学唐建姚鹏(中国科学技术大学 微电子学院，合肥 230027)摘要:信号处理中离散傅里叶变换 DFT 是一个重要的计算手段，可以完成很多计算，包括对连续时间信号的频谱估计。这在教学中是一个重点和难点。构建了由连续时间傅里叶变换 CTFT 和离散时间傅里叶变换 DTFT 导出 DFT 的过程，通过一系列操作和推导，以此理解 DFT 和 DTFT 以及离散时间傅里叶级数 DTFS 的密切联系，并深刻体会利用 DFT 做频谱分析的特点和考虑。关键词:离散傅里叶变换;频谱分析中图分类号:G420文献标识码:A文章编号:1008-0686(2023)03-0106-06Disucussion on DFT Teaching from DFT Derivation Process andSpectrum AnalysisTANG JianYAO Peng(School of Microelectronics，University of Science and Technology of China，Hefei 230027，China)Abstract:Discrete Fourier transform(DFT)is an important calculation method in signal processing，which can do many calcula-tions，including spectrum estimation of continuous time signals It is a key and difficult point in teaching This paper constructs aprocess of deriving DFT from continuous time Fourier transform(CTFT)and discrete time Fourier transform(DTFT)Througha series of operations and derivation，the process is helpful to understand the close relationship between DFT，DTFT and discretetime Fourier series(DTFS)，and deeply understand the characteristics and considerations of spectrum analysis using DFTKeywords:DFT;spectrum analysis傅里叶变换有四种基本变换:连续时间傅里叶变换(CTFT)、连续时间傅里叶级数(CTFS)、离散时间傅里叶变换(DTFT)和离散时间傅里叶级数(DTFS，DFS)，分别针对连续时间非周期信号、连续时间周期信号、离散时间非周期信号、离散时间周期信号。然后，在频域引入单位冲激函数之后，可以在傅里叶变换(FT)的统一框架里分析，即周期信号也有傅里叶变换。傅里叶变换具有极其重要的理论和应用价值。通常，工程中很多时候面对的是连续时间信号，但又存在需要用数字计算机来处理的需求。其中一些任务涉及信号的频谱分析。上述四种傅里叶变换公式里，要么存在有限或无限区间上的积分运算，要么存在变量的取值区间为无穷区间，这给工程应用带来了很大的困难。因此，有必要根据基本傅里叶变换提出一种能够适用于计算机使用的变换形式。尽管 DTFS 潜在给出了一种可能的实现方式，但仍需一种新的表示方法。用计算机解决问题的一个重要的特点是时频域中的信号是离散的、有限长的，因此适用计算机处理的傅里叶变换是有限长离散序列的离散傅里叶变换(DFT)，它是一种最基本而又非常重要的计算工具。DFT 能完成很多任务，包括频谱、滤波、卷积等等。之所以说 DFT 是一种重要的计算工具，是因为能够用 DFT 重构具有重要物理意义的 DTFT 和 Z 变换(ZT)的值，从而为其它应用提供了计算依据。因此，DFT 有重要意义。让学生深刻理解 DFT 和掌握其应用是一个教学重点，也是一个难点。在 DFT 引出的教学上有两种典型做法1 4。文献 1从 DTFT 入手给出了 DFT 变换公式，然后通过公式比较给出了 DFT和 DFS 的关系，从而明确了 DFT 和 DTFT 以及DFS 的密切关系。文献 2直接从 DTFT 的频域离散并取原点开始的一个周期内的序列值(主值序列)而给出了 DFT 变换。文献 3先讨论了DFS 和 DTFT，然后借助于 DFS 而引出了 DFT，即DFT 是 DFS 主值序列之间的关系，并指出了 DFT与 DTFT 的关系。文献 2综合了 4 种傅里叶分析方法(包括DFT，且含图示)讨论了从连续时间信号及其 CTFT到离散时间有限长序列及其 DFT 的整个过程，并结合一些简介的公式来帮助分析。文献 5 也给出了类似分析的一个图示过程 DFT 导出的图形解释，也结合了一些简介的公式来帮助分析。这两种分析方法比较好，突出了相关过程及其关联。在此基础上，本文进一步完善了从连续时间信号及其频谱到 DFT 导出的整个过程中较完整的公式分析和推导，公式之间紧密联系，展示了一个导出 DFT 的特色过程，强调了连续时间域和离散时间域之间的尺度变换关系对模拟角频率域和数字角频率域之间的尺度变换关系的影响。本文分析对有关教学的知识点整合有一定的补充作用，有助于学生对整套傅里叶变换的理解和应用。1DFT 导出过程及频谱分析下面对 DFT 导出过程的分析和利用 DFT 计算原始信号频谱的分析，按八个步骤进行阐述。