曲线纤维铺放复合材料层合板结构拓扑优化方法研究_王天立.pdf

曲线纤维铺放复合材料层合板结构拓扑优化方法研究：.曲线纤维铺放复合材料层合板结构拓扑优化方法研究王天立，闫 超，同新星，樊家辉，杨小康，元振毅（.中航西安飞机工业集团有限公司 复合材料厂，西安；.西安理工大学 机械与精密仪器工程学院，西安）摘要：本文以曲线纤维铺放复合材料层合板为对象，构建了层合板单层曲线纤维铺放路径模型；结合层合板离散和单元等效原则，建立了曲线纤维铺放层合板单元等效本构关系；基于材料惩罚模式，以最小化应变能为评价结构刚度的指标，提出了体积约束下曲线纤维铺放复合材料层合板结构拓扑优化模型；基于有限元和移动渐近线方法求解拓扑优化模型，以获取层合板结构最优拓扑构型，采用数值算例验证设计方法的准确性。结果表明：构建的曲线纤维铺放层合板结构拓扑优化方法能够获得有效的拓扑构型，改变曲线纤维铺放路径可使悬臂梁和简支梁结构刚度分别提高.和.，性能得到明显改善。关键词：复合材料层合板；曲线纤维铺放路径；拓扑优化；本构关系中图分类号：文献标识码：文章编号：（），（.，；.，）：，.：；收稿日期：基金项目：陕西省自然科学基金面上项目（）；中国博士后科学基金（）；陕西省重点研发计划（）作者简介：王天立（），男，学士，工程师，主要从事树脂基复合材料设计制造方面的研究。通讯作者：同新星（），男，博士，讲师，主要从事复合材料结构拓扑优化方法方面的研究，.。层合板是连续纤维增强复合材料常用的结构形式之一，具有结构简单、重量轻、制造方便的特点，通常用来作为支撑结构，已被广泛应用于航空航天、体育器材及汽车工业等领域。如何有效发挥复合材料可设计性的优势进行层合板结构的设计已成为工程领域关注的主要问题。拓扑优化方法在确定的边界约束下通过在设计区域内合理分配材料来实现结构性能的最优化，是结构设计的有效途径。曲线纤维铺放层合板在单层上的纤维路径以曲线形式进行铺放，相比直线纤维层合板，具有面内变刚度的特点，可根据结构的受力特点铺设纤维方向，在轻量化、降噪、稳定性设计中发挥着重要作用。针对曲线纤维铺放层合板，如何开展其结构的最优化设计目前已经成为业内重点关注的问题。复合材料层合板结构拓扑优化主要以直线纤维铺放常刚度层合板为对象进行探索研究。梁森等采用层合板理论，构建了直线纤维铺放常刚度层合板本构矩阵，以此为基础，基于水平集方法建模原理，年 月复合材料科学与工程提出了直线纤维铺放层合板结构拓扑优化方法。等以柔性机构构型为对象，构建了直线纤维铺放层合板柔性机构拓扑优化方法，简要分析了不同纤维方向对机构构型的影响。等系统地研究了直线纤维铺放层合板柔性机构拓扑优化方法，探索了纤维方向对柔性机构构型、变形和应力水平的影响规律。以此为基础，针对机翼可变弯度后缘进行了直线纤维铺放层合板柔性形变机构的拓扑优化与实验。占金青等基于惩罚模型，考虑直线纤维铺放角度，研究构建了复合材料柔顺机构拓扑优化方法，并分析了纤维角度对柔顺机构变形能力的影响。闫金顺等以幂函数作为复合材料层合板拓扑优化的过滤函数，分析了幂函数不同参数对复合材料拓扑优化收敛速率的影响规律，为加快拓扑优化求解速度提供了参考。徐世鹏等以生物可降解复合材料微结构为对象，构建了微结构时变刚度拓扑优化方法，使其刚度特性能够进行调控。上述研究在直线纤维本构关系构建、拓扑优化模型建立、优化求解等方面进行了初步探索，可为曲线纤维铺放层合板拓扑优化提供参考。综上所述，相比直线纤维铺放层合板，曲线纤维铺放层合板单层上纤维方向可连续变化，提高了设计空间。相关研究表明曲线纤维铺放层合板结构对改善应力集中、提高屈曲载荷、减少振动方面具有明显的优势。然而对于曲线纤维铺放层合板结构的拓扑优化设计还处于发展和初步探索阶段。本文将以曲线纤维铺放层合板为对象，研究探索曲线纤维铺放层合板结构拓扑优化方法，为最优化复合材料结构，改善其性能提供理论基础。曲线纤维铺放层合板等效本构关系构建.