2023年6月第39卷第2期纯粹数学与应用数学PureandAppliedMathematicsJun.2023Vol.39No.2pq维顶点融合范畴的扩张周广强,董井成(南京信息工程大学数学与统计学院,江苏南京210044)摘要：研究了pq(p,q为互不相同的素数)维顶点融合范畴的G-扩张,其中G是有限群,确定出它的所有可能的范畴型,并重点研究了G是n阶循环群⟨a⟩和3次对称群S3时各分支中单对象的分布情况.最后,在G-扩张具有辫子结构时给出了它的完全分类.关键词：融合范畴;Frobenius-Perron维数;扩张;辫子结构中图分类号：O153文献标识码：A文章编号：1008-5513(2023)02-0288-06DOI：10.3969/j.issn.1008-5513.2023.02.0081引引引言言言融合范畴是一类半单的有限张量范畴,在量子群,共形场,量子计算等领域具有广泛的运用价值,详细介绍请参见文献[1-5].扩张是利用已知融合范畴构造新融合范畴的重要工具之一,已有许多文献对其进行了研究,如文献[6-7].但是,要研究融合范畴的任意扩张是一件很困难的事,因为这至少要包含有限群的分类.因此,目前看来一个可行的方案就是研究简单融合范畴在某一给定有限群下的扩张.本文以pq维顶点融合范畴为基础,考察它的任意一个扩张,给出了扩张的所有可能的范畴型,并重点研究了分次群是循环群和对称群S3的情形.最后,在扩张具有辫子结构时给出了它的完全分类.本文中所涉及的有关融合范畴的基础理论和符号请参考文献[8],所讨论的融合范畴都定义在一个特征为零的代数闭域上.2基基基础础础知知知识识识设C是一个融合范畴,Irr(C)={1=X1,···,Xn}是C中所有非同构的单对象集合,K(C)是C的Grothendieck环.任取Irr(C)中元素Xi,Xj,则有XiXj=n∑k=1NkijXk,收稿日期：2021-11-02.接收日期：2022-02-15.基金项目：江苏省自然科学基金(BK20201390).作者简介：董井成(1978-),博士,教授,研究方向：融合范畴与Hopf代数.第2期董井成等:pq维顶点融合范畴的扩张289其中Nkij称为Xk在XiXj中的重数.令Ni为矩阵(Nkij)jk,即Xi左乘Irr(C)中的每一个元素所得重数作为矩阵的每一列得到的n阶方阵.定义Xi的Frobenius-Perron(FP)维数FPdim(X)为Ni的最大特征值,融合范畴C的FP维数为其所有单对象的FP维数的平方和.由文献[9,定理8.6]知,此维数可诱导出一个环同态FPdim:K(C)→R.如果单对象X与其对偶X∗的张量积等于单位对象1,则称X是可逆的.实际上,易证一个单对象是可逆的充分必要条件是它的FP维数是1.如果融合范畴中每个单对象都是可逆的,则称其是顶点融合范畴.由文献[10]知顶点融合范畴已被完全分类.用Cpt...