1 1连续时间信号 xa(t)及其频谱 Xa(j)为了体现不同符号的含义，把不同的时间信号的符号加以区分。原始的连续时间信号 x(t)记为xa(t)，理想采样信号记为 xs(t)，由理想采样信号的样本 xs(nTs)(也就是理想采样信号中各个冲激的强度)构成的离散时间序列记为 x(n)。这三个信号对应的频 谱 分 别 记 为 Xa(j)、Xs(j)、X(ej)，前两个是信号 xa(t)和 xs(t)的 CTFT，后一个是序列 x(n)的 DTFT。xa(t)的 CTFT 频谱 Xa(j)为Xa(j)=+xa(t)exp(jt)dt(1)通常情况下 xa(t)是比较长的，在使用计算机处理信号时需要信号是有限长且是离散的，因而需要对 xa(t)截断再进行处理。假设截取信号 xa(t)的一段时间为 t 0，T，时长为 T。或者，按照应用约束而把 xa(t)按帧长要求截断成长度为 T 的信号段 xT(t)再逐段进行处理。例如，语音信号处理中一般帧长为 20 ms 左右;语音编解码标准G 729协议里帧长是 10 ms。若 xa(t)视为截断时间长度为 T 的信号，根据信号时宽 带宽的不定原理5，那么理论上频谱Xa(j)范围应该是整个频域。为简化，这里假定其范围为 c，c。也可以理解截断信号的长度是足够长，Xa(j)包含了信号的主要频率成分，主要频率成分范围为 c，c。因此，这个频谱 Xa(j)是近似值，或者说并不是真正的原始信号 x(t)的频谱。也正因为此，在利用 DFT 这个计算手段来计算原始信号的频谱时，最终得到的结果也将是一个近似值;所以，应用中要有适当的考虑和参数选择，力求算法足够好，以便在感兴趣的频率上获得足够近似的频谱信息。对上述问题的另一个解释，是窗函数的影响。最简单的窗函数是矩形窗 r(t)=1，0tT。对xa(t)截断，可以理解为实施了加窗函数的操作。设截断的时间信号 xT(t)的频谱为 XT(j)。根据CTFT 的频域卷积定理，XT(j)与 Xa(j)会有一定差别，这个差别由频域卷积结果决定。这个卷积结果将会平滑 Xa(j)包络(这将影响到频谱分析的频率分辨率)，且将会产生频谱泄露问题，这是由于加窗操作而引入的两个主要问题。为了 简 化 分 析，下 面 的 讨 论 暂 时 不 考 虑XT(j)与 Xa(j)之间的差别，而是采用 xa(t)和Xa(j)往下做进一步的分析。注 1:这种做法，是考虑先对连续时间信号做截断，然后再做离散化。也可以先对连续时间信号做离散化，再对离散时间信号做截断。本文采用前一种做法，即先把加窗操作及其影响反应 到Xa(j)里，是为了减少后续分析中在离散时间域里的加窗操作而需要引入的讨论，对整个过程中的公式推导有一定的简化，便于理解。1 2周期采样函数 p(t)及其频谱 P(j)令采样周期为 Ts，使用周期采样函数p(t)=+n=(t nTs)(2)对 xa(t)进行抽样，在时长 T 内采样 N 点。p(t)是周期冲激串函数，模拟理想采样。冲激串的强度设为 1。在频域引入 函数后，p(t)的 CTFT 频谱P(j)为频域里的周期冲激串函数P(j)=2Ts+k=(ks)(3)P(j)的周期为 s。s=2Ts，它是抽样频率，按时域采样定理，s要大于信号带宽 c的两倍以上。1 3理想采样信号 xs(t)及其频谱 Xs(j)上述时域采样得到理想采样信号 xs(t)xs(t)=xa(t)+n=(t nTs)=+n=xa(nTs)(t nTs)(4)701第 3 期唐建，等:从 DFT 导出过程和频谱分析谈 DFT 教学对式(4)两端直接做 CTFT，得到 xs(t)的频谱Xs(j)为Xs(j)=+n=xa(nTs)exp(jnTs)(5)1 4离散时间序列 x(n)及其频谱 X(ej)由 xs(t)的样本 xa(nTs)构成一个新序列，记为离散时间序列 x(n)，在取值上有 x(n)=xa(nTs)。注意，二者含义不同，xa(nTs)的自变量 nTs是模拟连续时间量，而 x(n)的自变量 n 是离散数字时间值。可以视为后者是前者在时间 t 轴上有个尺度Ts的变换，然后再取整数自变量的结果(n，n=0，1，N 1)。这个观点对于分析模拟角频率 与数字角频率 之间的线性关系 =Ts非常有用6。根据 DTFT 定义，x(n)的频谱 X(ej)为X(ej)=+n=x(n)exp(jn)(6)对比式(5)和(6)，以及 x(n)=xa(nTs)，有Xs(j)=+n=xa(nTs)exp(jnTs)=+n=x(n)exp(jn)|=Ts=X(ej)|=Ts(7)可见，xs(t)的频谱 Xs(j)与 x(n)的频谱X(ej)在 =Ts时二者等价，即是同一个频谱在不同轴上的体现。两个角频率之间有一个尺度变换因子 Ts。这个性质实际上来源于从 xa(nTs)转换到 x(n)时在时间自变量上引入的尺度变换关系，如上所述。对式(4)，若 利 用 CTFT 的 频 域 卷 积 性 质(Xa(j)和 P(j)卷积运算)并转换到 频域里，有Xs(j)=Xa(j)*P(j)=1Ts+k=Xa(j(ks)(8)X(ej)=Xs(j)|=Ts=1Ts+k=Xa(j(ks)|=Ts=1Ts+k=Xa(j(k2Ts)(9)式(8)表示 Xs(j)在模拟角频率域是以 s为周期的频谱。式(9)表示对应到数字角频率域X(ej)是以 2 为周期的频谱。X(ej)是相当于将原始模拟信号频谱 Xa(j)在整个 频域上周期延拓相加，形成周期为 s的信号，然后再对频率轴做尺度变换，即从 变换到 轴，形成以 2 为周期的频谱。X(ej)是 Xs(j)在数字角频率域上的体现形式。1 5频谱采样信号 Q(ej)及其时间序列 q(