热环境下功能梯度圆柱壳振动特性分析_石先杰.pdf

第 36 卷第 2 期2023 年 4 月振 动 工 程 学 报Journal of Vibration EngineeringVol.36 No.2Apr.2023热环境下功能梯度圆柱壳振动特性分析石先杰1，左朋1，2（1.中国工程物理研究院总体工程研究所，四川 绵阳 621999；2.中国科学技术大学工程科学学院近代力学系，安徽 合肥 230026）摘要:应用谱几何法研究了热环境下功能梯度圆柱壳自由振动和瞬态振动特性。采用边界弹簧技术模拟圆柱壳结构的任意经典或者弹性边界约束条件，并结合一阶剪切变形理论建立了考虑温度场作用的功能梯度圆柱壳结构能量泛函。采用谱几何法与周向傅里叶谐波函数乘积和的形式描述圆柱壳的位移容许函数，以克服不同边界条件下壳体位移函数微分在边界上存在的不连续问题。在此基础上，将位移容许函数代入至结构能量泛函，并采用 Ritz法获得结构振动分析模型。数值分析结果表明，所构建分析模型能够快速准确预测功能梯度圆柱壳结构的振动特性。研究了幂律指数、温度、载荷等参数对功能梯度圆柱壳振动特性的影响规律，为其他数值分析方法研究提供参考。关键词:自由振动；功能梯度圆柱壳；热环境；谱几何法；瞬态响应中图分类号:O326 文献标志码:A 文章编号:1004-4523（2023）02-0526-08 DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2023.02.024引 言功能梯度圆柱壳是一种材料特性沿一个或多个方向呈现连续梯度变化的多功能复合材料结构，这类结构通常由两种或者多种材料复合而成。自 20世纪 80年代功能梯度材料概念被提出以来，国内外专家学者对功能梯度圆柱壳结构的动力学特性进行了广泛的研究，提出了一系列的分析方法，如波动法12、改进傅里叶级数法36、广义微分求积法7、幂级数法8、瑞利里兹法913以及辛方法1415等。功能梯度材料的主要优点是具有良好的高温热承载能力，由其制成的圆柱壳结构通常被应用于服役条件恶劣的工程领域，例如航天飞行器舱体、热交换器管、聚变反应堆等离子体表面和发动机部件等。国内外专家学者对热环境下功能梯度圆柱壳结构动力学特性开展了研究工作。考虑到材料特性与温度环境的相关性，Haddadpour等16使用伽辽金方法求解了简支功能梯度圆柱壳自由振动特性。Malekzadeh 等1718采用微分求积法研究了热环境下旋转功能梯度圆柱壳自由振动问题。Zhang等19采用高阶剪切变形理论对功能梯度磁电热弹性圆柱壳进行了屈曲和振动特性分析。Li 等20利用特征正交多项式来求解功能梯度阶梯圆柱壳的热振特性。综上所述，热环境下功能梯度圆柱壳振动特性研究已取得了一定成果，但大部分研究局限于自由振动，对于热环境下功能梯度圆柱壳的瞬态振动响应特性研究相对匮乏。同时，现有研究工作大多考虑经典边界条件，弹性边界条件涉及较少。而在实际工程应用中，复杂边界约束圆柱壳结构通常会受到各种形式的瞬态载荷作用，使得结构产生复杂的振动现象。因此，研究圆柱壳瞬态振动特性可为其结构设计和振动控制提供有益的指导。为此，采用谱几何法21和傅里叶谐波函数来描述圆柱壳结构位移容许函数，并引入辅助函数来消除结构边界处存在的位移容许函数微分不连续问题。在此基础上，基于一阶剪切变形理论构建了考虑任意边界约束和热环境影响的功能梯度圆柱壳的自由振动和瞬态振动分析模型，并以文献解和有限元数值解为参考来验证所建立预测模型的准确性。此外，还研究了功能梯度参数、边界条件以及温度场等参数对功能梯度圆柱壳瞬态振动响应的影响。1理论推导1.1结构模型描述热环境下功能梯度圆柱壳结构模型如图 1 所示。R，L 和 h分别表示圆柱壳的半径、长度和厚度；T 为温度值。正交坐标系（x，z）位于圆柱壳结构的中面上，x，和 z 分别表示圆柱壳的轴向、周向和收稿日期:2021-09-15；修订日期:2021-12-12基金项目:国家自然科学基金面上项目（51975547）；中国工程物理研究院院长基金资助项目（YZJJLX2018008）。