基于NARX和Krigin...时变可靠性分析双层代理模型_常泽明.pdf

http:/DOI:10.13700/j.bh.1001-5965.2021.0541基于 NARX 和 Kriging 的时变可靠性分析双层代理模型常泽明，李璐祎*(西北工业大学航空学院，西安710072)摘要：针对具有动态输出性能的结构系统，传统的求解时变可靠性的代理模型方法在建模时只关注当前瞬间作用于系统的随机变量的作用，而忽视了时间累积效果，使得模型对于时变可靠性的预测效果并不理想。基于此，提出了一种基于带外生输入的非线性自回归(NARX)模型和Kriging 模型的时变可靠性分析的双层代理模型方法。所提方法在内层利用 NARX 模型构建给定随机输入变量下输出响应随时间的变化模型，准确模拟系统的动态行为；在外层基于 NARX 所得极值构建系统极值与随机变量之间的 Kriging 模型，得到时变结构系统的可靠性。通过 3 个算例验证了所提方法在处理具有较强波动性输出系统的可靠性问题时的有效性和准确性。关键词：时变可靠性；失效概率；代理模型；NARX 模型；Kriging 模型中图分类号：TB114.3文献标志码：A文章编号：1001-5965（2023）07-1802-11不确定性广泛存在于工程结构的各个方面，如材料参数、测量误差、几何特性等。这些不确定因素对工程结构能否正常工作将会产生影响。通过分析考虑不确定性因素，可靠性分析能够量化结构系统的安全程度及其性能的有效性，从而使得工程人员能够充分掌握系统的安全性及性能，进而完成更完善的设计工作。目前，针对具有静态输出性能的结构系统已经发展出相对完备的系统可靠性分析方法1-3、基于可靠性的优化设计4-6等诸多方法。但是，实际上随着时间的推移，结构自身的材料性能、所受载荷效应、环境条件等属性并非恒定不变的，受此影响，其性能往往呈现出时变特性。因此，对不确定性结构进行时变可靠性分析具有重要的意义。目前，常见的时变可靠性分析方法分为 3 类：基于跨越率的方法7-13、基于极值的方法14-18和基于代理模型的方法19-23。基于跨越率的方法源于20 世纪 40 年代，Rice 提出了首次超越概率计算公式7。随后，Crandall等8将数值模拟方法引入到首次超越问题中，使得基于首次超越模型的动态可靠性分析理论更加完善。在此基础上，众多研究者发展出了可微高斯过程法9、矩形波更新过程法10、拉普拉斯积分法11、PHI2 方法12-13等众多基于跨越率的时变可靠性分析方法。基于极值的方法源于 Hu和 Du14提出的一种针对极值分布的抽样方法，其利用输出的极值信息来获得结构的时变可靠性，从而把时变可靠性问题转换为时不变问题。Li等15-16使用等效极值事件和极值分布来估计时变可靠性。通过将时变结构的性能函数线性化，Du17提出了时变机构可靠性分析的包络函数法。对于时空多参数时变结构，石岩等18提出了基于包络函数的时变可靠性分析方法。但在实际中，获得输出的极值信息往往需要反复调用功能函数才能实现，收稿日期：2021-09-09；录用日期：2021-12-10；网络出版时间：2022-01-1819：48网络出版地址： J.北京航空航天大学学报，2023，49（7）：1802-1812.CHANG Z M，LI L Y.Double-loop surrogate model for time-dependent reliability analysis based on NARX and Kriging modelsJ.Journalof Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2023，49（7）：1802-1812（in Chinese）.2023年7月北京航空航天大学学报July2023第49卷第7期JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronauticsVol.49No.7尤其对于复杂工程结构，反复调用有限元模型的成本极高。