两类亚循环群之间的同态数量_王佳俊.pdf

2023 年 6 月伊犁师范大学学报（自然科学版）Jun.2023第 17 卷 第 2 期Journal of Yili Normal University（Natural Science Edition）Vol.17 No.2两类亚循环群之间的同态数量王佳俊1，高百俊1，2*（1.伊犁师范大学 数学与统计学院，新疆 伊宁835000；2.伊犁师范大学 应用数学研究所，新疆 伊宁835000）摘要：利用群里的基础知识和初等数论的基本方法，确定了一类内交换亚循环2-群M2(2，m)的元素特征，并计算了它与一类2np阶亚循环群Gn,2p之间的同态数量，验证了这两类群是满足T.Asai 和T.Yoshid猜想的.关键词：亚循环群；同态数量；T.Asai和T.Yoshida猜想中图分类号：O152.6文献标识码：A文章编号：2097-0552（2023）02-0009-070引言引言1993年，T.Asai和T.Yoshida1将文献 2 中的主要定理推广为T.Asai和T.Yoshida猜想，开启了有关有限群同态数量猜想研究的序幕.之后，不少群论研究者将目光投向了有限群同态数量的研究3-6.文献 7 计算了拟二面体2-群之间的同态数量，纠正了文献 4 的定理证明错误并验证了拟二面体2-群是满足T.Asai和T.Yoshida猜想的；文献 8 计算了一类由n阶循环群通过2p阶亚循环群扩张的2np阶亚循环群Gn,2p之间的同态数量，并验证了这类亚循环群是满足T.Asai和T.Yoshida猜想的；文献 9 以Gn,2p8为研究对象之一，计算了Gn,2p8到二面体群、拟二面体群、四元数群以及模群之间的同态数量，得到了它们也是满足T.Asai和T.Yoshida猜想的.Mp(n,m)是内交换亚循环p-群，在p-群的同构分类中有着重要的作用.本文将以内交换亚循环2-群M2(2，m)为研究对象，计算它与亚循环群Gn,2p8之间的同态数量，进一步验证这两类群是满足T.Asai和T.Yoshida猜想的.为了叙述方便，我们先给出这两类群的结构：设m 2是正整数，令M2(2，m)=a，b|a4=b2m=1，b-1ab=a-1，由文献 10 可知M2(2，m)是一类内交换亚循环2-群.设n是正整数，p是奇素数，如果Gn,2p=x y=x,y|xn=1=y2p，y-1xy=x-1，称群Gn,2p为2np阶的亚循环群8.文中表示Euler函数，其他记号参见文献 11.收稿日期：2022-10-26基金项目：新疆维吾尔自治区天山青年人才项目（2020Q023）；伊犁师范大学博士科研启动项目（2020YSBS010）.作者简介：王佳俊（1997），女，陕西汉中人，硕士，研究方向：有限群论.*通信作者：高百俊（1980），女，河南扶沟人，教授，研究方向：有限群论.伊犁师范大学学报（自然科学版）2023年1预备知识预备知识引理 110设内交换亚循环 2-群M2(2，m)=a，b|a4=b2m=1，b-1ab=a-1，m 2是正整数，则a b=1.引理 2设M2(2，m)记号如上，则（1）a2bj=bja2，0 j 2m；（2）abj=bja3，a3bj=bja，0 j 2m且j为奇数；（3）abj=bja，a3bj=bja3，0 j 2m且j为偶数.证明：由M2(2，m)定义易得（1）（2）（3）成立.引理 3设M2(2，m)记号如上，则（1）o(bj)=2m(j,2m)，0 j 2m；（2）o(abj)=o(a2bj)=o(a3bj)=o(bja)=o(bja3)=2m，0 j 2m且j为奇数；（3）o(abj)=o(a3bj)=o(bja)=o(bja3)=4,o(bj)，o(a2bj)=2，o(bj)，其中0 j 2m且j为偶数.证明：由有限群元素阶的性质和引理2易得（1）（2）（3）成立.引理 4设M2(2，m)记号如上，则 a2，b2m-1，a2b2m-1是M2(2，m)中所有的2阶元且为中心元.