第 2 期石先杰，等：热环境下功能梯度圆柱壳振动特性分析径向方向。壳体在 x，和 z 方向上的位移分别用 U（x，z，t），V（x，z，t）和 W（x，z，t）表示，其中符号 t 表示时间变量。此外，通过在圆柱壳结构两端均匀设置边界约束弹簧来模拟不同的结构边界约束条件，符号 kbu，kbv和 kbw表示约束圆柱壳平移位移的约束弹簧刚度，符号 kbx和 kb表示约束壳体旋转位移的约束弹簧刚度。下标“0”和“L”分别代表圆柱壳x=0和 x=L的端面。文中所研究的功能梯度材料在热环境中具有温度依赖性，其材料属性 P（包括弹性模量 E、泊松比、质量密度、热膨胀系数）在温度 T 影响下有着如下的关系16：P(T)=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3)（1）式中 P0，P-1，P1，P2和 P3分别表示材料的温度相关系数。用 PI和 PO来表示壳体内外表面的材料属性，则其在厚度方向 z呈现梯度变化22：P(T，z)=PO(T)-PI(T)(zh+12)p+PI(T)（2）式中 p表示材料的幂律指数。文中研究了均匀、线性和非线性三种温度分布。用 T0表示参考温度，则在均匀温度分布下的温度变化表达式为23：dT=T-T0，其中 T0=300 K。线性和非线性温度分布表示沿圆柱壳厚度方向温度是可以变化的，TI和 TO分别表示结构的内部和外部温度值，则温度分布函数可描述为22，24：线性分布：T=TI+(TO-TI)(12+zh)（3）非线性分布：T=TI+(TO-TI)(z)，(z)=-h2z1(z)dz-h2h21(z)dz（4）式中 为热导率。1.2能量方程及求解功能梯度圆柱壳结构位移场分量 U=（U，V，W）T可描述为：U=|100z00100z00100|uw（5）式中 u=（u，v）T描述圆柱壳中表面上任意一点沿x 和 方向的平移位移分量；w 为沿 z方向的平移位移分量；=（x，）T为关于 和 x 方向的旋转位移分量。根据一阶剪切变形理论假设，圆柱壳结构应变和位移之间的关系为：=(xx)T=0+z（6）=(xzz)T=0（7）式中 x，和 x为圆柱壳上任意一点的结构膜应变；xz和 z表示结构横向剪切应变；0，和 0分别代表圆柱壳壳体中表面处的膜应变向量、曲率变化向量和横向剪切应变向量，它们可以由圆柱壳结构中面处的位移向量得到，参见文献 20。根据广义胡克定律，圆柱壳结构的应变和应力关系描述为：|=Q5 5|，=-(TO-TI)110 T（8）式中 为正应力向量；为切应力向量；Q55表示弹性常数矩阵，它是温度值 T 和厚度坐标 z的函数，其详细描述可见文献 20。对应力在厚度方向进行积分，可以得到结构的合力向量 N，合力矩向量 M 以及横向剪切应力向量 Ns：NMNsT=-h2h2 z Tdz（9）式中 表示剪切修正系数，在一阶剪切变形理论中，其值通常取为 5/6。将式（6）（8）代入式（9），可以获得热环境下功能梯度圆柱壳结构的本构方程：NMNsT=D8 8 00（10）式中 D88为刚度矩阵，具体表达式可见文献 20。根据建立的本构关系和参考文献 19，考虑热环境影响后功能梯度圆柱壳的应变能U可描述为：U=US+UT，US=R2-h2h2020L(NT0+MT+NTs0)dxddz，UT=-R2-h2h2020LEdT1-()wx+vxdxddz（11）图 1 热环境下功能梯度圆柱壳结构模型示意图Fig.1 Schematic diagram of the structural model of a functionally graded cylindrical shell under thermal environment527振 动 工 程 学 报第 36 