曲线纤维铺放路径的建模描述相比直线纤维铺放常刚度层合板，曲线纤维铺放层合板在单层上的纤维方向随着位置而变化，面内各处的刚度不一致，具有典型的变刚度特性。曲线纤维铺放层合板的建立以各单层上曲线纤维路径为基础，通过平移的方式铺满单层区域。考虑自动铺放机的曲率要求，纤维铺放路径应满足分段线性连续。变刚度层合板任意单层上曲线纤维铺放路径示意图如图 所示，表示局部坐标系，曲线纤维路径在分段处的角度以 轴为参考基准。设定分段数 与间隔距离，纤维角度沿着局部坐标系 轴方向分段线性变化。代表全局坐标系，局部坐标系与全局坐标系之间的夹角为。图 变刚度层合板任意单层上曲线纤维铺放路径示意图.基于纤维铺放路径示意图，在局部坐标系沿 轴的各分段中，纤维角度线性变化，其满足的关系表达式为：（）（），（），（），|（）式中：（）为在局部坐标系中沿 轴上 处的纤维角度；（，）为各个分段处的纤维角度；（，）表示沿 轴分段处的坐标。通过对式（）分段积分可得曲线纤维铺放路径在局部坐标系 中的表达式：（）（），（）（）（），（）（）（），|（）年第 期曲线纤维铺放复合材料层合板结构拓扑优化方法研究 通常情况下局部坐标系与全局坐标系不完全重合，曲线纤维铺放路径在全局坐标系中的坐标与角度可表示为：（）（）|（）式中：（，）与（，）分别表示局部坐标系 与全局坐标系 中纤维曲线铺放路径上任一点的坐标；（）表示全局坐标系下的纤维角度；表示全局坐标与局部坐标的偏转角；（，）为局部坐标系原点 在全局坐标系 的坐标。由此可知，曲线纤维路径由偏转角、分段数和分段处的纤维角度等因素所决定，通常层合板单层上的纤维铺放路径可表示为 。曲线纤维铺放层合板的表示方式与直线纤维铺放层合板相似，通过“”区分各单层曲线路径。.曲线纤维铺放层合板等效本构关系构建曲线纤维铺放层合板本构关系是进行有限元分析的基础，对于拓扑优化中求解位移场响应具有重要作用。曲线纤维铺放层合板各单层上纤维以曲线形式铺放，曲线的切线方向代表纤维方向。基于有限元离散技术，将离散后的独立单元近似等效为直线纤维铺放层合板，以单元中心处的曲线切线方向代表此单元的纤维角度。根据直线纤维铺放层合板的本构关系，曲线纤维铺放层合板离散后第 单元未惩罚的本构关系为：（）式中：为第 单层的厚度；为曲线纤维层合板的总厚度；为总层数；为第 层上第 单元的刚度矩阵，其表达式见式（）。（）（）式中：为折减刚度矩阵，与材料的弹性常数、相关；为曲线纤维铺放层合板第 单层上第 单元的转置矩阵，主要受到单层上曲线纤维铺放路径的影响，其表达式见式（）。|（），（）|（）式中：（）为曲线纤维铺放层合板第 单层上第 单元中心处的纤维角度。将式（）和式（）代入式（）可得曲线纤维铺放层合板第 单元的本构关系。曲线纤维铺放层合板结构拓扑优化建模.材料惩罚模式基于拓扑优化变密度建模理论，采用与其相似的材料惩罚原理对复合材料单层主方向的弹性模量进行惩罚，综合考虑离散单元的相对密度，则离散后第 单元在拓扑优化过程中的弹性模量可表示为：|（）式中：、为实体材料主方向弹性模量；为惩罚因子，通常设定为。根据拓扑优化变密度理论，曲线纤维铺放层合板设计区域离散后，离散单元近似等效于直线纤维铺放层合板，单元刚度特性由单元相对密度和各层纤维角度共同决定。基于构建的材料惩罚模式，将式（）代入式（）中可获得曲线纤维铺放层合板第 单元惩罚后的本构关系：（）式中：为曲线纤维铺放层合板第 个单元惩罚后的本构矩阵。若单元相对密度 时，第 个单元的本构矩阵完全作用于整体刚度矩阵，表示此单元为实体材料参与有限元计算。若单元相对密度 时，第 个单元的本构矩阵对整体刚度矩阵的贡献为零，表示此单元为空洞，不参与有限元计算。.曲线纤维铺放层合板结构拓扑优化建模在复合材料层合板结构拓扑优化中，通常以结构存储的应变能作为评价结构刚度的重要指标。结构在外力作用下存储的应变能越大，则结构的刚度越差，越容易发生变形；相反，则结构的刚度越好，具有更好的支撑刚度。