证明：设o(aibj)=2，其中0 i 4，0 j 2m.当j为奇数时，(aibj)2=b2j=1，于是j=0或2m-1，这与j为奇数矛盾；当j为偶数时，(aibj)2=a2ib2j=1，由引理1得，a2i=1且b2j=1，于是i=0或2，j=0或2m-1.因此，a2，b2m-1，a2b2m-1是M2(2，m)中所有的2阶元.任取aibj M2(2，m)，其中0 i 4，0 j 2m，由引理2得，a2(aibj)=ai(a2bj)=(aibj)a2，b2m-1(aibj)=(aib2m-1)bj=(aibj)b2m-1，a2b2m-1()aibj=()a2aib2m-1bj=ai(a2bj)b2m-1=(aibj)a2b2m-1.于是，a2，b2m-1，a2b2m-1都是M2(2，m)的中心元.引理 5设M2(2，m)记号如上，则M2(2，m)=a2a4=1，从而|M2(2，m)/M2(2，m)|=2m+1.证明：任取aibj，asbt M2(2，m)，其中0 i，s 4，0 j，t 2m.下面分4种情况讨论：（1）当j为偶数且t为偶数，aibj，asbt=b-ja-ib-ta-saibjasbt=1；（2）当j为偶数且t为奇数，aibj，asbt=b-ja-ib-ta-saibjasbt=a-2i；（3）当j为奇数且t为奇数，aibj，asbt=b-ja-ib-ta-saibjasbt=a2(i-s)；（4）当j为奇数且t为偶数，aibj，asbt=b-ja-ib-ta-saibjasbt=a2s.综上，可得M2(2，m)=a2a4=1，从而|M2(2，m)/M2(2，m)|=2m+1.引理 68设Gn,2p=x y=x，y|xn=1=y2p，y-1xy=x-1，n是正整数且p是奇素数，则（1）y2是中心元素，当n 0(mod2)时，xn2也是中心元素；（2）o(xi)=n(n,i)，0 i n；（3）o(xiyj)=o(xi)，o(yj)=o(xi)，p，0 i n，0 j 2p，j 0(mod2)；（4）o(xiyj)=2o(y2j)=2p(p,j)，0 i n，0 j 2p，j 1(mod2)；10王佳俊，高百俊：两类亚循环群之间的同态数量第2期特别地，若j=p，则o(xiyj)=2，若j p，则o(xiyj)=2p；（5）Gn,2p=x2|xn=1.引理 7设Gn,2p记号如上，则（1）xiyj=yjx-i，yjxi=x-iyj，0 j 2p且j为奇数；（2）xiyj=yjxi，yjxi=xiyj，0 j 2p且j为偶数.证明：由Gn,2p定义易得（1）（2）成立.引理 8设Gn,2p记号如上，当4n时，xn4是Gn,2p中的四阶元.证明：设o()xiyj=4，其中0 i n，0 j 2p.当j为奇数时，由引理 7 可知，(xiyj)4=y4j=1，根据已知条件可知此j不存在；当j为偶数时，由引理7可知，(xiyj)4=x4iy4j=1，由Gn,2p的定义可得，x4i=1且y4j=1，于是i=n4.因此，当4n时，xn4是Gn,2p中的四阶元.主要定理及其应用主要定理及其应用定理 1n为正偶数，m是大于2的整数，p是奇素数，则（1）当4n时，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|=6n+2+1，Z且2 m；（2）当4 n时，|Hom(M2(2，m)，Gn,2p)|=5n+4.证明：设 Hom(M2(2，m)，Gn,2p)，因为(a4)=(a)4=1，所以o(a)4，进而有o(a)(4，2np).又(b2m)=(b)2m=1，所以o(b)2m，进而o(b)(2m，2np).（1）当4n时，有o()a4，由引理6和引理8可知，a 1 xn2xiyp，有o(b)(2m，2np)，又n为正偶数且4n，于是o(b)2，Z且2 m，由引理6和引理8可知，b xjyp|0 j n xu|0 u n且o(xu)2，Z且2 m.