文章编号：１００１－７４０２（２０２３）０３－０１０３－０５连续空间与拟连续空间的网式刻画＊王武（天津理工大学中环信息学院，天津３００３８０）摘要：本文在定向空间中引入了网的Ｓ极限和广义Ｓ极限的概念。分别给出了连续空间和拟连续空间的网式刻画。关键词：Ｓ极限；广义Ｓ极限；连续空间；拟连续空间；定向拓扑中图分类号：Ｏ１５９文献标识码：Ａ１引言与基本概念Ｄｏｍａｉｎ理论是基础数学理论与理论计算机的交叉领域，文献［１］、［２］对ｄｏｍａｉｎ理论的发展做了很好的阶段性总结。随着拓扑学的发展，将ｄｏｍａｉｎ理论与拓扑学相结合就成为了ｄｏｍａｉｎ理论的一个重要研究方向。２００９年，Ｅｒｎé［３］定义了ｍｏｎｏｔｏｎｅｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ空间。近几年来，寇辉等在Ｔ０拓扑空间引入了逼近关系，并定义了与ｍｏｎｏｔｏｎｅｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ空间等价的定向空间，从而定义了连续空间和拟连续空间，并得到了一些有意义的结论。本文基于此，研究了连续空间和拟连续空间的网式刻画。首先，介绍Ｔ０拓扑空间中特殊化序的一些基本概念［４］。设Ｘ是拓扑空间，如果Ｘ中的任意两个不同的点，都至少有一点存在一个邻域，使得该邻域不包含另外一点，则称拓扑空间Ｘ为Ｔ０的。Ｔ０拓扑空间Ｘ上的特殊化序定义如下：∀ｘ，ｙ∈Ｘ，ｘ≤ｙ⇔ｘ∈｛ｙ｝，这里｛ｙ｝表示｛ｙ｝的闭包［４－５］。类似一般的偏序集，我们可以定义↑Ａ，↓Ａ，↑ａ，↓ａ。本文中，Ｔ０拓扑空间上的序关系总是特殊化序“≤”。设Ｘ是Ｔ０拓扑空间，Ｄ⊆Ｘ，如果在特殊化序下Ｄ的任意有限子集在Ｄ中都有上界，则称Ｄ是定向集。拓扑空间（Ｘ，Ｏ（Ｘ））的一个网是ω：Ｊ｜→Ｘ，其中Ｊ是一个定向集，不妨把网表示为（ｘｊ）ｊ∈Ｊ。因此偏序集的每一个定向子集都可以看成一个网，其指标集就是它自己。设Ｘ是一个Ｔ０拓扑空间，ｘ∈Ｘ。若网（ｘｊ）ｊ∈Ｊ终在ｘ的每个开邻域，则称（ｘｊ）ｊ∈Ｊ收敛到ｘ，记为（ｘｊ）ｊ∈Ｊ→ｘ或ｌｉｍ（ｘｊ）ｊ∈Ｊ＝ｘ。将Ｘ的定向子集Ｄ看成定向网，则有类似收敛Ｄ→ｘ或ｌｉｍＤ＝ｘ。令Ｄ（Ｘ）＝｛（Ｄ，ｘ）：ｘ∈Ｘ，Ｄ是Ｘ的定向子集且Ｄ→ｘ｝。容易验证ｘ≤ｙ⇔｛ｙ｝→ｘ。设Ｘ是一个Ｔ０拓扑空间，ｘ，ｙ∈Ｘ。如果对任意网（ｙｊ）ｊ∈Ｊ⊆Ｘ，（ｙｊ）ｊ∈Ｊ→ｙ意味着存在ｊ′∈Ｊ使得ｘ≤ｙｊ′，则称ｘ逼近ｙ，记为ｘ≪ｅｙ［６］。如果ｘ≪ｅｘ，则称ｘ是紧元。易知逼近关系有如下...
