初中数学网格中无刻度直尺作图处理策略.pdf

教学探微教学探微2023年 7月第 13期（总第 811期）2023年 7月第 13期（总第 811期）收稿日期：2023-5-07作者简介：王丽，女，汉族，湖北潜江人，硕士研究生，研究方向为初中数学教学。初中数学网格中无刻度直尺作图处理策略王丽（武汉市常码头中学，湖北 武汉 430034）摘要：新的课程标准要求初中学生要学会无刻度直尺做题，这种题型实际上是实践与综合课型的延伸，不仅要求学生有较好的逻辑思维能力，还要求他们在平常的学习生活中运用这种解题方式。笔者以“99”的基本网格模型为研究对象，探究初中数学网格中无刻度直尺作图的处理与策略。关键词：初中数学；网格；无刻度；直尺作图中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1671-3052（2023）13-0041-04义务教育数学课程标准（2022 年版）对尺规作图的内容及要求有所加强，要求学生要学会无刻度直尺做题，这种题型实际上是实践与综合课型的延伸，不仅要求学生有比较好的逻辑思维能力，还要求他们在平常的学习生活中运用这种解题方式。尺规作图蕴含丰富的推理知识，是发展学生推理能力的良好载体，“无刻度直尺网格作图”则是尺规作图的基础。笔者以“99”的基本网格模型为研究对象，探究初中数学网格中无刻度直尺作图的处理策略。一、基本作图平面空间的基本元素主要包括点、线、面。点是所有图形的基础，线是由无数个点连接而成，面就是由无数条线组成的。在网格作图中，我们把两条相交直线叫作格点的母线，若两条母线都是网格线，则交点叫格点；若两条母线中只有一条网格线，则交点叫次格点；若两条母线都不是网格线，则交点叫一般点。过一个点作一条线的平行线或垂线，当点是格点时，可以通过平移来完成，当点不是格点时，需要通过平移生成点的母线来完成。（一）过点作平行线1.若点是格点，可以接通过平移到对应点，且平移横纵不变。【题 1】过 C点作 CD平行且等于 AB（见图 1）。【解答】因为 C是格点，我们只需要找到 C的对应点 D便可，而 A到 B的平移方式是横左 2纵下 3，则 C到 D的平移方式也是横左 2纵下 3。ABCACBEEAB图 1图 2图 3对应上图的解答，如图 1（1）、图 2（2）、图 3（3）：ABCDABCDEFAEBF图 1（1）图 2（2）图 3（3）41教学探微教学探微2023年 7月第 13期（总第 811期）2023年 7月第 13期（总第 811期）2.若点是次格点，先平移非网格线中的母线到相对应的母线，再找到相对应的点，保持平移横纵不变。【题 2】过 E点作 EF平行且等于 AB（见图 2）。【解答】因为 E是次格点，要先找到母线 AC的对应母线 BD，再找到 E的对应点 F，平移方式是横左 2纵下 3。3.若点是一般点，需要先通过平移两条母线到对应母线，再找到对应点，向上平移横纵不变。【题 3】过 E点作 EF平行且等于 AB（见图 3）。【解答】因为 E 是一般点，先找到两条母线的相对应的母线，再找到 E的对应点 F，平移方式是横左 2纵下 3。【题 4】变式：过 E 点作 AB 的平行线交 BC 于点 F（见图 4）。【解答】除了用平移的方法作平行线，可以利用 X、A型相似进行平行。因为 E是 AC的一个三等分点，先连接BC，再利用相似找 BC相对应的三等分点 F。sABCEAEBFC图 4图 4（1）（二）过点作垂线1.若点是格点，直接通过旋转得到对应点，并且旋转横纵交换。【题 5】过 C点作 CD垂直且等于 AB（见图 5）。【解答】因为 C 是格点，需要找到 C 的对应点 D 便可，而 A 到 B 的平移方式是横左 2 纵下 3，则 C 到 D 的平移方式是横左 3纵上 2。ABCABEABE图 5图 6图 7对应上图的解答为下图 5（1）、图 6（1）、图 7（1）。