卷同时，功能梯度圆柱壳的动能表达式T可以根据方程（5）进一步表示为：T=R2020L|uwT|I000I100I000I100I000I100I200I100I2|uwdxd，(I0，I1，I2)=-h2h2(z，T)(1，z，z2)dz（12）相应地，存储在圆柱壳两端均匀布置的边界约束弹簧中的能量可表示为：UB=R202-h2h2(kbu0u2+kbv0v2+kbw0w2+kbx02x+kb02)x=0dzd+R202-h2h2(kbuLu2+kbvLv2+kbwLw2+kbxL2x+kbL2)x=Ldzd（13）假设外部激励荷载作用于圆柱壳的中面，外部激励载荷对圆柱壳所做的功可以表示为：W=R202-h2h2fT|uwdxd（14）式中 外部激励载荷向量 f=（fu，fv，fw，mx，m）；fu，fv和 fw分别表示沿 x，和 z 方向的力分量；mx和 m分别表示绕 x和 方向的力矩分量。为了克服不同边界条件下壳体位移函数微分在边界上存在的不连续问题，文中采用谱几何法和傅里叶正余弦函数来表示圆柱壳沿轴向方向和周向方向的位移容许函数：q(x，t)=m=0n=0cos(mx)Aq，cmncos(n)+Aq，smnsin(n)+l=-2-1n=0sin(lx)Aq，c1lncos(n)+Aq，s1lnsin(n)eit（15）式中 q=u，v，w，x，；m=m/L；m 和 n分别为轴向和周向的半波数；Aq，bmn（b=c，s）为位移变量未知展开系数；Ap，b1ln（b1=c1，s1）为辅助函数的未知系数；表示固有频率；sin(lx)代表在轴向积分域 0，L内足够光滑的辅助函数。综上所述，热环境下功能梯度圆柱壳结构的能量泛函可以表示为：L=T-U-UB+W（16）在能量泛函基础上，结合圆柱壳结构位移容许函数进行求解，并采用 Ritz 法对位移容许函数未知级数展开系数求偏导，可获得热环境下功能梯度圆柱壳的振动特征方程：Mq?+(KC+KB)q=F（17）式中 q 表示圆柱壳的全局坐标向量；KC和 KB分别代表结构刚度矩阵和边界弹簧的刚度矩阵，其中温度的变化会影响 KC；M 为结构的质量矩阵；F 代表外界激励力向量矩阵，其中 F=0 时，式（17）简化为一个标准的特征值问题，可方便求解获取自由振动特性（固有频率及其对应的特征向量）。2振动求解与分析在上述构建的振动分析模型基础上，本节对热环境下功能梯度圆柱壳的振动（包括自由振动和瞬态振动）问题进行分析和讨论。以在飞行器上有着广泛应用的功能梯度圆柱壳为例，设其尺寸为：R=1 m，h=0.1 m，L=5 m。后续数值算例分析中，默认选择外表面材料为 Si3N4、内表面材料为 SUS304的功能梯度圆柱壳结构为研究对象，而功能梯度材料属性的温度相关系数可根据文献 24 获得。文中研究算例包括自由（F）、简支（SS）、剪切（SD）和固支（C）等经典边界，以及 E1，E2，E3，E4，E5和 E6等弹性约束边界，它们均可通过修改相应的边界约束弹簧刚度值来获得，具体约束弹簧刚度值可参考文献3 选取。此外，根据参考文献 21 的研究结果，圆柱壳位移容许函数在轴向和周向上选取相同的截断数 M=N=17。2.1自由振动分析表 1 列出了热环境下 CC，CF 和 SDSD 功能梯度圆柱壳前 8 阶固有频率。材料的幂律指数 p=0，圆柱壳的长度为 L=4 m，其余参数与默认参数保持一致。表 1 列出了 dT=0 K，50 K 两种温度变化条件下的计算结果，相应的文献解20也在表中列出。通过对比可以看出，两种方法的计算结果吻合良好，但文中基于谱几何法所构建的位移容许函数形式简洁统一，便于参数化研究。表 2 给出了具有不同幂律指数 p=0.5，1 的热环境下 CC，CF 和 FF 功能梯度圆柱壳前 5 阶固有频率。温度变化 dT=50 K，圆柱壳的尺寸与默认参数保持一致。有限元法仿真计算结果作为参考解也列在表 2 中。从表 2 可以看出，文中计算结果与有限元法求解结果吻合良好，最大相对偏差不超过 2%。计算偏差主要来源于两者不同的理论框架以及求解算法。综上所述，文中构建的分析模型可以有效、准确地预示热环境下功能梯度圆柱壳的自由振动特性。528