具有投资收益的双险种双复合...tric风险模型的破产概率_宋鑫.pdf

第 37 卷第 2 期2023 年 4 月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.37 No.2Apr.2023收稿日期:2022-12-13基金项目:湖南省科技厅项目(2010SK02)作者简介:宋鑫(1998)，女，硕士研究生，主要从事保险风险与精算方面的研究。E-mail:songxin6551 163com。*通信作者:王琳(1978)，女，副教授，主要从事微分方程定性理论方面的研究。E-mail:1668963605 qqcomDOI:10.19431/ki.16730062.2023.02.013具有投资收益的双险种双复合 Poisson-Geometric风险模型的破产概率宋鑫1，廖基定1，王琳2*，张邦1(1南华大学 数理学院，湖南 衡阳 421001;2湖南交通工程学院 公共基础课部，湖南 衡阳 421001)摘要:本文研究了保费过程和索赔过程均为复合 Poisson-Geometric 过程的具有投资收益的双险种双复合 Poisson-Geometric 风险模型，利用概率论中的期望理论和切比雪夫不等式，得出此模型的调节系数不存在。在将干扰因素考虑进来后，得到了调节系数和破产概率的表达式。关键词:双险种;复合 Poisson-Geometric 过程;破产概率;投资中图分类号:O21167文献标志码:A文章编号:16730062(2023)02009106The uin Probability of a Double-type-insurance Double CompoundPoisson-Geometric isk Model with Investment eturnsSONG Xin1，LIAO Jiding1，WANG Lin2*，ZHANG Bang1(1School of Mathematics and Physics，University of South China，Hengyang，Hunan 421001，China;2Department of Public Infrastructure，Hunan Institute of Traffic Engineering，Hengyang，Hunan 421001，China)Abstract:A double compound Poisson-Geometric risk model with investment returns hasbeen studied，in which the premium process and claim process are both Poisson-Geometricprocess Using the expectation theory in probability theory and the Chebyshev inequality，itconcludes that the adjustment coefficient of this model does not exist After taking the in-terference factors into account，the expressions of the adjustment coefficient and the ruinprobability are obtainedkey words:double-type-insurance;compound Poisson-Geometric process;ruin probability;investment19第 37 卷第 2 期南华大学学报(自然科学版)2023 年 4 月0引言近年来，对保险风险模型中破产问题的研究一直是金融与保险精算学的研究热点。越来越多的国内外学者在经典风险模型的基础上开展了进一步研究。文献 1 首先把经典 Poisson 模型推广到带扰动的风险模型。文献 2 研究了经典风险模型破产概率及其局部解的渐近解。因在实际过程中，索赔次数并不会完全服从 Poisson 分布，文献 3在经典模型的基础上首次引入一类复合 Poisson-Geometric 分布，得了复合 Poisson-Geometric 风险模型的破产概率的表达式。文献 4-5对复合Poisson-Geometric 风险模型进行研究，文献 4 得到了 Gerber-Shiu 折现惩罚期望函数所满足的更新方程，且推导出了破产概率和破产即刻前盈余分布等所满足的更新方程，文献 5研究了其破产概率的上界估计问题，得到了估计公式。考虑到影响盈余的因素，文献 6-11 引入了利率因素、干扰因素、分红问题、随机保费问题等。文献 12-13 将单险种的复合 Poisson-Geometric 过程推广到双险种，考虑随机保费服从复合 Poisson 过程，索赔为复合 Poisson-Geometric 过程的双险种的风险模型。文献 14则是考虑随机保费与索赔过程均为复合 Poisson-Geometric 过程的双险种的风险模型，本文则是在此基础上，引入具有投资收益的双险种双复合 Poisson-Geometric 风险模型，利用概率论中的期望理论和切比雪夫不等式推导得到了调节系数，并获得了破产概率的表达式。1预备知识定义 13 称母函数 G(t)=exp(t 1)1 t所对应的分布为 Poisson-Geometric 分布，记为 PG(，)，其中 0，01。定义 23 设 0，01，称 N(t);t0为参数，复合 Poisson-Geometric 过程。如果满足:(1)N(0)=0;(2)N(t);t0 具有独立平稳增量;(3)对 t0 有 N(t)PG(t，)而且E N(t)=t1，Var=t(1+)(1)2。