具有心理因素影响的SVIR传染病模型的稳定性分析.pdf

2023年4月Apr.,2023第39卷第2期Vo l.39,No.2滨州学院学报Jo u rn a l o f Bin zh o u Un iv ersit y【微分方程与动力系统研究】具有心理因素影响的SVIR传染病 模型的稳定性分析陈霞霞，张睿（兰州交通大学数理学院，甘肃兰州730070）摘要：研究了一类具有心理因素影响的传染率函数和有医疗限制的治疗函数的SVIR传 染病模型。讨论了模型平衡点的存在性，计算了基本再生数，通过Hu rw it z判据得到无病平衡 点和地方病平衡点、的局部稳定性，用构造Lya pu n o v函数的方法证明无病平衡点的全局稳定性，最后利用第二加性复合矩阵判断地方病平衡点的全局稳定性。关键词：心理因素；稳定性；SVIR传染病模型中图分类号:O 175 文献标识码:A DOI：10.13486/j.c n k i.1673-2618.2023.02.0081建立模型隔离和接种疫苗一直是非常重要且有效传染病防治措施，文献口研究了具有疫苗接种的传染病模 型，文献2提出了具有心理因素影响的完整形式的非单调发病率，文献3研究了一类SVIR模型的局部 稳定性。因为隔离使人与人之间的接触大大减少，且疫苗对不同身体情况的人群效果不同，不同地区的医 疗水平也不同，所以需考虑易感者和感染者的接触率、接种疫苗的有效率，以及因治疗水平有限，医院对感 染者有治疗影响等因素。因此在文献3的基础上建立一类具有心理因素影响的接触率函数和具有治疗 水平限制的Ho l l in g-U型治疗函数的SVIR传染病模型宪以讦爲一（iFd S-d S+OV,將Fd S-需胃厂（d+e）V彳 d i_ q kSI|t sklV _ pl _ z 7 I、丁 di_ l+al+bl2 十l+al+bl2 十其中，a为发生率函数，&为心理因素影响参数,o为疫苗接种失效率0=1表示疫苗完全失效）,0为疾病治 愈率,a为医疗设施对感染者治疗的影响参数,d为疫苗接种率,0为接种者的免疫失去率,g为易感者和感 染者的接触比例，（1一g）表示易感者和接种者的接触率必为易感者的疾病传染率,c和d分别表示因病死 亡率和自然死亡率，其中a 2屈,其余参数均为正数。因为前三个式子中不含R,所以模型（1）可以简 化成模型收稿日期:2022-04-05第一作者简介：陈霞霞（1997-）,女，甘肃清水人，硕士研究生，主要从事生物数学研究。E-ma il：1254193280q q.c o m47滨州学院学报第39卷q bSI=A _d i lalbl2q_、0 c1_ idt(1q)8Sl+aI+bI2ffkIV piaq)SdS+OV,MV(d+0)V,(2)d J_|o s v _ p丄 _,|、di_ l+al+bl2 十l+al+bl2 l+al(十丿q bSI2平衡点和基本再生数定理 1 区域 D=CS,V,I,R)S,V,I,RO,S+V+I+RA/d是模型(1)的正向不变集。证明由文献口可知模型(1)的解有非负性，将模型(1)的4个方程相加可得=A-dCS+V+I+R)cIA-dNo所以，模型的最大正向不变集曲是X=S,V,I,RR*,S+V+Z+_RW井 定义何模型的基本再生数为R产諾卑加謊誌。(Pl)q kS a-bI2)Cd+gy-akr 90(P2)(d+c)(l+a Z*+br2y-q kS(i-&r)o0(P3)厂V占。