ABCDAEBFABEF图 5（1）图 6（1）图 7（1）2.若点是次格点，先过任意一个格点（通常选择已知直线的其中一个端点）作已知线的垂线，再过“次格点”作垂线的平行线，就转化成功了。【题 6】过 E点作 EF垂直且等于 AB（见图 6）。【解答】因为 E 是次格点，先过 A 点作 AB 的垂线 AC（横纵交换），再过次格点 E点作 AC的平行线 EF。3.若点是一般点，先过任意一个格点（通常选择已知直线的其中一个端点）作已知线的垂线，再过一般点作垂线的平行线，就转化为我们上面已经讨论过的问题（见图 7）。【解答】因为 E 是一般点，要先过 A 点作 AB 的垂线AC（横纵交换），再过一般点 E点作 AC的平行线 EF。（三）作线段的分点对于作线段分点问题，通常是构造相似。若构造 X型相似三角形，则两格点方向相反；若构造 A型相似三角形，则两格点方向相同。下面，笔者都以 X型相似三角形为例。【题 7】在 线 段 AB 上 找 一 点 P，使 APBP=43（见图 8）。【解答】点 A 下 4格记为点 C，点 B上 3格记作点 D，连接 CD与 AB的交点便是分点 P。【题 8】在线段 AB 上找一点 P，使 APAB=49（见图 9）。【解答】由AP AB=4 9得上 全=4 9，所以上 下=4 5。点 A 下 4格记为点 C，点 B 上 5格记作点 D，连接 CD 与 AB的交点便是分点 P。【题 9】在线段 AB 上找一点 P，使 AP BP=11 6（见图10）。【解答】同图 8 一样，在点 A 下 6 格找出点 C，点 B 上11格找出点 D，连接 CD 与 AB 的交点便是分点 P，但事实上是点 B 上 11格已超出网格，可以把比的前项和后项都缩小 3倍，变为 AP BP=1132。接着，将点 A 下 2格记为点 C，点 B上113格记作点 D，连接 CD与 AB的交点便是分点 P。这里用到了利用 A型相似作长度为23的线段。ABBAAB图 8图 9图 1042教学探微教学探微2023年 7月第 13期（总第 811期）2023年 7月第 13期（总第 811期）对应上图的解答，如图 8（1）、图 9（1）、图 10（1）：ABCDABCDPADCBP图 8（1）图 9（1）图 10（1）二、复合作图（一）作线段的中垂线【题 10】作线段 AB的中垂线（见图 11）。方法一：（1）过线段 AB的其中一个端点 A作 AB的垂线 AC；（2）找出线段 AB 的中点 M；（3）过点 M 作 AC 的平行线（这就转化为成功的基本模型）。方法二：（1）以 AB 为边构造正方形；（2）连接两条对角线，交点记作 N；（3）找出线段 AB 的中点 M；（4）MN 便是线段 AB的中垂线（利用正方形的性质）。ABABCMNABNM图 11方法一方法二（二）作角平分线【题 11】作ABC的角平分线（见图 12）。方法一：（1）构造等腰三角形 ABD；（2）找出底边 AD的中点 E；（3）连接 BE 便平分ABC（利用等腰三角形三线合一）。方法二：（1）以 AB 为边构造菱形 ABDE；（2）连接 BE便平分ABC（利用菱形对角线平分对角的性质）。ABCABCDEABDCE图 12方法一方法二（三）作对称点【题 12】作点 M关于直线 AB的对称点 N（见图 13）。若垂足是格点ABMAMBN图 13【解答】（1）过 M 点作 AB 的垂线；（2）若垂足是格点则直接倍长至 N点；若垂足不是格点，则在对称轴上任取一格点，通常取端点 A，连接 MA 并倍长至 C 点；（3）过 C点作对称轴 AB 的平行线交对称轴的垂线于 N 点，即为所求。若垂足不是格点AMBABMNC图 13（1）（三）三角函数问题【题 13】在 BC上作点 E使得 tanEAB=37（见图 14）。