基于交互间隙法的内部混合边界条件反散射问题_汪晓青.pdf

年月重庆师范大学学报（自然科学版）第 卷 第期 （）：基于交互间隙法的内部混合边界条件反散射问题汪晓青，刘立汉，吴雪娇（重庆师范大学 数学科学学院，重庆 ）摘要：【目的】内部混合边界条件反散射问题在无损探测等方面有着广泛的应用。【方法】从位于腔体内部封闭曲线上点源产生的散射波出发，基于交互间隙法，构造交互间隙泛函，根据交互间隙泛函的范数性质来确定腔体的位置和形状。【结果】证明了内部混合边界条件反问题的唯一性和交互间隙泛函是单射且稠密的。【结论】由内部点源测量数据可以唯一确定未知腔体的位置、形状和阻抗函数。关键词：交互间隙法；内部反散射问题；混合边界条件；阻抗函数中图分类号：文献标志码：文章编号：（）声波和电磁波反散射问题在雷达、声纳、医学成像、地下成像等方面有着广泛应用，该相关理论和方法的研究取得了很大的进展，见文献。通常，发射器和接收器都位于目标外部，使用不同的反演技术从外部测量数据中提取目标的信息。然而，在设备内部完整性的无损检测中，需要解决从设备内部的接收器和发射器获得的内部测量数据的反问题。目前，许多论文都考虑了具有内部测量数据的腔体反问题，如秦海华等人 对 方程使用线性采样方法，在 和 边界条件下确定不可穿透腔体的位置和形状；等人 利用线性采样法研究了内部可穿透腔体问题；秦海华等人 利用牛顿迭代法解决了带有 边界条件的不可穿透腔体内部反散射问题；在文献 中，还用了其它的方法来解决形状重构的内部反问题。上述所有工作都仅限于重建腔体的形状。本文利用内部测量数据解决不可穿透腔体的内部混合边界条件反问题，主要是根据腔体内部曲线上测量的散射数据的知识，利用交互间隙方法 来确定腔体的位置和形状，在求解近场方程的基础上，得到一个积分方程来确定阻抗函数。反散射问题本文考虑具有混合边界条件的腔体的散射问题，假设是有界单连通区域，且边界珚珚是 的，这里，是的两个不相交的开子集。用（）表示上的阻抗函数，（）是一个连续函数，使得存在一个正数，对于，有（）。是分段非均匀介质的区域，即折射率（）是分段连续的，在的外部，折射率为常数。为了一致性和简单性，在本文中，对于，令（）。如果是由光滑曲线上点源所产生的格林函数，要解决的散射问题是找到一个解（）满足下列方程：（），（），。（）上式中，为波速，是总场，是由所引起的散射场，为上的单位外法向量，为自由空间格收稿日期：修回日期：网络出版时间：资助项目：国家自然科学基金青年项目（）；重庆市自然科学基金面上项目（）；重庆市教育委员会科学技 术 研 究 项 目（，）；重 庆 市 留 学 人 员 回 国 创 新 类 项 目（，）；重庆师范大学青年拔尖人才培育计划（）；重庆市巴渝学者计划（）；重庆市高校创新研究群体项目（）第一作者 简 介：汪 晓 青，女，研 究 方 向 为 数 学 物 理 反 问 题，：；通 信 作 者：刘 立 汉，教 授，博 士，：网络出版地址：林函数，则在中，对于，（，）（，）（，）（，）。上式中，（，）是 方程（）（）（）的基本解，且（，）（）（），这里（）是第一类零阶 函数。记是如下方程的解（，）（）（，）（），且符合 条件，（），。根据文献 知，满足交互关系，即，（，）（，），（）。为了更加方便的研究问题（），需要定义以下几个空间：令是边界的一部分，定义：（）：（），珮（）（）：珚，（）（）的对偶空间。与问题（）相对应的外部混合边界条件问题是，对于（），（），求 （）满足如下方程：（），（），（）。（）根据文献 可知，问题（）是适定的。令是内的一个有界 域，是的内部，则有，本文中的反散射问题是根据上的柯西数据来确定的形状和阻抗函数。定义 设非零数，若存在一个非平凡的解（），满足：（），。则称是在内的一个广义的 特征值。接下来，证明具有混合边界条件反散射问题的唯一性定理。