基于Ω-集范畴的内蕴群范畴性质研究_汤建钢.pdf

书书书文章编号：（）基于集范畴的内蕴群范畴性质研究汤建钢，张凯强（四川大学 锦江学院，四川 眉山 ；伊犁师范大学 数学与统计学院，新疆 伊宁 ）摘要：研究基于集范畴的内蕴群范畴的性质，给出内蕴群范畴在集范畴的表示，以及基于集范畴的内蕴群范畴与群范畴之间的同构关系。关键词：内蕴群范畴；集范畴；群范畴；表示定理中图分类号：；文献标识码：引言 年，引入 子群概念之后，标志着 代数研究的开始，之后，代数的研究逐步深入到代数各个分支，对 群，环，域，格，左模，泛代数等的研究陆续展开。为了使 集能够刻划更一般性事物，引入了集合的 子集的概念，集可以理解为在通常集合上赋予了一个 结构，显然，结构是 结构的特例。文 提出以双诱导映射为态射的 群范畴概念，并且讨论了该范畴中的乘积运算，证明了该范畴对乘积运算是封闭的，以及乘积的唯一性和结构，特别是给出了 群范畴中的乘积与经典群范畴中的乘积之间的关系。文 提出 左模范畴概念，证明了该范畴对乘积和上积运算是封闭性，文 讨论了 函子的性质，文 证明了 模的正合序列与同构定理，文 研究了自由 左模的性质，文 研究了自由 左模函子和遗忘 函子的伴随性等问题。文 研究了 左模范畴中的乘积和等值子，证明了 左模范畴是完备的，文 在 左模范畴中，对 左模范畴中的张量积和张量函子进行了研究，文 研究了 左模范畴张量函子的正合性，引入了平坦 左模的概念，研究了张量函子的正合性与 左模的平坦性之间的联系。局部性质与整体性质之间关系是数学研究的中心内容之一，而层结构则是经典数学中从范畴层次处理这两种性质之间关系的经典理论和方法。对于这两种不同需求和不同处理方法，文 ，通过构造其之间的同构关系而证明了它们之间可以相互等价转化，从而使得这两种结构和方法可以同时协调运用于同一数学对象的研究之中。为了使 代数理论的研究更加深入，并且能与现代数学理论建立较好的联系，人们从逻辑，范畴，层，等不同层面研究 集以及各种 代数系统的一些基本问题。文 在范畴层面上建立模糊集理论的数学基础，提出范畴的格值结构，这一结第 卷第期 模糊系统与数学 ，年月 ，收稿日期：；修订日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（；）；年度自治区高校科研计划自然科学重点项目（）作者简介：汤建钢（），男，教授，研究方向：范畴论在模糊理论中的应用。构是集合范畴中 结构在完备范畴中的提升，证明了在集合范畴中的格值结构与 结构是同构的。文 还考虑到以集层、群层、环层和左模层以及 层等概念为基础，提出范畴的层结构概念，以及范畴上层结构提升范畴概念，证明了在集合范畴中的层结构与 结构也是同构的。世纪 年代法国数学家 首先提出了内蕴范畴理论，成为范畴理论研究的重要内容，因而引起了人们的广泛兴趣。内蕴范畴理论发展的另一个动力来自纯数学的若干领域，特别是范畴学家 所做的重要工作，年 在论文中为了使范畴中的对象具有代数结构提出了范畴化的代数理论以及函子化的模型理论，引入了范畴中的内蕴群对象概念，从而进一步揭示了事物的内在特性。内蕴范畴理论是研究范畴中逻辑真实存在的内蕴结构、如代数结构、序结构、拓扑结构、层结构等以及混合结构 。例如群是集合上具有代数结构的数学对象，利用范畴语言，我们可以在具有有限乘积范畴中表达群的代数结构，也就是内蕴群对象。内蕴群对象在不同的范畴中有不同的表示，如在集合范畴中的内蕴群对象就是通常所说的群，在群范畴中的内蕴群对象则是群，拓扑空间范畴中的内蕴群对象就是拓扑群，在 空间范畴中的内蕴群对象就是 群，在 范畴中的内蕴群对象就是范畴化群，而在 范畴中的群对象则是李群等等。基于 ，等的思想，本文研究基于集范畴的内蕴群范畴的性质，给出集范畴，群范畴以及基于集范畴的内蕴群范畴概念。研究群范畴与基于集范畴的内蕴群范畴的关系，讨论群定义中的三个条件与集范畴的内蕴群的运算之间的关系。