【解答】（1）将线段 AB 绕着 B 点旋转 90到 BD；（2）作 BD 的分点 F 使得 BFDF=3 4（这就转化为已经解决的基本模型三），此时 BF BD=3 7，因此 BF AB=3 7，则tanFAB=37；（3）连接 AF 与 BC 的交点即为所求点 E，见图 14（1）。ABCACBDEF图 14图 14（1）三、中考试题【题 1】以 2022年武汉市数学中考第 21题为例，图 15由小正方形组成的 96 的网格，每个小正方形的顶点叫作格点。ABC的三个顶点都是格点。仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示。【解答】（1）在图 15（1）中，D，E分别是边 AB，AC与网格线的交点。先将点 B绕点 E旋转 180得到点 F，画出点F，再在 AC 上画点 G，使 DGBC；（2）在图 15（2）中，P 是边 AB 上一点，BAC.先将 AB 绕点 A 逆时针旋转 2，得到线段 AH，画出线段 AH，再画点 Q，使 P，Q 两点关于直线 AC对称。43教学探微教学探微2023年 7月第 13期（总第 811期）2023年 7月第 13期（总第 811期）ABCDEABCP（1）（2）图 15（1）图 15（2）ABCD1DEGFABPCQB1H（1）（2）图 15（1）-1图 15（2）-2【题 2】以 2022年武汉市数学中考第 20题为例，图 16是由小正方形组成的 57网格见图 16（1），每个小正方形的顶点叫作格点，矩形 ABCD 的四个顶点都是格点。仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示。（1）在图 16（1）中，先在边 AB上画点 E，使 AE2BE，再过点 E画直线 EF，使 EF平分矩形 ABCD 的面积；（2）在图 16（2）中，先画BCD的高 CG，再在边 AB上画点 H，使BHDH。ABCDABCD（1）（2）图 16（1）图 16（2）ABCDEF（1）（2）ABCDHG图 16（1）-1图 16（2）-2【解答】（1）作出线段 AB的三等分点 E，使 AE2BE；利用平行四边形性质：经过对角线交点的直线平分平行四边形面积，我们连接点 E 与对角线的中点 F便是所求；（2）过格点 C作直线 DB的垂线，我们本应将 C横左 2纵上5 进行平移，但是受网格大小的限制，只能将 C 横左 1 纵上 2.5进行平移；在边 AB上画点 H，使 BHDH 实际上是作线段 DB的中垂线，即过 DB的中点作 CG的平行线。【题 3】以 2020年武汉市数学中考第 20题为例，在 85的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 OABC的顶点坐标分别为 O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）.仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：（1）将线段 CB绕点 C逆时针旋转 90，画出对应线段CD；（2）在线段 AB 上画点 E，使BCE45（保留画图过程的痕迹）；（3）连接 AC，画点 E关于直线 AC的对称点 F，并简要说明画法。ABCOyx1234567854321图 17AOy1234567854321xEBDFC图 17（1）【解答】（1）将线段 CB绕点 C逆时针旋转 90，实际上是过 C 点作 BC 的垂线得出基本模型；（2）因为DCB90，要作BCE45，就是作DCB 的角平分线，即复合模型；（3）四边形 ABCO 是菱形，我们利用菱形的对称性，只需要找到点 F 使得OCF=BCE45便可，所以连接点（0，5）与（5，0）与线段 OA的交点就是所求的 F点。通过近三年中考试题的练习，我们发现基本上可以把所求的问题转化为基本模型或复合模型，进而迅速解决问题，即使难度较大的问题也能轻而易举地求解。44