相比之下，基于代理模型的方法显得优势更为明显。基于代理模型的方法通过构造显式功能函数来逼近真实模型，进而通过调用显式功能函数来估计时变可靠性。Cheng 和 Lu19针对高维问题提出了一种高维模型表示(hightdimensionalmodelrepresentation,HDMR)方法。Hawchar 等20利用主成分分析和多项式混沌展开来逼近极限状态面。Hu 等21将快速积分法和代理模型法相结合，提出了一种有效的时变可靠性分析方法。Wang 等22提出了嵌套极值响应面法，采用双层替代法来构造极值替代模型。Hu和 Du23改进了嵌套极值响应面法，发展了一种混合有效的全局优化技术来识别极值，降低了计算成本。上述基于代理模型的时变可靠性分析方法通过一个双循环过程来构建替代模型，其中，外部循环构建输入变量与输出极值间的替代模型，内部循环在给定输入情况下估计输出极值。需要注意的是，这种双循环模型存在一定的缺点：内层极值估计的精度会影响外层模型的精度；较长时间范围内识别结构的极值在计算上代价昂贵。目前，常用的基于 Kriging 模型的双层代理模型方法同样存在上述问题。这些方法在构建代理模型的过程中，由于只关注于某一确定时刻随机变量对于系统输出的影响，而忽视了时间推移过程中的时间效应，使得建立的代理模型对于时变可靠性的预测效果并不理想。尤其是对具有波动性输出的结构，基于 Kriging 模型的双层代理模型方法甚至无法得到收敛的解。针对这一问题，本文将能够良好描述时序行为的带有外生输入的非线性自回归（nonlinear autoregressive with exogenous inputs，NARX）模型引入到双层代理模型方法中，提出了一种基于 NARX 模型和 Kriging 模型的时变可靠性分析方法。该方法在内层通过 NARX 模型来模拟给定输入变量下系统沿时间方向的动态行为，进而得到输出的极值。在外层利用 Kriging 模型建立输出极值与输入不确定性变量之间的替代模型，进而得到结构系统的时变可靠性。由于内层 NARX 模型考虑时间的累积效应，将某一时刻的输出量用系统的输入输出及输入输出的延迟项来表示24，能够准确描述结构系统沿时间方向的动态变化，本文方法对具有波动性输出的系统同样适用。算例结果表明，与已有方法相比，本文方法具有更广泛的适用范围，且能够以小的计算成本和较高的精度得到结构系统时变可靠性。1NARX 模型1.1NARX 模型的表现形式M(t)(t)MT1,T2dtk(k=1,2,NT)对于一个计算模型，表示与时间相关的输入，目的是利用输入和输出的实验数据建立描述的数学模型，因此，将感兴趣的时间区间以 时 间 间 隔离 散 为 一 系 列 时 刻。NARX 模型将一个给定时刻的输出表示为过去输入和输出在当前或之前时刻的值的函数25，即yN(tk)=(z(tk)+t(tk)=(tk),(tknd),yN(tkd),yN(tknyd)+t(tk)（1）(z(tk)z(tk)=(tk),(tknd),yN(tkd),yN(tknyd)Tnnyt(tk)2式 中：为 待 确 定 的 替 代 模 型，为 包含当前和过去输入输出值的向量；和分别为最大输入和输出时间延迟；为 NARX 模型的残差，在标准 NARX 模型中，假设残差服从均值为 0、方差为的标准正态分布。对于所要构造的模型，其函数形式有多种选择，常用的线性形式表示为yN(tk)=ngi=1igi(z(tk)+t(tk)（2）gi(z(tk)ngi式中：为函数模型项，其作用是将原始数据映射到高维特征空间；为模型项个数；为 NARX模型系数。yN(t)yN(td),yN(tnyd)(t),(tnd)由式（2）可以看出，NARX 模型遵循因果关系原则来描述系统的动态行为，即系统当前状态受其先前状态及当前和过去输入的影响。同时，应注意因果效应会随着时间的推移而逐渐消失，故为了精简模型，只需考虑当前时间瞬间之前有限时间延迟就足够了。