大地主题问题常用幂级数的第三扁率展开.pdf

Geomatics Science and Technology 测绘科学技术测绘科学技术,2023,11(2),98-108 Published Online April 2023 in Hans.https:/www.hanspub.org/journal/gst https:/doi.org/10.12677/gst.2023.112011 文章引用文章引用:周东权,边少锋,张思远,李正汉.大地主题问题常用幂级数的第三扁率展开J.测绘科学技术,2023,11(2):98-108.DOI:10.12677/gst.2023.112011 大地主题问题常用幂级数的第三扁率展开大地主题问题常用幂级数的第三扁率展开 周东权周东权，边少锋边少锋，张思远张思远，李正汉，李正汉 中国地质大学(武汉)地质探测与评估教育部重点实验室，湖北 武汉 收稿日期：2023年2月22日；录用日期：2023年4月5日；发布日期：2023年4月12日 摘摘 要要 针对传统方法大地主题问题解算用第一偏心率针对传统方法大地主题问题解算用第一偏心率e和和K为参数的幂级数展开收敛速度慢、形式复杂效率低下为参数的幂级数展开收敛速度慢、形式复杂效率低下的问题，以第三扁率的问题，以第三扁率n代替以往参数将其级数展开式进行重新推导改化。结果表明，基于代替以往参数将其级数展开式进行重新推导改化。结果表明，基于n的大地线问题的大地线问题幂级数展开式更为简洁，形式上更加简单，更加便于分析与应用；在中小距离的大地主题反解上，新的幂级数展开式更为简洁，形式上更加简单，更加便于分析与应用；在中小距离的大地主题反解上，新的表达式精度最高达到表达式精度最高达到0.0001 m，满足高精度的要求，满足高精度的要求；在长距离大地主题反解上，对传统人工推导的结果在长距离大地主题反解上，对传统人工推导的结果进行了新的计算，依然保持精度相对一致性。同时结果发现：经过转换后，在保持了上述精度的同时，进行了新的计算，依然保持精度相对一致性。同时结果发现：经过转换后，在保持了上述精度的同时，展开式从原来的展开式从原来的10阶降到了阶降到了3阶，形式上更为简单。与传统的贝塞尔大地反解问题相比，在长距离大地阶，形式上更为简单。与传统的贝塞尔大地反解问题相比，在长距离大地线的解算上也存在着一定优势。线的解算上也存在着一定优势。关键词关键词 大地主题，第三扁率，幂级数展开大地主题，第三扁率，幂级数展开式式 The Third Flattening Expansion of Power Series Commonly Used in Geodetic Problem Dongquan Zhou,Shaofeng Bian,Siyuan Zhang,Zhenghan Li Key Laboratory of Geological Survey and Evaluation of Ministry of Education,China University of Geosciences(Wuhan),Wuhan Hubei Received:Feb.22nd,2023;accepted:Apr.5th,2023;published:Apr.12th,2023 Abstract In view of the problems of slow convergence and low efficiency of the power series expansion with the first flattening e and K as the parameters of the traditional method for solving the geodetic problem,the third flattening n was used to replace the previous parameters and the series expan-sion was reduced and modified.The results show that the power series expansion of the geodetic problem based on n is more concise,simpler in form,and more convenient for analysis and appli-周东权 等 DOI:10.12677/gst.2023.112011 99 测绘科学技术 cation.For the inverse solution of the earth theme in small and medium distance,the accuracy of the new expression is up to 0.0001 m,which meets the requirement of high precision.In the in-verse solution of long distance geodetic theme,a new calculation is made to the result of tradi-tional artificial derivation,and the accuracy is still consistent.At the same time,it is found that af-ter the conversion,while maintaining the above accuracy,the expansion formula is reduced from the original order 10 to the order 3,which is simpler in form.Compared with the traditional Bes-sel geodetic inverse problem,it also has some advantages in the calculation of long distance geo-detic line.Keywords Geodetic Problem,The Third Flattening,Power Series Expansion Copyright 2023 by author(s)and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License(CC BY 4.0).http:/creativecommons.org/licenses/by/4.0/1.