具有Beddington-...的双斑块裂谷热病毒模型研究_桑瑞.pdf

年月重庆师范大学学报（自然科学版）第 卷 第期 （）：具有 发生率的双斑块裂谷热病毒模型研究桑瑞，吴浩，张龙（新疆大学 数学与系统科学学院，新疆应用数学重点实验室，乌鲁木齐 ）摘要：【目的】研究人口在斑块间扩散对裂谷热疾病传播的影响，提出了一个具有 发生率函数的双斑块裂谷热病毒模型。【方法】通过构造 函数和运用 不变性原理，建立了系统无病平衡点的全局渐近稳定性准则，运用了 判别准则以及几何方法，建立了系统正平衡点全局渐近稳定性准则。【结果】得到了个斑块的基本再生数、，建立了系统平衡点局部和全局渐近稳定的阈值准则，并通过数值模拟对理论结果进行验证。【结论】当 且 时，该疾病在个斑块中灭绝；当 时，该疾病在个斑块中持续生存。关键词：裂谷热；功能反应；斑块模型；基本再生数；阈值动力学中图分类号：文献标志码：文章编号：（）裂谷热（，）是由裂谷热病毒（，）感染家畜和人类而引起的人畜共患病，牲畜患病后导致的高死亡率和高流产率会造成重大的经济损失。主要通过携带有该病毒的雌性蚊子叮咬宿主进行传播，库蚊属或伊蚊属的几种蚊子是已知的媒介物。人类会通过直接或间接接触被感染动物的血液或器官而感染 ，但迄今为止未见报道该病毒会在人与人之间传播。数学模型是评估感染风险和患病率以及优化控制策略的重要工具。为了控制疾病的蔓延，具有迁移的斑块模型在描述 传播方面发挥了巨大的作用。年，等人提出了一类斑块模型，以探讨 的循环机制。为了解释伊蚊的垂直传播，他们还研究了感染的以及未感染的卵的仓室。随着对 研究的进一步深入，等人 修改了 的模型，去掉了蚊子卵的仓室，排除蚊子的垂直传播，为证明无病平衡点的稳定性和疾病的持久性创造了条件。等人 提出了一类三斑块空间传播的模型，研究了裂谷热在埃及的地理分布现象的动力学原理。目前，虽然众多学者对 进行了深入研究，但该病毒仍无时无刻不在威胁着人们的生命安全。据报道，年月在苏丹埃尔达马尔地区爆发的一场 ，导致 例病例患者和 例（占比 ）死亡；在 大流行期间，实施的相关封锁可能导致了许多国家和地区如巴西、印度 和非洲 的虫媒病毒大爆发，其中非洲作为 的主要发源地，为蚊子媒介的快速繁殖提供了有利条件，这导致了 在非洲东部的肯尼亚再次爆发。截至 年月日，例 确诊病例中就有 人死亡，死亡率高达 。大量 病例的出现使得社会公共安全及经济安全面临严峻的挑战。中国于 年确立了首例输入性 感染病例，因此该病对中国也存在潜在威胁。本文的主要目的是考虑具有空间传播的 在人类之间传播，且主要传播途径为蚊虫叮咬，由此建立一个双斑块传染病模型来描述 的空间传播。模型的建立与介绍 是一种致命的传染病，临床上的潜伏期为，随后会突然出现不适、发烧和头痛，这为 携带者收稿日期：修回日期：网络出版时间：资助项目：新疆应用数学重点实验室开放课题（）；国家自然科学基金面上项目（；）；新疆维吾尔自治区自然科学基金（）；新疆维吾尔自治区高校科研重点项目（）第一作者简介：桑瑞，女，研究方向为常微分方程稳定性理论，：；通信作者：张龙，男，教授，博士生导师，：网络出版地址：的迁徙提供了前提条件，使得人类由于迁移将 从非洲传播到世界其他地区的可能性大大提高。假设由于病媒种群的流动性有限，它们在斑块间的扩散可以忽略。还假设蚊子种群是 增长的，以保持一个均衡的病媒种群。这里采用更为一般的 功能反映函数 来刻画疾病的发生率，可得到以下双斑块传染病模型：，（）（），。烅烄烆（），（）（），。烅烄烆（）将人类种群分为个类别，用（），（），（）分别表示在时刻斑块（，）易感者、感染者和恢复者的数量。将蚊子种群分为个类别，用（），（）分别表示在时刻斑块中易感蚊子和感染蚊子的数量。为补充率，斑块中人类个体的自然死亡率、病死率及治愈率分别用，和来刻画。，分别表示斑块中蚊子向宿主和宿主向蚊子的传输速率，和分别为斑块中易感者和感染者向斑块的迁移速率，为斑块中蚊子的生长速率，为斑块中蚊子的自然死亡率，为斑块中蚊子的容纳量，（，）为抑制率。这里所有参数都为正常数。在时间时，以（）（）（）表示的斑块中的蚊子总数，满足：（）（）（）（），。对于任何正初始值，当时（）收敛到，因此可以考虑如下系统（）、（）的极限系统：，（）。烅烄烆（），（）。