连续空间与拟连续空间的网式刻画_王武.pdf

文章编号：（）连续空间与拟连续空间的网式刻画王武（天津理工大学 中环信息学院，天津 ）摘要：本文在定向空间中引入了网的极限和广义极限的概念。分别给出了连续空间和拟连续空间的网式刻画。关键词：极限；广义极限；连续空间；拟连续空间；定向拓扑中图分类号：文献标识码：引言与基本概念 理论是基础数学理论与理论计算机的交叉领域，文献、对 理论的发展做了很好的阶段性总结。随着拓扑学的发展，将 理论与拓扑学相结合就成为了 理论的一个重要研究方向。年，定义了 空间。近几年来，寇辉等在拓扑空间引入了逼近关系，并定义了与 空间等价的定向空间，从而定义了连续空间和拟连续空间，并得到了一些有意义的结论。本文基于此，研究了连续空间和拟连续空间的网式刻画。首先，介绍拓扑空间中特殊化序的一些基本概念。设是拓扑空间，如果中的任意两个不同的点，都至少有一点存在一个邻域，使得该邻域不包含另外一点，则称拓扑空间为的。拓扑空间上的特殊化序定义如下：，这里 表示 的闭包。类似一般的偏序集，我们可以定义，。本文中，拓扑空间上的序关系总是特殊化序“”。设是拓扑空间，如果在特殊化序下的任意有限子集在中都有上界，则称是定向集。拓扑空间（，（）的一个网是：，其中是一个定向集，不妨把网表示为（）。因此偏序集的每一个定向子集都可以看成一个网，其指标集就是它自己。设是一个拓扑空间，。若网（）终在的每个开邻域，则称（）收敛到，记为（）或 （）。将的定向子集看成定向网，则有类似收敛或 。令（）（，）：，是的定向子集且。容易验证。设是一个拓扑空间，。如果对任意网（），（）意味着存在 使得，则称逼近，记为。如果，则称是紧元。易知逼近关系有如下性质：第 卷第期 模糊系统与数学 ，年月 ，收稿日期：；修订日期：基金项目：天津市教委科研计划项目（）；天津理工大学中环信息学院青年教师科研育苗项目（；）；年高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目（）作者简介：王武（），男，河北秦皇岛人，讲师，研究方向：理论，拓扑学。（）如果，则；（）如果，则。对任意及，记：，：，（）：。定义设是拓扑空间。如果对任意的，存在网（）使得（），则称为连续空间。定理设是拓扑空间，则下列成立。（）对任意，（）。（）若是连续空间，则：是开集，且是（，（）的一组基；：是的定向子集，且。设是一个拓扑空间，如果任意的（），存在使得（），则称拓扑空间为空间。文献 说明了空间与连续空间是等价的。定义设是拓扑空间，。（）如果对任意的（，）（），则称为定向开集，记（）为所有定向开集的集合；（）如果的每个定向开集为开集，即（）（），则称为定向空间。显然，所有定向开集都是上集，并且（）为上的一个拓扑，称为定向拓扑，仍记为（）。在本文中，定向空间中拓扑总是记为（）。定理设是连续空间，则为定向空间。定义设是拓扑空间，为的两个非空子集，为的定向子集。如果，意味着，则称广义 逼近，记为。特别的，简记为，简记为。显然，。命题设是拓扑空间，为的非空子集。（）如果，则；（）如果，则 。设为的非空有限子集构成的集族，如果对任意的，存在使得，则称集族是定向的。设是拓扑空间，如果对（），存在使得，则称收敛到。定义设是定向空间，记 （）为的有限子集，且。如果 （）是定向集族并收敛到，则称是拟连续空间。命题设是拟连续空间，为有限集。则（）：。连续空间的网式刻画拓扑空间上收敛与定向拓扑为了给出连续空间的网式刻画，首先引入收敛的概念，并介绍其与定向拓扑的关系。定义设是拓扑空间，（）是的一个网。（）如果存在，对所有的都有，则称点是网（）的一个终下界。记 （）表示网（）的所有终下界之集。（）如果存在定向集 （）使得，则称点是网（）的极限。此时，该极限简记为 （），并称（）是收敛到的。引入以下记号。（），）：，（）是一个网且 （）模糊系统与数学 年（）：若（），）且，则网（）终在中定理设是拓扑空间，则（）是上的一个拓扑。下面，证明拓扑（）与定向拓扑是同一个拓扑。定理设是拓扑空间，。则（）的充要条件为满足以下条件：（）；（）对于任意定向集，。证明（必要性）设（）。先证（）：对任意，。取网，则是网 的一个终下界，且。从而 ，由（）知网 终在中，即。再证（）：设定向集，。考察网，则任意为网的终下界，且。从而 ，即网终在中，则。（充分性）令为上集，且满足条件（）。设 （）且。由 （）知存在定向集 （）使得，则。令，则为网（）的一个终下界，即存在使得当时，也就是终在中，即（）。