定理假设不是在或内的一个广义的 特征值，又设和分别是两个对应阻抗为和的散射物体，使得在固定波数下，所有点源对应的散射场均在上重合，则，。证明）先证。假设是包含的两个有界区域，分别是方程（）的区域被，替代后的解，又设（，）（，），令，则有：（），。由于不是在中的一个广义 特征值，则在内，。假设是的连通分支，且，由解析性可得，在内，即（，）（，），根据交互关系，有（，）（，），再利用上面的讨论，有（，）（，），。不失一般性，令且使得（）或（），这里（）是以为中心，为半径的一个小邻域。令是上的 或 边界条件，选择足够小的，使得（），这里（）是上指向外部的单位法向量。下面，考虑，（）是散射问题（）对应，的解，则，（，），（，），。一 方 面，由 正 问 题 解 的 适 定 性，则 存 在，使 得：（，）（）（，）（）（，）（）；另 一 方 面，（，）（）（，）（）。这里，若为 边界算子，则，若为 边界算子，则。故矛盾，从而。）再证。假设 不成立，令（）是一个连通的边界弧，根据文献 第期汪晓青，等：基于交互间隙法的内部混合边界条件反散射问题得到，（，）（，），。由在 上符合 条件，则在上，又因为，则在上，因此在上，。由 定理可知，（），注意（）在 内都解析，则（，）（，），当时，无界，得出矛盾，故 ，同理可证 ，故唯一，从而唯一。在内，特别的，在上，故在上，（）。假设对于，由的连续性，则存在一个的领域（）使得，在（）上，则表明，。由 定理可知，（），故矛盾，从而。证毕交互间隙法在这一部分，根据交互间隙法来重构腔体的形状以及阻抗函数。首先定义两个空间：（）（）：（），（），：是方程（）的解且（，），。对于（），定义如下的交互间隙泛函（，）（），上式中是上的单位外法向量，（，）可被看作算子：（）（），对所有，由于依赖于，则算子定义为（）（）（，）。（）接下来，证明如果不是在内的一个广义 特征值，则是单射且稠密的。定理假设，式（）定义的算子：（）（）是一个单射。证明令（），使得，即对，有（，）。根据格林公式和边界条件，则：（，）（）（）（）。注意到，（）在珮（）珮（）中，接下来说明，（）：在珮（）珮（）中稠密。根据对偶性，假设存在（），（）使得：，。下证，恒为零。令是下列方程的解：（），（），。根据文献 可知，上述方程在（）中有唯一解，且它连续依赖于，。对，（，），则：（）（）（，）（，）（，）（，）（）（，）（，）（）（，）（，）（）。则，有（）。由于不是在内的一个广义 特征值，则在内。由唯一延拓定理，在内，得到，由迹定理可知，。根据方程（）的唯一性可得，在 内，又，由唯一延拓定理知，在 中，。故是一个单射。证毕重庆师范大学学报（自然科学版）：第 卷定理假设，式（）定义的算子：（）（）是稠密的。证明令（）使得对于所有（），有（，）。由式（）和的双线性，则（，）（）（，）（）（，），上式中（）（）（，）（）。对上式利用格林公式和问题（）的边界条件，对（），有：（，）（）（）（）。（）定义：（）（，）（）（），（）式中（）。根据文献 ，可知：（）在（）中稠密，由迹定理和方程（）的适定性可以计算得，（）在（）（）中稠密。因此式（）表明在上（），在上，则在边界上有零柯西数据。令是一个足够大的球使得，在中，用扩充，可以得到（）（）且（）在中满足 方程 （），则（）在内解析。又由于在中，（），根据延拓定理得，在内，（），因此，在曲线上，（）。又因为在内，（）且不是在内的一个广义 特征值，则在内（）。根据单层势能的跳跃关系有，则算子的稠密性得证。证毕重构未知腔体的位置和形状接下来，令是式（）定义的单层势能，则（）。目的是找到一个近似解（），对于所有有：（，）（，），（）式中：（，），特别地，将说明如何使用这个函数来描述的特征。一般来说式（）的解不存在，然而，证明近似解的存在是有可能的。