烅烄烆（）第期桑瑞，等：具有 发生率的双斑块裂谷热病毒模型研究式中：，。初始条件为：（），（），（），。通过计算，系统（）、（）的无病平衡点为：（，），（）。令（）（）（）（）（）（）（），易验证集合（，）：，；（）（，）为系统（）、（）的正不变集。基本再生数与阈值动力学模型中所描述的迁移为单向迁移，因此斑块的动力学独立于斑块。斑块动力学分析显然，（，）是子系统（）的唯一的无病平衡点，为了计算系统（）的基本再生数，用（，）对感染变量进行排序，遵循文献 的方法和符号，给出在处系统（）的迁入及移出矩阵：烄烆烌烎，烄烆烌烎。由此可以给出斑块的基本再生数（）（）槡（）槡。定理当 时，系统（）的无病平衡点全局渐近稳定。证明考虑上的 函数，那么沿着系统（）计算的导数得：（）（）（）（）。令（，），的最大不变集记为是单点集。情况，当 时，（，），由的不变性，对，系统（）满足初始条件的解（），（），（），因此，对，由系统（）的第个方程：（），易得当时，又由系统（）的第个方程：（），易得当时，即。情况，当 时，（，）或，即对，（同情况）或，由于（）是连续可微的且对，（），若存在某个，有（）成立，则必有（），由系统（）中第个方程：（），从而，证明同上。由 不变性原理：时，全局渐近稳定。证毕定理当 时，系统（）存在唯一的地方病平衡点（，）。证明令系统（）的右端函数等于，得：，（）。烅烄烆（）联立（）式的前个方程可解得，由第个方程可得，将它们代入第个方程并整理得：重庆师范大学学报（自然科学版）：第 卷。（）式中：，（），（）（）（）。（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。式中：（）。因此，方程（）有个实根：槡（）槡。当（）槡时，有：（）槡。即，也就是，不符合生物学意义。当（）槡时，有：（）槡。即，符合生物学意义。因此，当 时，系统存在唯一的正平衡点（，），其中（）槡，记为，对应的和分别记为，。定理当 时，系统（）唯一的地方病平衡点（，）局部渐近稳定。证明系统（）在处的 矩阵为：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）烄烆烌烎 烄烆烌烎。的特征方程为（），式中：（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）。（）由式（）的第个方程得（），代入第个方程得（）（），那么有：（）（）。代入式（）有：（）（）（）（）（）第期桑瑞，等：具有 发生率的双斑块裂谷热病毒模型研究（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）。根据 判别准则，的所有特征根均具有负实部，地方病平衡点局部渐近稳定。下面遵循 等人 提出的几何方法研究正平衡点的全局渐近稳定性。引理考虑一个动力系统（），其中：a是函数且是一个单连通域，假设存在一个紧吸引集且系统中有唯一的正平衡点，如果，则在中全局渐近稳定，式中：（，）。（）式中：是一个矩阵值函数，定义为，其中（）是中（）（）的矩阵值函数，是沿着方向的的导数，是雅可比矩阵（）（）的第二加性复合矩阵，同时对于矩阵范数，（）是的 度量，即（），其中表示单位矩阵。定理 时，系统（）唯一的地方病平衡点（，）全局渐近稳定。证明通过计算，斑块中线性化子系统的雅可比矩阵为：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）烄烆烌烎，相关联的第二加性复合矩阵为：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）烄烆烌烎。定义 ，（），且令表示斑块的向量场，则有 ，（），且：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）烄烆烌烎，重庆师范大学学报（自然科学版）：第 卷矩阵（）可以用矩阵块（）（）（）（）（）烄烆烌烎的形式表示。其中：（）（）（）（），（）（）（）（）（）（），（）（）烄烆烌烎，（）（）（）（）（）（）（）烄烆烌烎。对于任何的（，），定义它的向量范数为（，）（，）。设表示关于这个范数的 度量。通过直接计算得（）（），（），其中（）（）（），（）（）（），这里（）和（）是由范数诱导的矩阵范数，且表示相对于范数的 度量。