因此本文以最小化曲线纤维铺放层合板结构的应变能为拓扑优化设计的目标函数，在体积和边界条件的约束下，基于构建的本构关系和惩罚模型，建立曲线纤维铺放层合板结构拓扑优化模型：，（），（）年 月复合材料科学与工程式中：为设计变量，代表离散单元的相对密度矢量；为层合板结构所受的外力矢量；为层合板结构在外力矢量作用下的整体结构位移场矢量；为层合板初始设计区域的体积；为拓扑优化后期望的体积分数；为设计变量的极限值，为了避免奇异问题，通常设置为.；为拓扑优化中第 个单元的体积；为层合板结构离散的单元总数；为层合板结构整体刚度矩阵，是相对密度设计变量 和纤维铺放路径的函数，可通过集成单元刚度矩阵获得。敏感性分析及求解.敏感性分析敏感性分析是基于梯度类算法求解优化模型的关键步骤。基于有限元基本理论，在平面应力状态下，曲线纤维铺放层合板第 单元的刚度矩阵为：（）式中：为单元的几何矩阵，与选择的单元类型有关；为第 单元惩罚后的等效本构关系矩阵，可通过式（）获得；为曲线纤维铺放层合板总厚度；为离散单元的积分区域。根据拓扑优化模型式（）中应变能的具体表示方式，假设外载荷 相对独立，不随结构的变化而改变，则曲线纤维铺放层合板结构应变能相对设计变量 的敏感度可推导为：（）（）式中：为层合板结构在外力作用下第 单元的位移矢量。根据层合板第 单元刚度矩阵的数学表达式，其单元刚度矩阵 相对设计变量 的敏感度可推导为：（）式中，为层合板结构第 单元初始刚度矩阵，基于有限元理论可表示为：（）基于上述推导，将式（）、式（）、式（）代入式（）中，可获得曲线纤维铺放层合板结构拓扑优化目标函数 相对设计变量 的灵敏度为：（）基于曲线纤维铺放层合板结构拓扑优化模型，拓扑优化中的结构体积仅与单元相对密度有关，则体积约束函数 对设计变量 的敏感度可通过直接求导获得，其表达式为：()（）.基于移动渐近线方法的模型求解基于移动渐近线方法，构建的曲线纤维铺放层合板结构拓扑优化的流程如图 所示。图 曲线纤维铺放层合板结构拓扑优化流程图.其具体求解步骤如下：（）确定层合板结构的初始设计区域和边界条件，并给定各层曲线纤维铺放路径和相对密度设计变量初始值，确定迭代收敛允许误差，令迭代次数标识符。（）基于有限元理论进行初始设计区域的离散，并计算单元中心点处的纤维角度，以此角度作为单元的纤维角度，为构建本构关系提供基础。（）基于直线纤维铺放层合板理论，以离散单元处近似等效直线纤维铺放层合板，构建整个曲线纤维铺放层合板所有离散单元的等效本构关系。（）采用有限元技术获得曲线纤维铺放层合板的整体位移响应，并计算层合板结构的应变能和体 年第 期曲线纤维铺放复合材料层合板结构拓扑优化方法研究积约束，在此基础上推导获取目标函数与约束条件对设计变量的敏感度，并对密度敏感度进行滤波。（）基于构建的目标函数、约束函数以及其敏感度，利用移动渐近线方法对相对密度设计变量进行更新，令 。（）判断是否满足收敛条件，如果满足则输出最优拓扑构型，迭代过程结束；若不满足收敛条件，则令，返回步骤（）。数值算例优化及分析本文采用曲线纤维铺放层合板为结构材料，以悬臂梁和简支梁作为数值算例验证曲线纤维铺放层合板结构拓扑优化方法的准确性，并分析不同曲线纤维路径对拓扑构型及性能的影响。数值算例中均采用 层等厚对称层合板进行拓扑优化，其总厚度设定为 ，单层厚度为.，仅有 层独立的纤维铺放路径。为了对比纤维路径对构型和性能的影响，算例设定 种不同的曲线纤维铺放形式，分别表示为 、和 。选取纤维体积含量为 的玻璃纤维增强环氧树脂为单层材料，其材料参数分别为 ，.，.，.。.悬臂梁拓扑优化悬臂梁结构利用曲线纤维铺放层合板进行制作，其初始设计域及边界条件如图 所示。设计域的尺寸为 ，外负载的值 。期望拓扑优化后结构的体积为初始体积的，滤波半径设定为.，其值可根据设计区域离散网格的数量而确定，设计区域被离散 有限单元。图 悬臂梁结构初始设计区域与边界条件.拓扑优化迭代过程分析分别以上述给定的 种不同纤维路径进行层合板的铺设，悬臂梁初始设计区域被曲线纤维铺放层合板所代替。基于建立的曲线纤维铺放层合板结构拓扑优化模型，通过有