引言引言 大地线是椭球面上两点的最短曲线，其空间复杂性导致了大地主题问题的复杂性，一般来说大地主题问题包括正解和反解，正解问题是已知大地线长、起始点坐标和正方位角求终点坐标和反方位角，而反解问题是已知两点的大地坐标求大地线长和方位角1。图 1 展示了传统贝塞尔方法2的投影法则，其核心是将两点间的大地线投影到球面为大圆弧，使得投影前后的方位角不变，并利用大圆弧展开的以偏心率为自变量的幂级数进行大地线的求解，因此该方法与距离无关，在长距离的解算中较为适宜。Figure 1.The geometry of the Bessel projection 图图 1.贝塞尔投影的几何要素 传统贝塞尔方法在具体的工程问题上有着较为广泛的应用场景，如海上航行、精确打击等方面。吴祖新等3参考贝塞尔方法的基本原理，利用智能船舶强大的计算能力和数据获取能力，构建了新型的大地线航法，在 GPS 的辅助下，实现了船舶航线的智能规划。同时，贝塞尔方程也存在需要改进的地方，传统贝塞尔方法忽略了高程对大地主题问题的影响，针对这种问题，国内外学者从顾及拱高误差4和考虑高程带来的误差5等方面出发，建立了新的参考椭球的算法。同时针对传统贝塞尔方法极点问题的求解，也有不少学者提出了新的思路，如大地线极点的归化纬度求解问题6。近年来，随着计算机代数分析系统的不断发展，不仅提高了传统大地测量学的精度，而且革新了以往大地测量学的许多数学公式，这就为传统贝塞尔方法的改进准备了条件。边少锋等在大地测量计算Open AccessOpen Access周东权 等 DOI:10.12677/gst.2023.112011 100 测绘科学技术 机代数分析7 8一书，对计算机代数系统在大地测量学上的新理论和新思路做出了系统的阐述，在大地线板块不仅对勒让德级数展开和高斯平均级数展开进行了创新讨论，还对传统的贝塞尔大地问题解算做出了改进，用e代替以往的 K。针对传统的贝塞尔大地反解存在的奇异问题，由于繁琐的象限判定影响了解算的效率，就此问题周江华等9 10提出了高效率的解决办法，并解决了传统贝塞尔的奇异问题。对于贝塞尔大地方程，前人的研究解决了奇异问题，并提高了解算的效率，并且通常情况下，级数展开后的方程，展开式的项数越多，精度越高，同时也会带来了效率降低，计算复杂等问题，在实际用途中受到了限制11。在实际应用比如导弹弹道计算过程需要快速精准的解算结果，需要在满足精度的情况下，降低展开的阶数，提高解算效率。大地线主题还常常利用克莱罗方程进行计算，在椭球大地测量学中有着重要意义，但是同时存在着大地线常数 C 的求解问题12 13 14。如果得到一个已知的克莱罗常数将可以计算任意点上纬度、方位角和经度之间的精确关系，但是目前尚未有较好的解决办法，大部分大地主题问题依然采用传统的贝塞尔方程来进行求解。综上所述，贝塞尔方程依然是大地主题研究的重要对象，而第三扁率的出现15 16 17可以进一步提高大地主题问题的计算效率。因此，本文在贝塞尔方程改进的基础上进行公式改化，改写为以第三扁率 n 为自变量的表达形式，简化其公式，同时保持其计算精度。为了探究公式改化后在精度上是否满足要求，本文与前人研究做出综合比对，对简化后公式的误差进行定量评估，最终给出贝塞尔方程新的实用公式。2.第三扁率第三扁率 n 的定义的定义 大地纬度 B 和归化纬度 u 存在以下关系：2311sin2sin4sin623BunununuL=+(1)其中 221111ene=+(2)以上即为第三扁率 n 的定义，n 的定义和拉格朗日共轭级数的引入可以提高式(1)的收敛速度，简化了大地纬度和规划纬度之间的相互转化。同时，由此定义可知，第一偏心率 e 和第二偏心率e可以分别表示为：()241nen=+(3)()241nen=(4)3.大地线公式改化的数字描述大地线公式改化的数字描述 3.1.大地线长与球面大圆弧长的微分方程迭代解大地线长与球面大圆弧长的微分方程迭代解 由前人的研究可知，大地线长 S 与归化纬度 u 的微分方程为22d1cosdSaeu=，为大圆弧变量同时根据球面归化纬度与球面大圆弧长的数学关系式0sincossinuA=，代入 dS 中，整理可得：2220d1cossindSbeA=+(5)周东权 等 DOI:10.12677/gst.2023.112011 101 测绘科学技术 设2220coseeA=，其中e为参考椭球的第二偏心率，则有 22d1sindSbe=+(6)牛顿二项式展开定理的推广中，对于()1ax+可以推广到非整数指数的情况，即：()()001!akkkkkkxC xxk=+=(7)其中()112kiki=+=(8)因此将(7)代入(6)可展得(此处只展至10e)246824681011157d1sinsinsinsinsin2816128256Sbexexexexex=+(9)上式积分并化为三角函数的倍角形式得 2121221sindsin2sin4sin6sin8sin10Sbeb=+=+(10)式中 2468102468104681068108101035175441146425616384655361535