为此，考虑特殊的外部混合边界问题，由文献 知，（）是下列方程的唯一解：，（，），（）（，）（）（，），槡 （）。（）定理假设，则：）若，则存在一个序列，（），有 （，）（，），且在 （）内，收敛。）若，对 任 意 一 个 序 列 ，（），使 得 （，）（，），则 （）。证明）若，则：（，）（）（）（）（）（）。（）根据文献 可知，（）在（）中稠密，则（）能被逼近，即存在序列，（），在（）中，使得，由迹定理得，在 （）中，收敛。通过式（）可知，第期汪晓青，等：基于交互间隙法的内部混合边界条件反散射问题当时，有（，）（，）。）若，对于（，），令珘（，）（，）（，），则有：（，），）（，）（，）（，）（，）（）珘（，）（，）（，）珘（，）（）（，）（，）（，）（，）（）。（）由于和满足 方程，且在内满足交互关系，因此，珘和珘（，）是 方程的 解。令（）珘（，）（，）（，）珘（，）（），则 在内，（）也 是 方程的解。由式（），利用格林公式可得（，），）（）（，）。另一方面，（，），）（，）（）（）（）（，）（），（）假设存在一个序列，（），使得 （，）（，）。假设（）有界，则存在子序列，（）弱 收 敛 到（，）（）（）。令珘（）（）（，）（）（）（，）（），。根据式（）可知，当，时，有（，），）珘（），则，有珘（）和（）（，）是相等的。因为珘（）和（）（，）在内可以连续作为（）的解，根据唯一延拓定理得，珘（）和（）（，）是相等的。然而，当时，（，）是奇异的。当时，得到矛盾，因此，（）是无界的，通过迹定理 （）也无界。本文的剩下部分致力于推导的重构公式。反演未知腔体的阻抗函数对于固定，定义（，），这里，是外部混合边值问题（）的解，因为 （），则有（），（）且，（）。引理假设不是问题（）的外部特征值，使得：（）（），式中是一个单位圆。证明根据格林第二定理和文献 中引理 有：（）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（），对上式两边同时乘，再化简有（）（），则：（）（），。证毕重庆师范大学学报（自然科学版）：第 卷特别地，令，则引理可被重写为如下的引理。引理假设不是问题（）的外部特征值，有：（）（，）（），（）式中是一个单位圆。引理考虑是一个开邻域，定义：（）：（，），是（）的解，则在（）中完备。证明假设（），使得，（，），构造 （）是下列外部混合边界问题的解：（），（），（）。（）由于不是问题（）的外部特征值，故上述问题存在唯一解。，有：（）（）（，）（）（，）（，）（，）（，）（）（，）（，）（，）（，）（）。由于不是问题（）外部特征值，则（），由唯一延拓定理可知，（），根据迹定理有。证毕方程（）可以看作的第一类积分方程，因为（，）在上为零，可以用代替积分区域，利用引理，很容易证明，方程的左边是一个单射紧致的积分算子，方程的右边和它的核都可以通过实测数据近似计算出来，如果是数据方程的近似解，（，）（，（，）可被写作（，），这里：（）（）是一个积分算子，这里核：定义为（，）（，），（，），且：（，）（，），（，），（）（，）（）（）。在实际中，基于 正则化解确定，计算，然后解积分方程：（）（，），（），（），（）（），槡。定理令（）是问题（）的阻抗函数，则：（），（），（，）（）。证明根据文献 知：（）（）（）（），令 ，则（）（），（），对于，集合：（）有正测度，（）是中的支集，则有（）（）。证毕第期汪晓青，等：基于交互间隙法的内部混合边界条件反散射问题特别地，在阻抗函数，时，得到更简单的公式，即：，（），（）（）（）（，）（），。参考文献：，：，：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：（）：，（，）：，：；（责任编辑陈乔）（）：