定义 33 设Y(t)=N(t)i=1Xi，其中 N(t);t 0为复合 Poisson-Geometric 过程;Xi之间独立同分布，而且与 N(t)独立。称 Y(t);t0 为双复合 Poisson-Geometric。设 Xi的矩母函数为 MX(r)，并且每次 Xi0，则有以下结论:(1)Y(t);t0 具有独立平稳的增量;(2)N(t)，Y(t)的矩母函数分别为MN(t)(r)=expt(er 1)1 er，MY(t)(r)=expt(MX(r)1)1 MX(r)。2模型建立如下两种模型:U(t)=u u1+(1+t)u1+M1(t)i=1X(1)i+M2(t)i=1X(2)iN1(t)i=1Y(1)iN2(t)i=1Y(2)i(1)U*(t)=u u1+(1+t)u1+M1(t)i=1X(1)i+M2(t)i=1X(2)iN1(t)i=1Y(1)iN2(t)i=1Y(2)i+W(t)(2)式中:u 为初始本金;u1为带有稳定收益的投资金;为稳定的投资收益率;M1(t)、M2(t)分别为X(1)、X(2)到时刻 t 为止的保单个数;X(1)i(i=1，2，M1(t)，X(2)i(i=1，2，M2(t)分别为第i张保单的保费;N1(t)、N2(t)为到时刻 t 为止的两险种的 理 赔 次 数;Y(1)i(i=1，2，N1(t)，Y(2)i(i=1，2，N2(t)为第i 次的理赔金额;W(t)为影响整体运营的干扰因素，为服从标准正态分布的布朗运动;为扰动系数;U(t)表示到时刻 t 为止的盈余。提出假设:(1)X(1)i，X(2)i，Y(1)i，Y(2)i均为非负独立同分布随机变量序列。(2)M1(t)PG(1t，1)，M2(t)PG(3t，3)，N1(t)PG(2t，2)，N2(t)PG(4t，p4)，W(t)为标准正态分布的布朗运动。(3)X(1)i，X(2)i，Y(1)i，Y(2)i，M1(t)，M2(t)，N1(t)，N2(t)，W(t)相互独立。称模型(1)为带有投资收益的双险种双复合Poisson-Geometric 风险模型，其中保费过程、索赔过程均为复合 Poisson-Geometric 过程;模型(2)为具有投资收益的带干扰的双险种双复合 Poisson-Geometric 风险模型。定义 415 记T=inf t0，U(t)0，表示保险公司破产时刻(若对任意的t0都有U(t)0，29第 37 卷第 2 期宋鑫等:具有投资收益的双险种双复合 Poisson-Geometric 风险模型的破产概率2023 年 4 月则定义T=)，则在初始资本为u的条件下，定义保险 公 司 最 终 破 产 概 率 为(u)=P TU(0)=u生存概率为(u)=1(u)。记 S(t)=tu1+M1(t)i=1X(1)i+M2(t)i=1X(2)iN1(t)i=1Y(1)iN2(t)i=1Y(2)i为模型(1)中的盈利过程，记 S*(t)=tu1+M1(t)i=1X(1)i+M2(t)i=1X(2)iN1(t)i=1Y(1)iN2(t)i=1Y(2)i+W(t)为模型(2)中的盈利过程，为了保证公司的正常运转，须要求期望收入总和大于支出总额。即要求E S(t)0，而E S(t)=Etu1+M1(t)i=1X(1)i+M2(t)i=1X(2)iN1(t)i=1Y(1)iN2(t)i=1Y(2)i=tu1+E M1(t)E X(1)+E M2(t)E X(2)E N1(t)E Y(1)E N2(t)E Y(2)=(u1+11 1E X(1)+31 3E X(2)21 2E Y(1)41 4E Y(2)t 0或E S*(t)=Etu1+M1(t)i=1X(1)i+M2(t)i=1X(2)iN1(t)i=1Y(1)iN2(t)i=1Y(2)i+W(t)=tu1+E M1(t)E X(1)+E M2(t)E X(2)E N1(t)E Y(1)E N2(t)E Y(2)=(u1+11 1E X(1)+31 3E X(2)21 2E Y(1)41 4E Y(2)t 0。因为 t0，所以u1+11 1E X(1)+31 3E X(2)21 2E Y(1)41 4E Y(2)0。其中 X(1)，X(2)，Y(1)，Y(2)分别表示 X(1)i，X(2)i，Y(1)i，Y(2)i同分布的随机变量，在此可定义安全系数为=u1+11 1E X(1)+31 3E X(2)21 2E Y(1)+41 4E Y(1)1，并且 0，当 0 时，一定会发生破产，即(u)=1。3主要结论引理 1对于模型(1)存在一个函数 g(r)，使得 E erS(t)=eg(r)t。证明:令 MX(1)(r)，MX(2)(r)，MY(1)(r)，MY(2)(r)分别表示 X(1)i，X(2)i，Y(1)i，Y(2)i的矩母函数，则E erS(t)=Eexp rtu1+M1(t)i=1X(1)i+M2(t)i=1X(2)iN1(t)i=1Y(1)iN2(t)i=1Y(2)i =E ertu1Eexp(rM1(t)i=1X(1)i)Eexp(rM2(t)i=1X(2)i)Eexp(rN1(t)i=1Y(1)i)Eexp(rN2(t)i=1Y(2)i)=exp rtu1+1t(MX(1)(r)1)1 1MX(1)(r)+3t(MX(2)(r)1)1 3MX(2)(r)+2t(MY(1)(r)1)1 2MY(1)(r)+4t(MY(2)(r)1)1 4MY(2)(r)。令g(r)=ru1+1(MX(1)(r)1)1 1MX(1)(r)+3(MX(2)(r)1)1 3MX(2)(r)+2(MY(1)(r)1)1 2MY(1)(r)+4(MY(2)(r)1)1 4MY(2)(r)则 E erS(t)=eg(r)t。引理 2对于模型(2)存在一个函数 g(r)，使得 E erS*(t)=eg(r)t。证明:同理理论 1 的证明，令g(r)=ru1+1(MX(1)(r)1)1 1MX(1)(r)+3(MX(2)(r)1)1 3M