对称群S_5的表示环_戴莉兰.pdf

数学年刊辑，（）：对称群的表示环戴莉兰黎允 楠提 要本文利用有限群 特征标理论计筧了对称群的所有 不可约复表示的幂公式根据求解幂公式过程中得到 的任意两个不 可约表示张量积的分 解情况，作 者刻 画了上表示 环）及其若干 结构性 质，如极小生成元关系式表达、单位 群、本 原幂 等元、行列式与数关键词群 特征 标，对称群，积，表示环（）主题分类，中图法分类文献标志码文章编号（）引言已知有限群的全体不可约表示同构类后，考虑 任意两个不可约表示的张量积的合成因子情况是群表示理论的一个核心问题特别地，对称群知的任意两个不可约复表示的张量积（又称 积）是完全可约的，其不 可约分支出现的重数称为系数它们也可以解释为两个函数的内积关于函数自身这一整基的展开系数系数的概念可追溯 到年，在研究对称函数内积的工作中出现 年系统研究 系数，继而引起广泛关注在对称群表示理论中，一个尚未解决的公开问题是给出 系数的组合描述，虽然一般情况下的刻画是非常困难的，但针对一些特殊情形的系数，其组合描述已有相当多研究成果，大多数结果都局限于非 常具体形状的划分（钩子，两行等）等人在 年表明，系数是难以计算的而关于 积最为经典的研究成果是由获得的，他在一系列的论文中提出了可适用于任意对称群的 积和对称 积的相关公式在掌握了群乃至代数的任意两个不可约表示张量积的分解情况后，自然可以考虑 它的表示环结构表示环最早是在 年在文中提出，因此表示环也称 不，特别地，当我们考虑的代数是半单的，表示环也是环，吒对各类表示 环的研究有很多成果，例如在文，中介绍了很多经典群的表示环，如酉群的表示环等明确地给出了正交群的表示 环】；董井成等人研究了二面体群量子偶的表示环彳陈惠香研究了的四维代数迅中的量子本文 年月日收到，年月 日收到修 改稿广州大学数学 与信息科学学 院，广州：？；本 文受到国家自然科学基金（，）的资助数学年刊辑卷偶（丑）的表示环；陈惠香等人计算了代数的表示 环】；等人描述了特殊线性群的表示环；曹刘峰等人刻画了二面体群的表示环 等等对称群表示环沁？）的研究也有一些结果，比如指出对称群的表示 环是由其型不可约表示，即（）维自然表示的外积所生成的当彡时，表示环）的无多重性不再成立特别地，（）的重数为，我们将对其结构性质展开讨论本文主要由以下三个部分组成：第节，我们首先介绍了本文所需的基本定义和引理第节，我们从为的特征标表出发，计算出洗的所有不可约表示的张量积分解公式，从而得到灸的这些不可约表示的幂公式第节，利用第节的所有不可约表示的张量积分解律，我们进一步探讨为上的表示环沁为）及其若干结构性质，这依赖于其背后的表示论含义，对于一般的环其实并不容易考虑首先，我们得到（为）的一个极小生成元关系式表达其次，我们证明其单位群为四元数群对于在有理数域上的表示代数（），我们计算其全体互不等价的一维表示，从而推导出（洗）的七个中心本原幂等元最后，表示 环）的行列式与数也自然可得预备知识定义群的表示环（）是具有基叫，加法和乘法由下式所确定的含么交换环：对的任意两个复表示和，？，这里 是群的互不等价的不可约复表示 完备集，而代表的任意有限维复表示对应的同构类下面也用相应的不可约复特征标代表）的基元，引理设，），为有限群的一个互不等价的不 可约复表示完备集，且只￥击，是的不可约复表示的张量积直和分解，则，（）其中劣表示群的共轭类，而；是它的复特征标表在位置（，）的值关于有限群表示的特征标理论，可详见文 的不可约表示幂公式对称群洗的互不等价不可约复表示完备集包括：平凡表示（内，）和符号表示（，），自然表示（，）和其转置，叫，对应划分（，）的不可约表示，抝和其转置（，），以及唯一的六维表示（，衿）因此，冼有如下复特征标表戴莉兰黎允楠对称群的表示 环期表的复特征标表（）（）（）（）（）（）（）（）两个一维不可约表示巧，的幂是显然可知的下面首先考虑四维不可约表示，的幕定理洗的两个四维不可约表示的幂公式如下：（）？（）？（）？（）？（）？（）？（：（）？（）勘？“、（）？，（）（）（）？（）（）？（）（），（）（），？十（）？（广丄：，、？（广、证将灸的特征标表信息代入公式（）进行计算，可得（）？，？，（），数学年刊辑卷设？！？，则有！，！即得？，同理可得（？，）？）？）？下面计算的二维不可约表示的幂公式设兰？十？因为？（）（）？（）？（）？（）十（）？（）？（）兰？办？（？十？）？（？十）？（？）？（？）？（？），则有？，）（）而（）式等价于辽）记？通过迭代得，则求？，心，如的通项公式（即向量几）仅需求的次幂注意到矩阵为表示环（）中在标准基下的左乘作用矩阵，它是对称矩阵且特征多项式为（）（）（）（），即七个特征值分别 为，戴莉兰黎允楠对称群的表示 环 期对于，相应的特征向量为（），（）对于入（）对于入，相应的特征向量为（？，相应的特征向量为！，（？（）对于，相应的特征向量为（）对于，相应的特征向量为），则存在可逆矩阵，使得为对角矩阵，其中（八通过计算，可得到，）设肀（叫）则有肀、为计算向量注意到（），故只需给出，以，以，以，以，句，的值即可：（）（广？