结构化视域下的小学数学延学作业设计_钱建兵.pdf

592023 年 8 月 15 日投稿网址：布鲁纳在他的 教育过程 中明确提出了学科结构论的课程论和教学论思想。他认为学习的目的在于以发现学习的方式，使学科的基本结构转变为学生头脑中的认知结构。义务教育数学课程标准（2022 年版）（下称 2022 年版课标）指出，为实现核心素养导向的目标，“要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系”1。作业是体现学生主体性的一种发现式学习方式，是课堂教学的延续与补充、拓展与深入。因此，在设计作业时，要彰显作业的“学习意义”，从结构化的视角延续课堂学习，让学生在作业过程中自主完善、优化认知结构，促进学生对核心概念的深入理解，从而理解数学学科的基本原理。一、结构化视域下延学作业的概念界定在数学学习中，学生的认知结构主要是在学习活动中形成的，包括课堂教学与课外学习，亦包含教师引导与自主建构，是学生以积极主动的心理取向，将教材知识体系（具有逻辑结构的学科知识）转化为个体认知结构的过程。但仅仅依靠课堂教学与教材构建起的认知结构是不完整的，班级授课制在效率最大化的同时，无法兼顾个体在学习风格、知识基础、思维特点等方面的差异，很难做到对知识的深度理解与知识体系的完全建构。另外，在组织教材时，作为实施学习的基本单位，课时教学必将在一定程度上破坏知识的整体性。教材并不是完全按知识的逻辑体系构建的，经过教学法的改造，并不能兼顾不同学习能力、不同学习经验、不同知识背景的学生。作业是认知结构自主建构与反思的重要手段。结构化视域下的延学作业，从知识之间的联系（整体）出发设计习题，以更高的视角引导学生反思当下的学习内容，将作业作为课堂学习的进一步延伸，充分发挥学生在作业过程中自主建构的作用，在作业中寻找并理解知识之间内在关联的思想方法和内隐逻辑，实现对概念、技能、思想方法的深刻理解。作业不是课堂教学建构起来的知识体系的重复，而是一个新的再建构，是概念的打通、方法的升华、思想的提炼，是知识的体系化与优化，形成对核心概念的再升华，从而课外作业结构化视域下的小学数学延学作业设计*江苏省南通市通州区西亭小学钱建兵摘 要 延学作业作为课堂教学的延续，要关注数学本质，用结构化思维设计作业内容。以学习意义定义作业，让学生经历再补充、再发现、再总结的过程，促进认知结构的优化，培养学习力，彰显学生的学习主体性。教学过程中遵循主体普适性、目标一致性、功能承载性等原则，从关联、整体、整合等方面入手，设计结构化视域下的小学数学延学作业。关键词 小学数学 结构化 延学作业引用格式 钱建兵.结构化视域下的小学数学延学作业设计 J.教学与管理，2023（23）：59-63.*该文为江苏省教育规划“十三五”立项课题“促进理解的小学数学结构化学习的实践研究”（D/2020/02/138）的研究成果60钱建兵：结构化视域下的小学数学延学作业设计达到深度理解。结构化视域下的延学作业并不是虚化基础概念、基本技能等，而是在结构中把握各个知识点，从而使作业可以更加有弹性地处理、分配处于不同地位知识点的教学用力，突出核心知识、核心概念、基本思想、基本模型的重要地位。二、结构化视域下延学作业的价值内涵结构化视域下的延学作业强调课堂教学的“自延”，是再学习、再补充，要让学生经历“自研”的过程体现学生的主体建构，是再发现，要让学生在“自研”的过程中自省，通过自省、反思等内部言语的活动过程，进行再总结。从而使课堂教学建构的知识更加系统化，形成纵横交错的体系，知识的存储更有条理，富有逻辑。结构化视域下的延学作业具有如下价值。1.提升学习力学习力是衡量学生学会学习的重要指标，“学习力是在有目的的学习过程中，以听、说、读、写、交流等渠道获得知识技能的学习为基础，通过实践、体验、反思、环境影响等途径进行提升，以产生新思维、新行为为目的的动态能力系统。”2结构化视域下的延学作业，通过教师精心设计的习题，与课堂教学相辅相成，在新旧知识之间形成一种张力，为学生提供比课堂教学更独立自主的探究、实践、体验和反思空间。