（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（，）。由系统（）中第个方程得（），代入上式得：（）（，）。记 （，），则有（），（）。因此，（）。由于（）（）（，），如果足够大，那么（）（）。于是，当足够大时，有：（）（）（）（）。故可得（）（），这表明（，）在第一个斑块是全局渐近稳定的。斑块动力学分析情形，当 时，斑块无病平衡点（，）是全局渐近稳定的，因此，当时，对于斑块可得如下极限系统：（），（），（）（）。烅烄烆（）通过计 算，系 统（）有 唯 一 的 无 病 平 衡 点，（），并 得 到 它 的 基 本 再 生 数 为（）槡。第期桑瑞，等：具有 发生率的双斑块裂谷热病毒模型研究定理，时，系统（）的无病平衡点全局渐近稳定；，时，系统（）存在唯一的地方病平衡点（，）且是全局渐近稳定的。证明情形，由于系统（）与系统（）具有完全相同的结构，关于平衡点稳定性的证明与定理以及定理相同，此处省去。情形，当 时，斑块地方病平衡点（，）全局渐近稳定，因此，当时，斑块可得如下极限系统：（），（），（）（）。烅烄烆（）从生物的角度，研究系统（）正平衡点的唯一性具有重要意义，如果它存在，应该满足以下代数方程：，（）。烅烄烆（）联立式（）的第个和第个方程有：。由第个方程可得：，将它们代入第个方程整理得：，（）式中：，。这里。由于，由笛卡尔符号规则，如果满足以下个条件中的任何一个，式（）有两个正实根或没有正实根：，。烅烄烆（）注以上条件严格地说只是代数方程（）正根的存在，要使系统（）的正平衡点存在还必须满足：。定理当 时，如果系统（）的地方病平衡点（，）存在，则是局部渐近稳定的。证明系统在处的雅可比矩阵为：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）烄烆烌烎 烄烆烌烎，的特征方程为（），式中：重庆师范大学学报（自然科学版）：第 卷（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）。由式（）第个方程得：（），代入第个方程有：（）（），则有：（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。根据 判别准则，的所有特征根均具有负实部，地方病平衡点局部渐近稳定。定理当 时，如果系统（）的地方病平衡点（，）存在且唯一，则是全局渐近稳定的。证明通过计算，斑块中线性化子系统的雅可比矩阵为：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）烄烆烌烎，相关联的第二加性复合矩阵为：（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）烄烆烌烎。定义 ，（），且令表示斑块的向量场，则有 ，（），且：第期桑瑞，等：具有 发生率的双斑块裂谷热病毒模型研究（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）烄烆烌烎，矩阵（）可以用矩阵块（）（）（）（）（）烄烆烌烎的形式表示。其中：（）（）（），（）（）（）（）（）（），（）（）烄烆烌烎，（）（）（）（）（）（）（）烄烆烌烎。然后有（）（），（）（），其中：（）（）（）（）（）（），（）（）。由系统（）中第个方程得（），代入上式得：（）。因此，（）。由于（）（）（，），如果足够大，那么（）（），于是，当足够大时，有：（）（）（）（）。故可得（）（），这表明（，）是全局渐近稳定的。证毕数值模拟基于 等人 的工作，具体参数值见表。图为平衡点稳定性数值模拟。其中图 表示当，整个系统疾病灭绝，即无病平衡点（，）全局渐近稳定；图 表示当，斑块疾病灭绝，斑块疾病持续生存，边界平衡点（，）全局渐近稳定。对于图 和图 有如下结论：）当，这时 ，满足条件（），这时方程（）有两个正实根：，与之对应的 ，这里，不符合生物学意义。因此，系统（）具有唯一的正平衡点（，）是全局渐近稳定的。对应于图。）当，这时 ，满足条件（）。这时方程（）有两个正实根：，与之对应的 ，这里，不符合生物学意义。因此，系统（）具有唯