（）？（）广？（）？数学年刊辑卷？汀？（）？（）？（）？（）由此可得如定理所述的的幂公式对于的幂公式，因为故即当为偶数时，当为 奇数时，（，从而通过的幂公式可相应得到的幂公式同理，我们可以继续考虑剩下的五维不可约表示和六维不可约表示定理为的两个五维不可约表示，以及六维不可约表示的幂公式如下：（），（），（）？十（）十）（：，（），（），（！）？（）（广（；）丄？，（）（），：十？：？（：）？戴莉兰黎允楠对称群的表示 环期证由引理可计算出如 下结果：，？，（）？（）？，？接下来的证明与定理的证明方法类似的表示环及其性质命题对称群炎的表示 环）有以下生成元关系式表达：（），（，），其中，工工￥，饰，於，如丨丨丨丨，？尤，）？尤尤尤；尤，尤尤，证由定理证明过程知，不可约表示 张量积（），的直和分解为：，）？），（）？（）？，（）？（）？，（）？，（）？，？数学年刊辑卷将多项式生成元而对应到基元呢，自然可知如定理所述的队（彡）生成相应的定义理想命题所给对称群的表示 环（灸）的生成元关系式表达是冗繁的事实上，文表明对称群的表示环可以由其（）维自然表示的外积生成，因此我们考虑对表示环？（氏）的表达进行约化一般地，刻画对称群表示环）的极小 生成元关系式表达是一个有趣的问题定理沿用命题的记号，对称群灸的表示环沁灸）有以下极小生成元关系式表达，（），）其中之：工：，之；，之：尤尤￥，证记丑为 定理所述的交换环尤，尤（：，：）首先，易验证命题中由讲（）生成的定义理想包含？的定义理想例如，（）（丨 丨丨；）（？；）（吻一）（）这表明沁）的基元於，也满足定理所述的定义关系為，因此，存在从？到（）的环同态，将生成元而对应到沁，其次，通过定义关系為（，）约化多项式，可知，；，；，；！，；，；为？的一组基？另一方面，？（氏）的标准基（）满足如 下关系：（，！，？，（，）即，！，？，！也为的基，故上述从到（；）的环同态为环同构戴莉兰黎允楠对称群的表示 环期最后，由的幂公式可知（，！，（，）（算得另外，由的幕公式可知（，）（，）（、故？因此，子环和的秩都小于，所以）不能由，其中之一生成注通过计算可知，的任意一个整线性组合的幂次项，只能张成子环，但不能构成（）的？基，从而）无法由一个生成元生成命题沁为）的单位群“（）同构于四元群证事实上，对任 意有限群，记其复表示环为）给定的共轭类贫和任意贫，定义模同态：（），（）易 知为表示环（）到代数整数环的一个环同态，它必将（）中任一单位映为的单位特别地，由于对称群的特征标表值均 为整数，我们有环同态（），对于（洗）的任一单位，向量（列，（）也是的单位，故只能形如（士）借助特征标表验算得知，的单位群为以（氏）士，士，同构于四元群注借助对称群的特征标表与命题的证明方法，我们可以得知（）的单位群在较小的情形均同构于四元群但此结论对于任意正整数是否成立，需要更一般的方法证明数学年刊辑卷接下来，我们讨论表示代数（）作为半单交换环的结构对于任意有限群，设其共轭类为妁（），可定义共轭类的特征函数（），满足）朱？然后将它线性扩充为表示代数（）的元素，其中为的分裂域由可知，）勺，从而内，即它们是在表示代数（）的正则表示下的公共特征向量￥由特征标的第二正交关系，即得歷七醫，（）因此，特征函数（彡）给出表示代数（）的全体中心本原幂等元将公式（）应用到灸的特征标表，我们得到如下结果命题表示代数（）的正则表示分解为七个一维表示的直和，它们分别由以下元素张成：？，？，！，？，？，？，？从而表示代数）有以下中心本原幂等元：鲁（），（），（），鲁（），（），（），（）戴莉兰黎允楠对称群的表示 环期对于表示代数（氏）的正则表示，设（，）（，），那么为单位矩阵，而 （、（、，（、（、，）、（，由对称群不可约表示的自对偶性，系数关于三个指 标对称，从而？（为）的上述七个左乘矩阵足均 为对称矩阵将它们作平方和，所得矩阵记为，其行列式称为表示 环）的行列式求矩阵在有理数域上的逆矩阵，并取各分量分母的最小公倍数由表示环以为）交换，我们可知就是）的数而根据文的命题可知，（）的行列式和数在任意域上是否非零均决定了其表示代数（）的半单性数学年刊辑卷例计算？（冼）的数和行列式它的七个左乘矩阵作平方和后得到的矩阵为：（从而在有理数域上，；由此可知，）的数为？另一方面，（）的行列式？，故这两个非负整数有相同的素因子（更一般的结论见文 中命题）事实上根据文 的结果，任意有限群在一域上的表示代数半单，当且仅当其表示环的行列式或数在此域上非零参考文献，（）：，：，（，）（）（），（）：期戴莉兰黎允楠对称群的表示 环 （）（）（，），（）：，（）：，（）：，（），：，：，：，：？，：，：，：，：，？，：董井成，陈惠香？二面体群量子偶的表示 环数学 学报，（）：），（）：，（）：数学年刊辑卷，？，（）：曹刘峰，周灵睿，李立斌二面体群）上表示环杨州大学 学报，（）：，（）：曹锡华，时俭益有限群表示论（第二版）北京：高等教育出版社，（）：，（）：，：；，（），？，