4b定理2当时，模型(1)有一个无病平衡点D(S,V,O,O),其中，3+0)A p _ 5(1 g)A/3+0+5)+g5矿当Rq1与条件(P1)(P2)(P3)同时成立时，模型(1)还存在一个地方病平衡点D*(S*,V*，厂 证明 将地方病平衡点带入模型(1)中，可得系统A_+券：；严 _(l _g)d S*-dS*+9V=0,(1-g)d S*+1 需律;严-(d+W=0,吸S*厂 I 族厂V*0厂|i+ar+br2 i+ar+br2 i+ar k 7 _(3),i+rdR=0由系统(3)的前三个方程可得_(l g)d S*(l+a l*+刃*2)akr+(d+(l+a l*+M*2)0*厂)_A q bST*_(ic w*_JQ*I&(1 g)5S*(1+d厂+5厂2)A l+a l*+6I*2 U 9d 族厂+3+0)(l+a 厂+方厂巧，q&ST*I 却 O-q MS*B厂 _|W2 U丿1+况厂*方厂2十族厂+(/+0)(i+厂+方厂2)1+a r 9TCD,在式中，可得(So,O),其中S=d(dM?tgd矿因此，当厂工0时，由式(4)可得q kS*Jqbl)1 0(1q)5S*+)(1+a厂+b厂2尹十族厂+(/+0)(i+q厂+b厂2)子(4)3a s*_ ar d ra s*(5)+(l g)d+d)(l+a厂+刃“)(l g)d O(l+a _r+6厂)l+al+bl2 族厂+(d+(9)(l+a 厂+)48 第2期陈霞霞，张睿具有心理因素影响的SVIR传染病模型的稳定性分析当厂v g且q kS*(15厂2)(/+0)2旅厂 0(1 gMS*Ca+2br)0(6)成立时同理，由式(5)可得3T=_q kS*(1&厂0(1 g)冰(d+O)(l&严)_西-L(i+a厂+刃*2)2 十族厂+(d+g)(i+a厂+以)2 B+(d+c)(l+a Z*)行1+4厂+刃(1+a J*)2 IkT 当厂兮且(d+c)(l+a Z*+br2yq kS(l-6I*2)0(7)成立时，第0。因此，若式(6)(7)以及r1时，模型(2)的地方病平衡点D城(S*,V*,1*,R*)是局部渐近稳定的。证明 先计算模型(2)在D*(S*,V,r,_R*)的雅可比矩阵110q kS(l bP)(l-bal-bbl2)2J(D*)=Ml-g)akl(况+0)(l+a f+b尸)l+al+bl2akV(l-bI2)(1+aI+bI2)2,(9)q klakl33ll+al+bl21+aI+bI249滨州学院学报第39卷其中,gI+5(1 q)+刃(l+a!+方尸)211-aI-bI2 _(灵S+族0(1林2)(1+“2)*+3+。)(1+2)(1+况/+5严)2 一门 33 /I I _T I JLT2、2zM I 八2-U。(l+a 7+6D2(l+a I)2又因为矩阵J(D*)在LT(S*,V*，厂，用)的特征值方程为|J(D*)-AD|=A3-t r(J(D*)A2+(A11+A22+A33)A-d et(J(D*),其中,-t r(J(D*)=-(+竝+呛)=曲+如+3(1昇仃驾；尔1+力+刃5(/3+4+。)(1+川)2(1+I2)gI+(6/+)(l+a l+612)lalbl2 l+a l+612_ 6十-i-I 2 1 1-T 1 t T2，q kl g 忑 l+a l+刃 2l+a l+612d et(J(D*)0。综上，根据Ro u t h-Hu rw it z判据可得,地方病平衡点D*(S*,V*，厂)是局部渐近稳定的。4无病平衡点的全局稳定性定理5当RO0 也成立,q bSIffkIVBI因此若RW1,有d V I _ d V _ 1 r-q fC6 _|_ OAU V p丄 _/i、门 V d/I(1)pdc d i pdc 1-al-bl2-aIbI2 l+a l C P(SI+feIV)(l+al)-J8J+(t/+c)l(l+aT)(l+a；+W2)+cL(q kSI+akIV)(l+a l)-pl-aaI2 一郸 一(d+c)I(l+aI)(l+a I+W2)=1 g(/+&)A 1 族5(l _q)A、-门|t2x_p+d+cd Cd+0+d)+q BO d Cd+0+d)+q 0 2十。十丄十山丿 a(/+c)丫 b(B+d+c+ad+a c)T3_/n 72x aCd+c),代、J J3(p+d+cY1(p+d+M 1(R l)d+)(0+d+M(1+I)bl 1时，模型(2)的地方病平衡点是全局渐近稳定的。