进一步，引入群范畴与集范畴的内蕴群范畴之间的一对函子，证明了该对函子是互逆的，因此群范畴与基于集范畴的内蕴群范畴同构。预备知识定义 设五元组（，）满足：（）（，）是一个完备格，（）伴随性：对于任意，。则称是一个 ，也称为完备的 代数。用表示中的最大元，用表示中的最小元。并且规定，其中表示空集合。定义 设是一个具有有限乘积的范畴，则范畴具有终对象，用表示，并且用（）表示范畴的对象类，（）表示范畴的态射类。（）中的一个内蕴群对象（，）是一个四元组，其中是范畴中的一个对象，是范畴中的态射，：，：和：，使得下面的图表交换：图图图图模糊系统与数学 年（）设（，），（，）是范畴 中的两个内蕴群对象。一个内蕴群同态：是范畴中一个态射：使得下面图表交换：图图图（）设（，），（，），（，）是范畴中的内蕴群对象，：和：分别是内蕴群同态，则内蕴群同态的复合：定义为范畴中态射的复合：。（）设（，）是中的一个内蕴群对象，将中的单位态射：定义为单位内蕴群同态：。引理 设是一个具有有限乘积的范畴，则以中的内蕴群对象为对象，内蕴群同态为态射可构成一个范畴。称其为范畴的内蕴群范畴，记作 （），称范畴为内蕴群范畴 （）的基范畴。用 表示集合范畴，用 表示单点集，则是集合范畴的终对象，用 表示群范畴，则群范畴 中的终对象为，其中是表示单位元的符号。引理 设 是集合范畴，由于范畴 具有有限乘积，则集合范畴 存在内蕴群范畴 （），并且此范畴同构于通常的群范畴 ，即就是 （）。证明属于验证性的，略。定义设（）是非空集合，（，）是一个 ，映射：称为的一个格序化。注集合的格序化可理解为对中的元素用作为标尺进行排序，也可理解为是定义在上的一个格序结构。例设是某校某班同学的集合，用表示闭区间，则该班中每位同学数学课程的考试成绩可用映射：表示，因此，此时的格序化可以理解为对每位同学数学课程考试成绩的赋分。例设（，）是一个概率空间，则概率测度：，是对事件集的，格序化。例设是一个非空集合，?：，是的一个 子集?的隶属函数，则?是的一个，格序化。例设是一个非空集合，?：是的一个 子集?的格序隶属函数，则?是的一个格序化。例设（，F，）是一个概率空间，其中（，F）是可测空间，是代数F上的测度，则测度：F，是对可测集F的，格序化。用表示的所有格序化的集合，按点态方式定义，容易验证（，）也是一个 ，用，?分别表示它的最小值和最大值，其中（），?（），对任意的都成立。定义设（），并且满足正规性，即存在使得（），则称偶序（，）为集合。定义设（，），（，），（，）是集合。第期汤建钢，张凯强：基于集范畴的内蕴群范畴性质研究（）若映射：满足，则称是由（，）到（，）的集映射。（）设：（，）（，），：（，）（，），则集映射的复合：（，）（，）定义为通常映射的复合：。（）设（，）是一个集合，其单位集映射（，）。注这里的 等价于对于任意的有（）（）。定义以集合作为对象，集映射作为态射，构成一个范畴，称为集范畴，记作 （）。注.集范畴 （）的终对象记作（，?），其中为集范畴 中的终对象，即为单点集，为方便起见，集范畴 （）的终对象也可用表示。注集合上的 结构，结构，概率赋值，实变函数中的测度等均是对该集合元素的格序化。格序化在逻辑理论层面的赋值域是一个真值集，该真值域是具有逻辑结构的 ；概率理论层面事件的赋值域是区间，该区间本身具有内蕴格值结构；分析理论层面可测集的赋值域是区间，。集合是被格序化的集合，也是被赋予格值结构的数学对象，其构成的范畴被称为集范畴。引理设（，）（），则（，），是诸（，）在集范畴 （）中的乘积，当且仅当：（），是诸在集范畴 中的乘积；（）。引理设（，）（），令 ；，具体地，（）（）（），；：，（），则（，），是诸（，）在集范畴 （）中的乘积。设，（）是非空集合，：（）是一个映射，利用 的扩张原理，我们可以诱导出个映射：，对于任意，：（）（）（）（），；：，对于任意，：（）（）（），即就是，（）。不难验证，：与：是范畴层面的一对伴随关系，即就是，对于任意，（）当且仅当（）。