Navier-Stokes...entz空间中的正则性准则_曲双红.pdf

2 0 2 3年7月第4 7卷第4期安徽大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fA n h u iU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)J u l y2 0 2 3V o l.4 7N o.4d o i:1 0.3 9 6 9/j.i s s n.1 0 0 0-2 1 6 2.2 0 2 3.0 4.0 0 1收稿日期:2 0 2 2-0 1-1 6基金项目:国家自然科学基金资助项目(1 1 8 0 1 5 2 9);河南省自然科学基金资助项目(2 3 2 3 0 0 4 2 0 1 1 8)作者简介:曲双红(1 9 7 3-),女,河南洛阳人,郑州轻工业大学副教授,E-m a i l:q u s h h z z u l i.e d u.c n.N a v i e r-S t o k e s方程基于旋转项在L o r e n t z空间中的正则性准则曲双红1,黄依珂1,姬 翔2(1.郑州轻工业大学 数学与信息科学学院,河南 郑州4 5 0 0 0 2;2.广州大学 数学与信息科学学院,广东 广州5 1 0 0 0 6)摘 要:利用N a v i e r-S t o k e s方程的旋转形式和L o r e n t z空间技术,对三维不可压缩N a v i e r-S t o k e s方程的解在时空L o r e n t z空间中建立了依赖旋转项的正则性准则.该结果改进了N a v i e r-S t o k e s方程已有的L a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i n准则.关键词:N a v i e r-S t o k e s方程;旋转项;正则性;L o r e n t z空间中图分类号:O 2 9;O 3 5 文献标志码:A 文章编号:1 0 0 0-2 1 6 2(2 0 2 3)0 4-0 0 0 1-0 9R e g u l a r i t yc r i t e r i av i ar o t a t i o nf o r mo f t h eN a v i e r-S t o k e se q u a t i o n s i nL o r e n t z s p a c e sQUS h u a n g h o n g1,HUANGY i k e1,J IX i a n g2(1.C o l l e g eo fM a t h e m a t i c sa n d I n f o r m a t i o nS c i e n c e,Z h e n g z h o uU n i v e r s i t yo fL i g h t I n d u s t r y,Z h e n g z h o u4 5 0 0 0 2,C h i n a;2.S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dI n f o r m a t i o nS c i e n c e,G u a n g z h o uU n i v e r s i t y,G u a n g z h o u5 1 0 0 0 6,C h i n a)A b s t r a c t:I nt h i sp a p e r,b y m e a n so fe q u i v a l e n tf o r m o ft h eN a v i e r-S t o k e se q u a t i o n s,w ed e r i v es o m er e g u l a r i t yc r i t e r i ab a s e do nt h er o t a t i o nt e r mo f t h i ss y s t e mi nL o r e n t zs p a c e s.T h i s i m p r o v e s t h ew e l l k n o w nL a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i nc r i t e r i a.K e y w o r d s:N a v i e r-S t o k e se q u a t i o n s;r o t a t i o nt e r m;r e g u l a r i t y;L o r e n t zs p a c e s考虑如下经典三维不可压缩N a v i e r-S t o k e s方程ut-u+uu+=0,(x,t)RR3(0,),u=0,u|t=0=u0,(1)其中:u(x,t)为流体在(x,t)RR30,)处的速度,为流体的压力,u0(x)为初始速度.三维不可压缩N a v i e r-S t o k e s方程(1)是流体力学中的基本动力学方程,其数学研究始于法国科学院院士L e r a y的开创性工作1.在文献1 中,L e r a y证明了当初值属于能量空间时,方程(1)存在整体弱解,该弱解被习惯性地称为L e r a y-H o p f弱解,而L e r a y-H o p f弱解是否正则至今仍是一个公开的问题2-3.研 究L e r a y-H o p f弱 解 的 途 径 之 一 是 给 出 其 正 则 的 充 分 条 件,其 中 的 代 表 性 工 作 是L a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i n准则4-7:如果N a v i e r-S t o k e s方程(1)的L e r a y-H o p f弱解u满足下列两个条件中的任何一个uLp(0,T;Lq(RR3),2p+3q1,q3,=c u r luLp(0,T;Lq(RR3),2p+3q2,q32,(2)则弱解u在(0,T 上是正则的.