结合上述定理和定向拓扑的定义知，（）（）。连续空间的网式刻画本节给出连续空间的网式刻画，首先说明收敛关于定向拓扑是收敛的。定理设是连续空间。则 （）（）关于拓扑（）收敛到，即收敛关于定向拓扑是收敛的。证明由于（）（），则 （）（）。反之，若（）。对每个，为包含的定向开集，则网（）终在中，则是（）的终下界。因为是定向的，且，从而 （）。定理设是定向空间。如果收敛关于拓扑（）是收敛的，则是连续空间。证明只需证明是连续的即可。由于收敛生成的拓扑是定向拓扑，如果收敛关于拓扑（）是收敛的，则 （）（）关于拓扑（）是收敛的。令。定义（，）（）：，其中（）示所有包含的定向开集。在上定义序关系如下：（，）（，）是的真子集或且。显然在该序下是一个定向集。对任意（，），令，则（）是一个网。任给的一个定向开邻域及，令（，）。当（，）时，有或者且。这都表明。故网关于定向拓扑收敛到。因此有 （），即存在定向集 （）满足。令。则存在（，）使得当（，）时，有。特别的，对所有的，（，）（，），因此为的一个下界，即（），则。因为，而且，则是连续空间。由定理和定理，有如下定理。定理设是定向空间。则下面两条叙述等价。（）是连续空间；（）（）（）关于拓扑（）收敛到，即收敛关于定向拓扑是收敛的。拟连续空间的网式刻画拓扑空间上广义收敛与定向拓扑在本节中，将收敛进行推广，给出广义收敛的概念，并介绍其与定向拓扑的关系。第期王武：连续空间与拟连续空间的网式刻画定义设是拓扑空间，（）是的一个网。（）如果是非空有限集且存在使得对所有的都有，则称是网（）的一个广义终下界。记 （）表示网（）的所有广义终下界之集。（）如果存在及定向集族 （）使得，则称是网（）的广义极限（简记为 （）。此时，称网（）广义收敛到。定理设是拓扑空间，则极限必是广义极限。证明如果 （），则存在定向集 （）使得，即如果（），取，则。令 ：，则 （）且，即 ：收敛到，从而网（）广义收敛到。引入以下记号。（），）：，（）是一个网且 （）（）：若（），）且，则网（）终在中显然，（）是上的一个拓扑。虽然广义极限与极限不同，但是下列定理表明它们生成的拓扑是一样的。定理设是拓扑空间，则（）（）（）。证明在第节中已经证明了（）（）。由于极限必是广义极限，则。从而（）（）。下面证明（）（）。设（），（），）。则存在定向集族 （）使得，即存在，。由于为（）的广义终下界，则存在使得对所有的都有，即（）终在中，也就是说（）。从而（）（）。拟连续空间的网式刻画本节给出拟连续空间的网式刻画。定理设是拟连续空间，（）是一个网。则 （）当且仅当（）关于定向拓扑收敛到，即 收敛关于定向拓扑是收敛的。证明由定理 知，（）显然推出（）。下证（）推出 （）。由于是拟连续空间，则 （）为的有限子集，且 是定向集族并收敛到，令：，则由命题知是定向开集，且。因为（），所以网（）终在，从而是网（）的广义终下界，则 （）（）。由 （）得 （）。定理设是定向空间。若 收敛关于定向拓扑（）是收敛的，则必是拟连续空间。证明因为 收敛生成的拓扑等于定向拓扑。因此如果 收敛关于定向拓扑（）是收敛的，那么 （）当且仅当（）。令，定义（，）（）：，其中（）表示所有包含的定向开集。在上定义序关系如下：（，）（，）或且。显然在该序下是一个定向集。对任意（，），令，则（）是一个网。任给的一个定向开邻域及，令（，）。当（，）时，有或者且。这都表明。故网关于定向拓扑收敛到。因此有 （），即存在定向集族 （）满足。接下来证明，。设定向集满足。由于是网（）的广义终下界，故存在（，），当（，）时，有。又由网的定义，。故。取，令（，），则（，）。从而，则。因此。综上可知，收敛到且，从而是拟连续的。由定理和定理，有如下结论。模糊系统与数学 年定理设是定向空间，下面两条等价：（）是拟连续的；（）收敛关于定向拓扑是收敛的，即对任意及任意网（），（）当且仅当（）关于定向拓扑收敛到。参考文献：，：，：，：寇辉 拟连续 及其子范畴间的伴随关系 数学年刊，（）：寇辉 关于紧连续 的一个刻画定理 数学进展，（）：王武，寇辉拓扑空间的逼近结构四川大学学报（自然科学版），（）：车铭静，寇辉空间范畴的一个 闭满子范畴 四川师范大学学报（自然科学版），（）：俞月，寇辉由空间的特殊化序定义的定向空间四川大学学报（自然科学版），（）：冯华容，寇辉拓扑空间的拟连续与交连续四川大学学报（自然科学版），（）：（，）：，：；第期王武：连续空间与拟连续空间的网式刻画