由(9)式变分矩阵J(D*)计算可得模型(2)的二阶加性复合矩阵为Quakvq-br2)(1+a 厂+ZZ)2q kS(16I*2)(i+a i*+br2y其中,严=Q=akV i+i*+brq kri+ar+br26(1q)0Qh=q kl*+族厂+5(1 g)+2/+0(l+o 厂+5 厂 彳)l+a l*+brz q kl*+5(1 g)+刃(1+a厂+b厂彳)*l+a l*+61*(赧 S*+族 V*)(1 b 厂 2)(1+“*)2*+3+小(1+住厂)2(l+a 厂+b 厂 2)2(l+a l*+61*2)2(l+a l*)2 族厂+3+0)(l+a厂+方厂巧|l+al*+bV2 十(戏 S*+族旷)(1一方厂巧(1+&厂)2 一 b+(/+c)(1+q 厂)2(l+o 厂+B 厂 2)2Q33=a+ar+br2ya+ary矩阵值函数w的定义为卬=I*0031100、0V*0，由Wg=殆h (z),可以得出Wg=0CU220、00s*00a 33,，其中,g厂=_ 族厂 V*BI*Q|AT.l+a l-+6J*2_ri+a J*+bl2 i+ar 1 J 如=(l _g)d S*_+?,；严 丄八“-qkSV最终，矩阵M的结果为(d+9W,0)33=A +a*+&厂2(1q)好+ds*+ev*ow inffkia-br2)(l+a厂+方厂2严q kr(i-br2)(i+a j*+brzyM=WgW1+WQW1=akV1+a 厂+ZJ加22ev*si+ar+br2Hl q)S*V*观33其中,q bS*akV*Amn=i+ar+br2 1 i+ar+br2 i+ar q W+d(l g)+2/+0(l+a f*+方(+c)+1+aV+blz=(l g)d S*_ 族厂 q kr+d(lg)+d：!(l+a Z*+W)恥2 沪 i+a j-+br2 b十丿十 i+ar+br2(q kS*+族V*)(l ZZ)(i+a厂)2 一詔+(d+c)(i+a l*)2(1+川*+刃)2(l+a l*+6J*2)2(l+a I*)2q kl+akr i+ar+br26V*+A S*加 33=(1g)551滨州学院学报第39卷(/S*+族V*)(1方厂2)(1+厂)2胡+c)(i+a厂)2(1+口厂+方厂2)2(l+a l*+6I*2)2(l+a I*)2假设（0=（W1,32 9（1）2）T，讨论t o的范数fma x|a）i|+|21,1 3 丨+丨 2 丨,。冬物蚀，ma x|cui|d-|W3|,|物 I,（wi 劲 WO o 由上述讨论，考虑II o II的右导数，即D+|a|，等式可表示为(10)情形1若也|血|,则有W加11皿12叫(W1=加2加22皿231)2.观31加32皿33,33,II=143 1+1 如2 1，且D+II 3+加31仙+加322+加33S3 W（加21+加31）少1+（皿22+加23+加32+皿33）（少2+少3）Wo kV*-q ks*1+a T*+6I*2)劲+(lg)好一 V*(ia I 5(1g)+刃(1+q厂+b厂彳)刀 l+a l*+6I*2(l g)5/+3(1g)S*|2(/S*+族旷)(l+b 厂 2)b+3+q)(1+a厂)行了,、匕 S 十尹十 W 十(1+a厂+5厂2)2(l+aI*)2 32十怏丿*2(l q)AS*|族V*吸S*+A(l q)+2/+0：|(l+a厂+b厂 JL W l+al*+bU2 h2(吸 S*+必 2*)(1 5 厂 2)B+(/+c)(l+a 厂尸(l-k a l*+6I*2)2(l+a l*)2(1-q)-2/-丁(o)2+33),因此，D+co 三一(1q)5+2/+(9A co|o(11)其中2(1 g)d S*,akV q kS.2(q kS+akV)(lbr2),9V+A v*i+ar+br2(1+ar+6i*2)s*j8+(5(1 g)+3t/+(9+c)(l+a l*)