一般地，设（，）（），（，）（）是集合，：（）是一个集映射，利用 的扩张原理，我们可以诱导出个映射：（，）（，），对于任意；（）（）（）（，），根据引理，即就是（）（）（）（，）（，），。：（，）（，），对于任意：（）（，）（，），即就是，（）。不难验证，：（，）（，）与：（，）（，）是范畴层面的一对伴随关系，模糊系统与数学 年即对于任意，（）当且仅当（）。定义设是一个群，是一个 ，：是一个映射，满足：（）正规性：（），其中是群的单位元，是中的最大值；（）乘法运算结果优先性：对于任意的，（）（）（）；（）求逆运算结果优先性：对于任意的，（）（），则称是的序化，偶序（，）称为群。定义设（，），（，）是两个群，若群同态：满足，则称是由（，）到（，）的群同态，记作：（，）（，）。不难验证，以群为对象，群同态作为态射，可以构成一个范畴，此范畴称为群范畴，记作 （）。群范畴 （）的终对象记作（，?）。注群是被赋予格值结构的群，具体地，群是在集合上先赋予群结构再赋予格值结构的数学对象，在对群的元素格序化的同时要求满足正规性，乘法运算结果优先性以及求逆运算结果优先性三个条件，其构成的范畴被称为群范畴。集范畴中的内蕴群对象则是在集合上先赋予格值结构再赋予群结构的数学对象，该数学对象构成的范畴被称为集范畴的内蕴群范畴。主要结论定义 设是一个具有有限乘积的范畴，（）是范畴中的终对象，（）是范畴中的任意对象。我们称态射：为范畴中的元运算，称态射：为范畴中的元运算，称态射：为范畴中的元运算。一般地，称态射：为范畴中的元运算。定理设 是集范畴，（）是集范畴，（，）（），则下列命题等价：（）：（，?）（，）是集范畴 （）中的元运算；（）：是集范畴 中的元运算，并且（?）；（）：是集范畴 中的元运算，并且?。证明（）（）：由于：（，?）（，）是集范畴 （）中的元运算，所以：（，?）（，）是集映射，故：是集映射，并且（?），于是，：是集范畴 中的元运算，并且（?）。（）（）：由于：是集范畴 中的元运算，并且，（?），再根据与是一对伴随，故（?）当且仅当?，由此可知，：是集范畴 中的元运算，并且?。（）（）：由于：是集范畴 中的元运算，并且?，所以：是集映射，并且?，于是：（，?）（，）是集映射，故：（，?）（，）是集范畴 （）中的元运算。定理设 是集范畴，（）是集范畴，（，）（），则下列命题等价：（）：（，）（，）是集范畴 （）中的元运算；（）：是集范畴 中的元运算，并且，（）；（）：是集范畴 中的元运算，并且，。证明（）（）：由于：（，）（，）是集范畴 （）中的元运算，所以：（，）（，）是集映射，故：是集映射，并且（），于是，：是集范畴 中的元运算，并且（）。第期汤建钢，张凯强：基于集范畴的内蕴群范畴性质研究（）（）：由于：是集范畴 中的元运算，并且，（），再根据与是一对伴随，故（）当且仅当，由此可知，：是集范畴 中的元运算，并且。（）（）：由于：是集范畴 中的元运算，并且，所以：是集映射，并且，于是：（，）（，）是集映射，故：（，）（，）是集范畴 （）中的元运算。定理设 是集范畴，（）是集范畴，（，）（），则下列命题等价：（）：（，）（，）（，）是集范畴 （）中的元运算；（）：是集范畴 中的元运算，并且，（）；（）：是集范畴 中的元运算，并且，。证明注意到（，）（，）（，），故证明类似于定理，略。一般地，我们有：定理设 是集范畴，（）是集范畴，（，）（），则下列命题等价：（）：（，）（，）是集范畴 （）中的 元运算；（）：是集范畴 中的元运算，并且，（）；（）：是集范畴 中的元运算，并且，。证明由于（，）（，），证明类似于定理，略。注定理讨论了集合范畴 中的元运算与集范畴 （）中的元运算之间的关系，定理结果说明：集合范畴 中的 元运算：是集范畴 （）中的 元运算：（，）（，）当且仅当序化：对的运算结果优先，即。可以这样说，运算结果优先成为集合范畴中的运算是集合范畴中的运算的相容性条件。定理 （）（）。证明即证明存在函子：（）（）和函子：（）（），使得 （），并且 （），于是集范畴 （）的内蕴群范畴