首先令b=xjyp，这里0 j n，若a=1，则任取asbt M2(2，m)，且0 s 4，0 t 2m，规定(asbt)=(xjyp)t.设as1bt1，as2bt2 M2(2，m)，如果as1bt1=as2bt2，则有as1-s2=bt2-t1，于是由引理1可得，2m(t2-t1).由引理6（4）易得，(xjyp)t1=(xjyp)t2，即(as1bt1)=(as2bt2).因此，为映射.进一步，由引理2（2）和（3）分别有：当t1为 奇 数 时，有(as1bt1as2bt2)=(as1-s2bt1+t2)=(xjyp)t1+t2=(as1bt1)(as2bt2)；当t1为 偶 数 时，有(as1bt1as2bt2)=(as1+s2bt1+t2)=(xjyp)t1+t2=(as1bt1)(as2bt2).因此，为群同态.此时，有n种选择.若a=xn2，则任取asbt M2(2，m)，这里0 s 4，0 t 2m，规定(asbt)=(xn2)s(xjyp)t，由M2(2，m)的定义、引理1及引理 6（1）和（4），易证为映射.进一步，设as1bt1，as2bt2 M2(2，m)，0 s1，s2 4，0 t1，t2 2m，又由引理2（2）和（3）分别有：当t1为奇数时，(as1bt1as2bt2)=(as1-s2bt1+t2)=(xn2)s1-s2(xjyp)t1+t2且(as1bt1)(as2bt2)=(xn2)s1+s2(xjyp)t1+t2，由引理6（1）可知，(xn2)s1-s2=(xn2)s1+s2，从而，(as1bt1as2bt2)=(as1bt1)(as2bt2)；当t1为偶数时，(as1bt1as2bt2)=(as1+s2bt1+t2)=(xn2)s1+s2(xjyp)t1+t2=(as1bt1)(as2bt2).因此，为群同态.在此情形下，有n种选择.若a=xiyp，这里0 i n，则可断定为群同态当且仅当i=j.事实上，一方面，设 Hom(M2(2，m)，Gn,2p)，由M2(2，m)的生成关系可得，xi-j=xiypxjyp=(ab)=(ba-1)=xjyp(xiyp)-1=xj-i，即x2(i-j)=1，于是n2(i-j)，又由i，j的取值范围可得，i=j.另一方面，当i=j时，有a=b=xiyp，则任取asbt M2(2，m)，11伊犁师范大学学报（自然科学版）2023年且0 s 4，0 t 2m，规定(asbt)=(xiyp)s+t，则同理可证为群同态.此时，有n种选择.若a=xn4，则任取asbt M2(2，m)，这里0 s 4，0 t 2m，规定(asbt)=(xn4)s(xjyp)t，则由上面的证明可知，为群同态且有n种选择.最后令b=xu，这里0 u n且o(xu)2，Z且2 m，若a=1，则任取asbt M2(2，m)，这里0 s 4，0 t 2m，规定(asbt)=(xu)t，则由前面的证明可知，为群同态.若规定o(xu)=r，则xu中有(r)个r阶元，又r2，于是b存在2种选择.若a=xn2，则任取asbt M2(2，m)，且0 s 4，0 t 2m，规定(asbt)=(xn2)s(xu)t，于是由M2(2，m)的定义、引理1、引理2（2）和（3）以及引理6（1）和（4），易证为群同态.此时，也有2种选择.若a=xiyp，这里0 i n，则可断定为群同态当且仅当u=0或n2.事实上，一方面，设 Hom(M2(2，m)，Gn,2p)，由ab=ba-1及引理 7 可得，x-uypx-i=xiypxu=(ab)=(ba-1)=xu(xiyp)-1=xuy-px-i，即x2u=1，于是n2u，又由u的取值范围可得，u=0或n2.另一方面，当u=0时，b=1，则任取asbt M2(2，m)，这里0 s 4，0 t 2m，规定(asbt)=(xiyp)s，由前面的证明可知，为群同态.当u=n2时，b=xn2，任取asbt M2(2，m)，这里0 s 4，0 t 2m，规定(asbt)=(xiyp)