不管是进行知识之间的纵横梳理，还是自我反思总结形成核心知识、方法、思想，或是独立完成“做数学”，都将是对学生学习能力的又一次历练。同时，与一般的作业不同，结构化视域下的延学作业阅读量比较大，综合性较强，视野更宽，解题方法需要自主归纳、提炼。这些有利于学生进一步明确数学的表达形式，增加对数学的理解，提升学生的数学素养。案例 1：最大公因数与最小公倍数中的奥秘。两人玩一个游戏：两人各说出一个数写在纸上，对方算出这两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积，自己算出这两个数的乘积，再比比两个积的大小。再玩几次，可以交换角色。你们发现了什么？作业延续了课堂教学，不仅发现了两个数最大公因数与最小公倍数之间的关系，培养学生发现、总结和表达规律的能力，而且将最大公因数与最小公倍数的相关知识与两个数的乘积进行关联，体会知识之间的联系。这将会在学生心中埋下了进一步探究的种子，打开了进一步探究的空间，使学习由自发到自觉成为可能。2.促进认知结构的再建构课堂教学受时间限制，课时内安排的教学内容比较紧凑，规定时间内要理解概念，还要形成一定的技能。“部分部分整体”的编写和教学模式人为地将知识分解成若干个小的部分，割裂了知识之间的联系，学生获得的知识大部分都是一些“散装”的内容，难以形成具有普遍联系和广泛迁移力的数学知识结构。结构化视域下的延学作业通过核心知识的组织、串联，使各部分之间构成有机整体，小的结构不断纳入到更大的结构中，促使学生形成深刻理解。教师应以整体与关联为总指导，聚焦核心知识在构建认知结构中的关键作用，以基本原理、基本关系、基本方法架构知识体系的“承重墙”。案例 2：分数加减与小数加减的算理一致性。10761=（）个301（）个301=（）个301；107-61=（）个301-（）个301=（）个301；异分母分数加、减法，首先要通分，变成同分母相加、减，是因为（）。计算小数 6.42 1.5 时，可以这样思考：6.4 1.5=（）个一（）个一（）个 0.1 （）个 0.1 （）个 0.01小数加法要把小数点对齐，是因为（）。比较分数加减法与小数加减法，我发现了：如何让学生体会分数加减法与小数加减法算理的一致性？计算小数加减法要把小数点对齐，异分母分数加减要先通分，这些是算法，其背后的道理是相同计数单位相加减。通过用横式“半直观地”表达的算理，学生比较容易悟出算理的一致性。3.凸显学生的主体学习地位认知结构的二次建构是以思维能力的培养去带动整体构建，学生思维能力更多地体现在寻找联系、61钱建兵：结构化视域下的小学数学延学作业设计构建整体及类比迁移的过程中。这个过程的主体应该是学生，是不断提升学生主体性的自主建构。二次建构过程中没有课堂建构中的“替代现象”，是富有个性的学生个体的探索领悟行动。案例 3：用整数、分数表示关系。图 1 分数的意义小明拿来蓝、红、黄三种颜色的彩带，对应着写数：1、3、43。你知道这三个数表示的意思吗？问题 1：任选一根彩带的长度记作 1，其他两种颜色彩带的长度可以怎么表示？问题 2：如果三根彩带的长度分别乘以 2，你所选彩带长度还可以记作 1 吗？如果记作 1，其他两种颜色的彩带可以记作多少？此题主要是让学生进一步理解分数表示“两个量之间的关系”，进而沟通整数可用“几倍”表示数量之间的联系，体会分数与整数之间的一致性。问题 2给学生自主选择的权利，有利于学生学会用数表达关系，培养学生的数感、符号意识等数学素养。作业不仅是复习与回顾，更是一种高效的深度学习手段。因此，结构化视域下的延学作业，应摈弃以低效重复记忆为主的作业，对相关内容进行结构化整合，在反思中促进学生对知识的整体理解，全面改变对数学的认知，使“双减”得以落地。三、结构化视域下延学作业的设计原则探究拓展性作业的设计要尽可能贴近学生的现实，以利于学生从情境中抽象出数学知识与方法，发展抽象、推理等能力。结构化视域下的延学作业设计应遵循以下原则。