幂指函数求导探析.pdf

丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌丌保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报保山学院学报幂指函数求导探析杨雄袁新全（娄底职业技术学院，湖南 娄底 417000）摘要幂指函数求导是常用对数求导法，除了对数求导法外，探索了偏导数求导、应用指数函数和幂函数求导等多种幂指函数求导方法，进而进一步推导出一元幂指函数和多元幂指函数的求导公式，为幂指函数求导提供参考。关键词幂指函数；求导；偏导数；微分中值定理中图分类号 O1文献标识码 Adoi:10.3969/j.issn.1674-9340.2023.02.007文章编号 1674-9340（2023）02-0038-06收稿日期：2022-05-23基金项目：2022 年湖南省社会科学成果评审委员会课题“新时代高职公共基础课合力育人研究”（项目编号：XSP22YBC054）。第一作者简介：杨雄（1977），男，汉族，湖南邵阳人，硕士，副教授，研究方向为高等数学教学及应用。通信作者：袁新全（1967），男，汉族，湖南新化人，硕士，讲师，研究方向为高等数学教学及应用。一般情况下，对于幂指函数求导，若直接采用导数定义及运算公式求导，计算量大，甚至不能计算，是否有其他方法可以简化求导，这是一个值得探讨的问题。其中常用的方法是采用对数求导法，可以简化运算过程，降低运算难度，更容易求出导数。那末除了对数求导法，是否还有别的方法或公式进行幂指函数求导，这就是文章探讨的问题。当然在整个求导过程中，会用到指数函数和幂函数等基本初等函数的求导公式、复合函数的求导、隐函数的求导、偏导数、微分中值定理及函数的求导法则等。而这些公式或求导方法可参考任意高等数书籍，幂指函数的定义如下。定义11幂指函数是指数和底数都是变量的函数，形如f(x)=u(x)v(x)（x D,D是数集）的函数称为幂指函数，其中u(x),v(x)都是D上的函数。1 一元幂指函数求导方法1.1 应用对数求导对于幂指函数y=uv（u 0)，其中u=u(x),v=v(x)都是可导函数，对幂指函数取对数lny=lnuv=vlnu，等式两端求导数1yy=vlnu+v1uu，解方程并把原式代入得y=(vlnu+vuu)uv（1）这种求导方法称为对数求导法。对数求导法适用于求幂指函数y=uv的导数及多因式之积、商和开根号的导数2。案例1 求y=xtanx的一阶导数。解：运用对数法求导：取对数lny=lnxtanx=tanxlnx，等式两端求导，则有(lny)=(tanxlnx)，1yy=sec2xlnx+tanxx即有：y=xtanx(sec2xlnx+tanxx)杨雄，袁新全：幂指函数求导探析对等式两端求导时，注意y是x的隐函数，因此(lny)=1yy，而不是(lny)=1y，这是初学者最易出错的地方。1.2 变形成指数形式求导将幂指函数y=uv（u 0)转化成y=elnuv=evlnu的指数形式3，然后采用复合函数求导即得（1）式，即y=(evlnu)=evlnu(vlnu)=uv(vlnu+vuu)，对数求导和变形成指数形式求导，两种方法的本质没区别，实质都是运用对数运算，把指数从底数的肩上拉下来，进而把幂形式转换成乘积形式，再求导。案例1可转换成指数形式求导：y=elnxtanx=etanxlnx，等式两端求导，则有y=(etanxlnx)=xtanx(tanx)lnx+tanx(lnx)=xtanx(sec2xlnx+tanxx)1.3 应用偏导数求导利用偏导数对幂指函数y=uv（u 0)求导，即dydx=yududx+yvdvdx=v uv-1 u+uv lnu v=uv(vuu+vlnu)4案例1可应用偏导数求导：dydx=yududx+yvdvdx=tanx xtanx-1 x+xtanx lnx (tanx)=tanx xtanxx+xtanx lnx sec2x=xtanx(tanxx+sec2xlnx)1.4 应用指数函数和幂函数求导对幂指函数y=uv（u 0)求导时，可以分别假设u或v为常数，则幂指函数分别变成了指数函数或幂函数。通过分别对指数函数和幂函数求导，再求和即可得幂指函数的导数。（）当u为常数，假设u=a，则有y=av(a 0)，应用指数函数及复合函求导公式求导可得y=(av)=av lna v（2）求y=ax的导数y=axlna，这里注意v是关于x的函数，所以y=av是关于x的复合函数，因此求y=av关于x的导数，不要丢掉v对x的导数，同样以下y=ub也是关于x的复合函数。（）当v为常数，假设v=b，则有y=ub（u 0)，应用幂函数及复合函数求导公式求导可得y=(ub)=b ub-1 u（3）把（2）（3）式右边相加，并把a=u，b=v代入可得av lna v+b ub-1 u=uv(v lnu(x)+vu u)发现这个求导的公式与前面是一致的，进而可得定理1。