带有凹凸非线性项的平均曲率问题正解的确切个数.pdf

2023年4月Apr.,2023第39卷第2期Vo l.39,No.2滨州学院学报Jo u rn a l o f Bin zh o u Un iv ersit y【微分方程与动力系统研究】带有凹-凸非线性项的平均曲率 问题正解的确切个数李晓东，高红亮(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州730070)摘要：基于时间映像原理，研究了一维Min k o w sk i空间中带有凹-凸非线性项的平均曲率 问题正解的确切个数及分歧图。关键词：Min k o w sk i空间；平均曲率；时间映像；凹-凸非线性项中图分类号：0 175 文献标识码：A DOI：10.13486/j.c n k i.1673-2618.2023.02.009常微分方程边值问题作为微分方程领域研究的一个基本问题,其正解的研究受到学者广泛关注*辺。本文考虑一维Min k o w sk i空间中带有凹-凸非线性项的给定平均曲率问题(U(L,L),y ylu2.w(L)=0=u(L)(1)正解的确切个数及分歧图，其中参数X0,pL0,p满足问题(1)是Min k o w sk i曲率 方程Diric h l et问题d iv(,V=)+廿(匕|,”)=0,z B(R)；v=0,z3B(R)(2)/1一|时的一维版本，这些问题在微分几何和狭义相对论中具有重要作用口。近年来，许多学者对带有凹-凸非线性项的半线性问题正解的确切个数进行了广泛研究&讷，但一维 Min k o w sk i空间中的平均曲率问题(1)正解的确切个数研究并不是很多C11-14 o文献U研究了问题(1)正解的确切个数和分歧图，其中参数A,L0,非线性项/C(0,oo),0,8)。文献12-13也研究了 问题(1)正解的确切个数和分歧图，其中参数A,L0,非线性项/GC0,o o)n c2(0,o o),当“o时，/()0且严(“)不改变符号。文献14利用时间映像原理研究了问题(1)正解的确切个数及分歧图，其 中非线性项/满足:对于0VVL，F()0,门)$/(”)+专W”)。由半线性问题得到启发,本文考虑一维Min k o w sk i空间中带有凹-凸非线性项的给定平均曲率问题(1)正确的确切个数及分歧图。假设非线性项/满足如下条件：(Hl)/eC2(0,o o),0,o o)且对任意的“0,/(“)0。收積日期：2022-05-25基金项目：国家自然科学基金项目(11801243)第一作者简介:李晓东(1996-),男，山东曲阜人，硕士研究生，主要从事常微分方程边值问题研究。E-ma il：LXD5775163.c o m通信作者简介：高红亮(1985-),男，甘肃天水人，副教授,主要从事分歧理论及常微分方程边值问题研究。E-ma il:ga o h o n gl ia n gl 01 16 3.c o m 54第2期李晓东，高红亮带有凹-凸非线性项的平均曲率问题正解的确切个数(H2)存在 70,使得当 u e(O,y)时尸(“)VO,当e(7,o o)时严(”)0。考虑如下两种情形：(H3)/(0)0。(H4)y(0)=0,0Vl im=AV+8。j-0+s1预备知识设“(Z)是问题(1)的正解。可知”)=“_；3/2，(乂)关于乂=0对称并且在乂=0处取 yl m 2(丄丿得最大值，当一LVjsV 0 时/(h)0,当 0 Vn VL 时 z/(n)VO。令 s=su p w(),则 zz(O)=s。在等式 工 _匚,L)一：2、3/2=M()两端同时乘以并且在0,刃上积分，可得一 J“：2、3护&=人/(“)“业，I 丄u)J 0 I 丄U)J 0化简得一”O(F(s)F(“)2+；l(F(s)玖“)pn l+A(F(s)-F(u)即l+A(F(s)-F(u)VA(F(5)-F(m)2+A(F(5)-F(m)d t z=d r。对上式两端从0到L积分，可得T(s)=l+HF(s)F(“)d“=L，称耳(s)为J。VA(F(5)-F(u)2+A(F(s)-F(m)/的时间映像。为了方便，通常定义A=A(s,u)=s/(s)u f(u),B=B(s,u)=F(s)F(u)，则du=s-小(皿)+1-2AB+A2B2 J。v/A2B2(s,si)+2AB(s,si)2弓|理引理111若非线性项/满足(Hl),则丁，/、f1 A3B3(5,si)+3A2B2(s,si)+A2B(s,rf)-A(s,5i),Jo LA2B2(5,5J)+2AB(5,s)3/2 引理211若非线性项/满足(Hl),则对任意的5 e(0,L),Ta(s)关于A严格递减。引理311若非线性项/满足(Hl),那么：若/(0)0,则l im Ta(5)=0;若/(0)=0,0 1 时l im TA(s)=+o o。s+s+2 寸so+引理4 若非线性项子满足(H1)(H2)(H3)或(H4),则对任意的s (0,_L),7(s)0。证明 令0(Q=2F(m)-u/(m),由条件(H2)可知，0,M e(o,y),H(u)=/(w)m/z(m)，孑(m)=一 u ffu)=0,况=y,0,问题(1)恰有一个正解。证明根据时间映像的定义可知，问题(1)等价于在区间(0丄)上找到一个s,使得耳(s)=L,则问题(1)解的个数等价于上式解的个数。由引理3可知,l im(5)=00通过计算得l im兀(s)=s,s(O,L)。再结合引理2、引理4、引理5,+凶可以得到当A0时E(s)的图像，见图1。从分歧图(图2)可知，对任意的&0,问题(1)恰有一个正解。定理2若非线性项/满足(H1XH2)和(H4),则存在1=捂瓜，使得：当A6(0 J)时，问题(1)没有 正解；当;时，问题(1)恰有一个正解证明根据时间映像的定义可知，问题(1)等价于在区间(0丄)上找到一个s,使得Ti(s)=L,则问题(1)解的个数等价于上式解的个数。