M(t)建立 NARX 模型有助于为分析人员揭示系统的机制和行为，了解一个系统是如何运行的，从而更好地对其控制。另外，所确定的模型可用于预测系统未来的输出。从这个角度看，其可以被认为是原始模型的近似模型，只要所划分的时间间隙足够小，本文可以利用其来进行整个时间区间内的输出预测。1.2构建 NARX 模型gi(z(t)gi(z(t)gi(z(t)建立 NARX 模型包含 2 个主要步骤：模型结构选择，即确定函数模型项有哪些。值得注意的是，模型项可以由各种全局或局部基函数构造，如为多项式函数形式的 NARX 模型第7期常泽明，等：基于 NARX 和 Kriging 的时变可靠性分析双层代理模型1803在文献中比较常见。此外，样条函数、神经网络、小波函数等也可以作为基函数参与模型构造。参数估计，即确定 NARX 模型系数。如式(2)所示对于线性形式表达的 NARX 模型，可将其看作一个线性回归问题，故可以使用处理线性回归分析问题的方法来解决上述问题。在建立模型的过程中应注意结构的选择，特别是对于非线性系统，这是非常重要和困难的。在模型中包含冗余项会导致过拟合等问题，Billings 建议利用最简单的模型来表示系统的原始动态过程，这样就可以通过正交最小二乘法及其导数来实现整个过程26。不同的结构选择方法包括试错法27、基于相关关系的方法28（正交最小二乘法、正交前向回归法、最小角回归法等）等。其中，最小角回归（leastangleregression，LARS）法29作为基于相关关系方法的一种，既保留了前向梯度算法一定程度的精确性，又简化了前向梯度算法逐步迭代的过程，并且该算法的最坏计算复杂度和最小二乘法类似，适用于线性回归问题。因此，本文采用 LARS 法对NARX 基函数进行选择，利用最小二乘法求解系数，通过对模型的更新，得到所需 NARX 模型。1.2.1结构选择建立 NARX 模型，首先需要明确 NARX 模型的基本形式，如函数模型项类型（多项式和神经网络等）、输入和输出的最大时间延迟、基函数的整体属性（如最大多项式阶）。建议从简单模型开始考虑，充分利用关于系统的现有信息，如系统自由度的数目、非线性行为的类型等，以使所建立的NARX 模型能够充分地描述所研究的系统。本文选用多项式形式，输入输出最大时间延迟取自由度的 2 倍，基函数整体属性由经验或已知的功能函数确定，通过 LARS 法确定出合适的函数模型项用于模型构造。1.2.2NARX 系数的求解T1,T2dNTtk(k=1,2,NT)t1NTNF(NF NT)TF=t(F)j(j=1,NF)t(F)j对于在时间段内工作的动态系统，取时间 间 隔，将 时 间 区 间 均 匀 离 散 为个 时 刻。考虑到对于同一系统而言，系统输入输出关系是普遍存在且同源的，因此本文在建立 NARX 模型求解系数时，并不需要所有时刻的输入输出值来完成，而是以 时刻为起点，从离散的个时刻点中均匀选取个时刻作为建模时刻点，建立样本时刻向量。则时刻输出的提前一步预测可以表示为 yN(t(F)j)=ngi=1igi(z(t(F)j)（3）z(t(F)j)=(t(F)j),(t(F)jnd),yN(t(F)jd),式中：yN(t(F)jnyd)Tgi(z(t)yN(t)；模 型 项由 LARS 法 选 择 得到，表示用于训练 NARX 模型的已知样本数据。(t(F)j)=gi(z(t(F)j),i=1,2,ng)T=i,i=1,2,ngT令，则模型残差可表示为t(t(F)j)=yN(t(F)j)yN(t(F)j)=yN(t(F)j)T(t(F)j)（4）因此，误差平方和为NFj=12t(t(F)j)=NFj=1(yN(t(F)j)T(t(F)j)2（5）则所有训练时刻的输出可表示为yN(t(F)1).yN(t(F)NF)=T(t(F)1).T(t(F)NF)+t(t(F)1).t(t(F)NF)（6）方程(6)可以用矩阵符号重写为yN=+t（