定理1 幂指函数的导数等于相应的指数函数导数与幂函数导数的和，即(uv)=uv lnu v+v uv-1 u=uv(lnu v+vu u)证明：根据导数的定义有y=limx 0u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x)x=limx 0u(x+x)v(x+x)-u(x+x)v(x)+u(x+x)v(x)-u(x)v(x)x=limx 0u(x+x)v(x+x)-u(x+x)v(x)x+limx 0u(x+x)v(x)-u(x)v(x)x=T1+T2-39第 42 卷第 2 期保山学院学报2023 年 4 月其中T2=limx 0u(x+x)v(x)-u(x)v(x)x看着是幂函数的导数，只要证明T1=limx 0u(x+x)v(x+x)-u(x+x)v(x)x是指数函数导数即可。因为设1,2(x,x+x)，根据拉格朗日中值定理，则有u(x+x)=u(x)+u(1)x或u(x+x)=u(x)+u(2)x所以T1=limx 0u(x)+u(1)xv(x+x)-u(x)+u(2)xv(x)x又由于根据二项式定理有u(x)+u(1)xv(x+x)=u(x)v(x+x)+v(x+x)u(x)v(x+x)-1u(1)x+o(x)u(x)+u(2)xv(x)=u(x)v(x)+v(x)u(x)v(x)-1u(2)x+o(x)进而有T1=limx0u(x)v(x+x)+v(x+x)u(x)v(x+x)-1u(1)x+o(x)-u(x)v(x)+v(x)u(x)v(x)-1u(2)x+o(x)x=limx0u(x)v(x+x)-u(x)v(x)x+limx0v(x+x)u(x)v(x+x)-1u(1)x-v(x)u(x)v(x)-1u(2)xx=limx0u(x)v(x+x)-u(x)v(x)x即T1看着指数函数的导数，从定理1证明完成。案例1可应用定理1求导数（）假设y=xtanx中指数tanx=b是常数，则(xb)=b xb-1=bxxb（）假设y=xtanx中底数x=a是常数，则(atanx)=atanx lna (tanx)=atanx lna sec2x两式相加y=bxxb+atanx lna sec2x，再把a=x,b=tanx代入整理可得：y=xtanx(sec2xlnx+tanxx)1.5 幂指函数的高阶导数幂指函数的高阶导数与其他函数的导数一样的求导，在一阶导数的基础上再求导，就是二阶导数，以此类推可得三阶以上的导数，这里计算y=uv（u 0)的二阶导数。y=(uv)=uv(vlnu+vuu)=(uv)(vlnu+vuu)+uv(vlnu+vuu)=uv(vlnu+vuu)2+uv(vlnu+vuu+vu-vuu2u+vuu)案例1的二阶导数是在一阶导数的基础上再进一次求导，即y=xtanx(sec2xlnx+tanxx)=(xtanx)(sec2xlnx+tanxx)+xtanx(sec2xlnx+tanxx)=xtanx(sec2xlnx+tanxx)2+xtanx(sec2x)lnx+sec2x(lnx)+(tanxx)=xtanx(sec2xlnx+tanxx)2+xtanx(2sec2xtanxlnx+1xsec2x+xsec2x-tanxx2)2 一元多重幂指函数的求导2.1 一元多重幂指函数求导过程经常遇到y=xxx这样多重幂指函数求导，当然可以根据（1）式应用对数求导法进行求导。-40杨雄，袁新全：幂指函数求导探析案例2 求y=xxx(x 0,x 1)的导数。解：取对数并运算得lny=xxlnx，等式两边取导数得yy=(xx)lnx+xx(lnx)又因为(xx)=(lnx+1)xx，所以y=(lnx+1)xxlnx+xx-1 xxx此题还有没有其他方法求解，经过探索，由偏导数对幂指函数求导及复合函数求导法则，可得出多重幂指函数求导公式，进而对多重幂指函数的求导进一步地推广，则可得出n阶幂指函数求导定理。定理2 设n阶幂指函数为y=u1(x)u2(x)un(x)（ui(x)0，且ui(x)1,i=1,2,n-1），且ui(x)都可导，则有y=i=1nyuiduidx。案例2第二种解法：假设u1=x,u2=x,u3=x，则y=xxx=u1u2u3，由定理2可得dydx=yu1du1dx+yu2du2dx+yu3du3dx=uu32uuu32-11 1+uuu321lnu1 u3 uu3-12 1+uuu321lnu1 uu32 lnu2 1=xxxxx-1+xxxlnx x xx-1+xxxlnx xx lnx=xxx xx-1+xxlnx(1+lnx)案例3 已知y=(x3)(cosx)x，求y解：设u1=x3,u2=cosx,u3=x，则有y=uuu321根据定理2有dydx=yu1du1dx+yu2du2dx+yu3du3dx=uu32uuu32-11 3x2+uuu321lnu1 u3 uu3-12(-sinx)+uuu321lnu1 uu32lnu2=(cosx)x(x3)(cosx)x-13x2-(x3)(cosx)xlnx3 x(cosx)x-1sinx+(x3)(cosx)xlnx3(cosx)xlncosx=(x3)(cosx)x(cosx)x(3x-xsinxcosxlnx3+lnx3lncosx)根据以上解题过程，可以得到更直接的多重幂指函数的求导公式，如（4）式和（5）式，并且可以直接代入求出相应的导数。定理3 一元幂指函数y=uuu321(ui 0,i=1,2,3且可导）的求导公式是y=(u1u2+u1lnu1 u2 u3+u1lnu1 u2lnu2 u3)uu3-12uuu32-11（4）当x3=1时，代入上式可得y=(u1u2u-11+lnu1 u2)uu21，则变成（1）式。若幂指函数变