根据引理3可知,l im=由=L可得人=仝匸通过计算得l im E(s)=s,s e(0,L)o再结合引理2、引理4、引理5,可以得到当AA时丁(s)的图像，见图3。由分歧图(图4)可知，4应用举例例 1 f(u)=u3u2+2w+1。经过计算,/(0)=1,/(M)=6M-2,/(M)=-2m3+mz+1,因此存在 7=,p=l,满足条件(H1)(H2)和(H3)，由定理1可知，对任意的;10,该问题恰有一个正解。例 2/(w)=u3u2 uo经过计算,/(0)=0,/,(M)=6M-2,/(M)-M/(M)=-2M3+M2,l im=l,因此存在 7=-,p=-o+u 3|,A=1,满足条件(H1)(H2)和(H4),由定理2可知，存在A=，使得：当A(0 J)时，该问题没有正 解；当人时，该问题恰有一个正解。参考文献：1 BRATU G.Su r l es eq u a t io n in t egra l s n o n l in ea riresJ.Bu l l et in d e l a so c iet e ma t h ema t iq u e d eFra n c e?1914,42:113-142.56第2期李晓东，高红亮带有凹-凸非线性项的平均曲率问题正解的确切个数2 GELFAND I M.So me pro bl ems in t h e t h eo ry o f q u a sil in ea r eq u a t io n s J.Americ a n ma t h ema t ic a l so c iet y t ra n sl a t io n s,1963,29：295-381.3 WALTER G.Cl a ssic a l mec h a n ic s:po in t pa rt ic l es a n d rel a t iv it yM.New Yo rk:Sprin ger,2004.4 HUTTEN E H.Rel a t iv ist ic(n o n-l in ea r)o sc il l a t o rQj,Na t u re,1965,205(4974)：8925 HUNG K C.Ex a c t mu l t ipl ic it y o f po sit iv e so l u t io n s o f a semipo sit o n e pro bl em w it h c o n c a v e-c o nv ex n o n l in ea rit yEJZl.Jo u rn a l o f d ifferen t ia l eq u a t io n s,2013,255(11)：3811-3831.6 GAD AM S,JAIA J.Ex a c t mu l t ipl ic it y o f po sit iv e so l u t io n s in semipo sit o n e pro bl ems w it h c o n c a v e-c o n v ex t ype n o n l in ea rit iesEJ.El ec t ro n ic jo u rn a l o f q u a l it a t iv e t h eo ry o f d ifferen t ia l eq u a t io n s,2001,2001(4):1-9.7 HUNG K C,WANG S H.A c o mpl et e c l a ssific a t io n o f bifu rc a t io n d ia gra ms o f c l a sses o f a mu l t ipara met er Diric h l et pro bl em w it h c o n c a v e-c o n v ex n o n l in ea rit iesEJ.Jo u rn a l o f ma t h ema t ic a l a n a l ysis a n d a ppl ic a t io n s,2009,349(1)：113-134.8 SHI J,SHIVAJI R,Ex a c t mu l t ipl ic it y o f so l u t io n s fo r c l a sses o f semipo sit o n e pro bl ems w it h c o nc a v e-c o n v ex n o n l in ea rit yJ.Disc ret e a n d c o n t in u o u s d yn a mic a l syst ems,2001,7(3)：559-571.9 TZENG C C,HUNG K C.Gl o ba l bifu rc a t io n a n d ex a c t mu l t ipl ic it y o f po sit iv e so l u t io n s fo r a po si-t o n e pro bl em w it h c u bic n o n l in ea rit y J Jo u rn a l o f d ifferen t ia l eq u a t io n s,2012,252(12)：6250-6274.10 WANG S H,YEH T S.A c o mpl et e c l a ssific a t io n o f bifu rc a t io n d ia gra ms o f a Diric h l et pro bl em w it h c o n c a v e-c o n v ex n o n l in ea rit iesQJ.Jo u rn a l o f ma t h ema t ic a l a n a l ysis a n d a ppl ic a t io n s,2004,291(1)-128-153.El l ZHANG X M,FENG M Q.Bifu rc a