注意到L a d y z h e n s k a y a-P r o d i-S e r r i n准则(2)是基于L e b e s g u e空间,而L o r e n t z空间比L e b e s g u e空间大且同样满足尺度变换性质f()Lr,s(RRn)=-nrf()Lr,s(RRn).利用热核估计、L o r e n t z空间的性质和能量估计,文献8-1 2 将上述准则(2)改进为uLp,(0,T;Lq,(RR3),uLp,(0,T;Lq,(RR3),2p+3q=1,q3,Lp,(0,T;Lq,(RR3),Lp,(0,T;Lq,(RR3),2p+3q=2,q32,(3)其中:是一个充分小的正数.另一方面,受流体力学中B e l t r a m i流的启发,文献1 3-1 4 利用N a v i e r-S t o k e s方程的旋转形式建立了依赖于旋转项u|和u|u|的正则性准则:如果L e r a y-H o p f弱解满足下列4个条件中的任何一个u|u|Lp(0,T;Lq(RR3),2p+3q=2,32q,u|Lp(0,T;Lq(RR3),2p+3q=1,3q,u|2u2u+Lp,(0,T;Lq,(RR3),2p+3q=1,3q,u|+Lp,(0,T;Lq,(RR3),2p+3q=1,3q|.对于0p,0q,定义fLp,q()=p0qf*()qpd1q,q0f*()1p,q=,则称所有满足条件fLp,q()的可测函数f构成的集合为L o r e n t z空间Lp,q().易知L e b e s g u e空间Lp()=Lp,q(),且当0q时,L,q()=0.2安徽大学学报(自然科学版)第4 7卷类似地,对于0p,q,关于时间变量的L o r e n t z空间Lp,q(0,T;X)定义为:fLp,q(0,T;X)当且仅当fLp,q(0,T;X)qpd1q,q0t(0,T:f(t)X1p,q=,其中:映射f:t0,T)f(t)X为定义在区间0,T)上并取值于B a n a c h空间X中的抽象函数.下面列出L o r e n t z空间的一些常用性质:(a)L o r e n t z空间上的H l d e r不等式1 8f gLr,s()C(r1,r2,s1,s2)fLr1,s1()gLr2,s2(),(5)其中:1r=1r1+1r2,1s=1s1+1s2,0r1,r2,s1,s2.(b)L o r e n t z空间的插值性质1 8若0qp0且1q0,r0,则对所有fLq,q0(RRn)Lr,r0(RRn),有fLp,(RRn)C(q,p,r,)fLq,q0(RRn)f1-Lr,r0(RRn),(6)其中:1p=q+1-r.(c)L o r e n t z空间上的C a l d e r n-Z y g m u n d不等式1 9(-)-12fLp,q(RRn)C(n,p,q)fLp,q(RRn),1p,0q.(7)(d)L o r e n t z空间上的S o b o l e v不等式2 0fLp,q(RRn)C(n,s,p,r,q)sfLr,q(RRn),np=nr-s,1rp,0q.(8)(e)L o r e n t z空间上的G a g l i a r d o-N i r e n b e r g不等式2 0:当1p,p2,q,q1,q2,0q,0sn且1p1ns时,有fLp,q(RRn)C(n,q,q1,p,p1,s)(-)s2f/qLp1,q1(RRn)f(q-)/qLp2,q2(RRn),(9)其中:q1+q-q2=1,1p1-sn+(q-)1p2=qp.1.2 两个引理引理11 1 设是定义于闭区间0,T 上的正可测函数.若存在常数0,使得任意00以及几乎处处t0,T,均成立不等式ddt1-1+2,(1 0)其中:非负函数L1,(0,T)满足L1,(0,T)0,则对所有k0,1,b,c01,存在pk0和m i nq,32+bc0qkm a xq,32+bc0,使得2pk+3qk=,pkqk=p1(1-k)q+c0kb.(1 1)2 主要结果3第4期曲双红,等:N a v i e r-S t o k e s方程基于旋转项在L o r e n t z空间中的正则性准则2.1 两个定理定理1 设(u,)是三维N a v i e r-S t o k e s方程(1)的L e r a y-H o p f弱解,且初值u0(x)L2(RR3)W1,2(RR3)满足不可压缩条件.那么,若存在正常数,使得弱解满足下列两个条件中的任何一个u|2u2u+Lp,(0,T;Lq,(RR3),u|2u2u+Lp,(0,T;Lq,(RR3),(1 2)u|+Lp,(0,T;Lq,(RR3),u|+Lp,(0,T;Lq,(RR3),(1 3)其中:2p+3q=1,3q,则弱解u(x,t)是N a v i e r-S t o k e s方程(1)在(0,T 上的正则解.注意到u|2u2u+u|,所以该定理中的u|2u2u+可替换为u|.这依然是新的正则性准则,改进了(3),(4)中的对应结果.借助嵌入关系Lp,(0,T)Lp,(0,T)(0)以及L o r e n t z空间Lp,(0,T)范数的绝对连续性,可得推论1.推论1 设(u,)是三维N a v i e r-S t o k e s方程(1)的L e r a y-H o p f弱解,且初值u0(X)(RR3)W1,2(RR3)满足不可压缩条件,若成立u|2u2u+或u|+Lp,(0,T;Lq,(RR3),(1 4)其中:2p+3q=1,3q,0,则弱解u(x,t)在(0,T 上是正则的.根据函数空间的嵌入关系LqLq,(q)以及u|u|可知,该推论改进了(2),(3)中的结果.定理2 设(u,)是三维N a v i e r-S t o k e s方程(1)的L e r a y-H o p f弱解,且初值u0(x)L2(RR3)L3(RR3)满足不可压缩条件.若下列两个条件中的任何一个成立u|u|Lp(0,T;Lq