1.数学作业设计的主体普适性原则所谓主体普适性原则，就是延学作业设计要与课堂教学相辅相成。从难易程度上讲，应该是面向全体学生的，应遵循课程标准中各学段的教学要求，可以设置过渡性问题，让不同层次的学生都能有所收获。虽然说“如果给学生提供适当的学习经验和对知识结构的合适陈述，即便是年幼的儿童也能学习高级的知识，从而缩小初级知识和高级知识之间的差距”3，但教师不能任意拔高超前，应以加深理解、完善认知结构、培养思维、生成素养为目的。在作业量上，延学作业应遵循“五项管理”的相关要求，作业设计要尽可能激发学生延学的兴趣，要避免产生消极抵触的情绪。案例 4：三棱柱的体积。图 2-1、图 2-2 都是我们已学过的立体图形，图2-3 是一个底面为直角三角形、侧面由三个长方形构成的立体图形，我们称它为三棱柱。2-1 2-2 2-3 图 2 三棱柱体积计算（1）回顾已有知识：S长方体底面=（）；V长方体=（）；V正方体=（）（2）发现共同规律：V=（）（3）推测新的发现：两个完全一样的直角三角形可以拼成一个（），想一想两个完全一样的三棱柱可以拼成一个（），由此推测 V三棱柱=（）。（4）尝试解决问题：根据你的发现，求得三棱柱（图 2-3）的体积是（）立方厘米。这是在长方体、正方体体积教学之后，利用平面图形面积计算中的转化方法，将三棱柱转化为长方体，从而推导出三棱柱的体积，体会体积公式之间的联系。四个层次的问题，帮助学生逐步归纳、推导，从而得出三种立体图形的统一计算公式，同时将平面图形中的转化方法迁移运用到立体图形之中。2.数学作业设计的目标一致性原则教学目标是教学的灵魂。延学作业服务于课堂教学之后的学习，与课堂教学共同指向教学目标。因此，延学作业与课堂教学的教学目标保持一致性的同时，更体现为对课堂教学目标的补充完善。62钱建兵：结构化视域下的小学数学延学作业设计2022 年版课标 指出，要重视单元整体教学设计，“改变过于注重以课时为单位的教学设计，推进单元整体教学设计，体现数学知识之间的内在逻辑关系”4。因此，延学作业可以跳出课堂教学，基于课标，瞻前顾后，把握知识的前后关联，兼顾单元目标、课时目标的一致。案例 5：分数的意义之“量”“率”比较。（1）一根绳子截成两段，第一段占32，第二段长32米，哪一段长一些？（2）两根一样长的绳子，第一根用去32米，第二根用去32，哪一根剩下的长一些？（3）两根绳子，第一根用去32，第二根用去32，哪一根剩下的长一些？（4）两根一样长的绳子，第一根用去52，第二根用去87，哪一根剩下的长一些？（5）两根一米长的绳子，第一根用去52，第二根用去52米，哪一根剩下的长一些？分数的意义教学之后，单位“1”的理解是关键。此作业以对比的形式，使学生在具体情境中感受单位“1”对分数意义的重要性，增强对单位“1”的理解，解决了学生在课堂教学中难以区分“分率”与“具体量”的疑惑，从而加深对分数意义的理解。3.数学作业设计的功能承载性原则课堂教学承载着育人的功能，延学作业不仅在知识层面上延续着课堂教学，而且在育人层面延续着课堂教学的功能。从作业题材的选择，到作业情境的设置，可为学生提供大量的教育资源与广阔空间。作业作为育人的重要载体，教师应将数学文化、数学发展前沿信息等融入其中。应该说，延学作业的功能承载性比教材更有作为、更为灵活，作业形式要多种多样，要体现学科融合，培养学生对数学的积极情感和态度。案例6：传统数学文化进作业出入相补原理。出入相补原理是我国古代数学的代表性成就。利用此原理，可以推导出所有直边图形的面积计算公式。图3 三角形面积计算方法（1）我国古代数学名著 九章算术 中记载了三角形面积的计算方法，著名数学家刘徽在注文中用“以盈补虚”的方法（如图 3）加以说明。从图中可以看出：三角形是如何转化为长方形的？试着剪一剪，拼一拼。三角形转化成长方形后，长方形的长=（），长方形的宽=（）。长方形的面积=长 宽，三角形的面积=（）。（2）试着用这个原理将梯形转化为长方形，并推导出面积计算公式。以传