H_α-∞到H_β-∞复合算子的线性组合_张利.pdf

数学年刊辑，（）：到复合算子的线性组合张利提要设是维复空间中 的开单位球，为？上的解析自映射，表示定义在单位球上的加权解析函数空间本 文主要研究的是从空间丑到丑上的复合算子线性组合；的 紧致性，其中，是非零常数另外，根据紧致性等 价条 件，得出算子 差士对（）（是紧致的当且仅当与都是紧致的算子关键词复合算子，线性组合，抵消性（）主题分类，中图法分类 文献标志码文章编号（）引言设（彡）为维复空间，其上可以定义内积（，），其中（，）卜，）的模长为卜（，）？仁（勿，）：为中的开单位球特别的，当时，用代替？（）表示定义在？上的全体解析函数构成的空间加权的解析函数空间丑（）是由满足（）（）的所有解析函数构成的空间在范数下是一个空间设（列，）为单位球上的解析自映射，由诱导的复合算子定义为（）（）（），设（，）为个非零常数，复合算子线性组合定义为：（过去的几十年，众多函数空间上复合算子的性质被广泛研究，参见文本 文 年月日收到，年月日收到修 改稿南阳师范学院，河南 南阳 ：本文受到南阳师范学院自然科学基金（）的资助 数学年刊辑卷和丨给出了定义在？，空间上复合算子线性组合紧致性的完备描述，和！】研究了空间（）上复合算子线性组合紧致性的等价条件和】则 给出了（）与丑空间上复合算子线性组合紧致性一个新的判别准则江和欧阳得出在空间丑（？）以及空间（）（）上复合算子线性组合紧致的必要条件本文中，我们将在，）是到有界算子的情形下，讨论算子：紧致性的等价条件另外，在文中，作者提出如下差分对紧致抵消性问题：当（和丨都不是紧致算子时，（）（）能否是紧致的算子？并证明了在加权空间上非 紧致性不能经过差分后抵消而根据文中的推论，也可以得出在空间中复合算子差分的非 紧致性也不能通过差分抵消，这些相关的研究促使我们讨论定义在到丑空间的相关算子会出现什么情况？根据文中结论，可得是到丑上的有界算子当且仅当（），是紧致的算子当且仅当（吣？）产，沪）？如果是非 紧算子，则 可以找到一个点列？，满足￥？）且（咖）？（）（）当时，总是紧算子，另外由文中推论可得，当？时，也总是紧算子因此本文中总是假设，另外，做出如 下约定：表示一个正常数，且其数值在不同位置出现时可以是不同的预备知识首先介绍单位球上的解析自同构 映射，类似于圆盘自同构（取），其中设是？中一点，问是由生成的子空间，则到问的投影 映射为，）（，），而凡是到正交补 空间的投影映射定义解析自同构 映射）（）（），）？，其中当时，定义显然 么也是闭单位球面上的自同构映射，另外有么（），？！（）张利到复合算子的线性组合期取中两点和，定义和之间的伪双曲距离为（，）容易验证（，）（）（）对于的解析自映射的用表示）（）由式子（）可得仏有界等价于设列，（彡）是的个不同解析自映射，用表示满足条件（）（）的点列？构成的集合，其中条件为（）当）？时，？，其中；（）对任意的，料（？）都是收敛的点列；（）对任意的，？，咖？）都是收敛的 点列；（）对任意的，（？）是收敛的数歹，其中（？）（外（？），朽（？）给定一个点列？以及参数，定义如 下集合：（），：，）；这里所有的极限都是当？时，右，则一定存在子列之叫，？两足？右，？，由距离的三角不等式可以推出厶？与？要么相同要么无交？如果？，则？，因此有如 下表示形式：心之打？加之几，其中“”表示无交并运算设（仰）表示的子集，且满足（）：由式子（）易知是紧致算子等价于（仰）下面的引理是证明算子紧致性的重要准则，其证明思想类似于文中的命题 引理线性算子：是紧致的当且仅当：是有界的，且对中的任意在上内闭一致收敛到的有界函数列？，都有（）根据文中 引理，可得如下引理引理数学年刊辑卷引理丨引理】设，则（）（），）复合算子线性组合本节中，我们将讨论复合算子线性组合的紧致性问题首先假定（，）是有界的，则也是有界的定理下述条件是等价的：（）：是紧致的（）点列？且满足，则当？时，有（）对任意，满足（灼）以及？（灼），有入证今（）：设？，？，则）为了证明的方便，记之，接下来证明假设（）？（）（）（）？（？）（朽（？）显然有，且？在上内闭一致收敛于零因此根据引理可得 张利到复合算子的线性组合 期因此（）（）（）（）：（）（外（？）钇（？（）（）（）？当时，存在常数，满足仍（）因此当时，？（抑（），从而？当八时，有：入（之）则（）？综上我们有如下等式：（）（？（）若，则（？），根据引理，可知（仍（之？）？（讲（之？）（）（）另外）灼（？）（），（）灼（）（朽（）产，）（朽（？）数学年刊辑卷故有（）（）（）（）？巧？）（朽（？）？（朽（？）？：（？），）合，渐义可推出！？从而切（？）（）今（）：设，且满足（朽），假设点列？属于（灼），则，且？当时，有）由引理可知（？），（咖）户因此根据条件间，得）？（）又（），所以（）冷：假设是非紧致的？由引理得，存在函数列？把，满足？且？在？上内闭一致收敛到，但对每个，总有？（，即（）因此，对每个总可以找到一个点？，满足（？（）（？以咖）（）（）？由于有界，？在？上内闭一致收敛到，则存在某个，？，及子点列？满足对所有的，有（）（），因此（）（）（）期张利到复合算子的线性组合不妨假设？，则？又可以表示成，从而切（、）（妁（、）”“灼（、）。当时，对于充分大的，由引理得（）（！（）（）又因为，则（）另一方面，对于，若（，根据条件（）可推出若多（），则（、）因此有（），这与式子（）矛盾，从而条件（）成立根据上述定理，可以得出两个复合算子差分紧致性的等价条件推论仏是丑到上的有界算子当且仅当对所有的，下述条件成立：（）当列（？）时，有（？（知）；（）当？（？）时，有？证假设是紧致的，仅需要证明成立设且列（）若，（），则由的有界性可得，（）？，（）若，（：）六，则，根据定理的条件间可得（），因此，：）假设条件和（）成立设？且满足若，则？，由定理可知，因此（？）（？）？若￥）？，（）户，则？且此时（）和意味着（）（）数学年刊辑卷从而定理条件（）成立，故有仏为紧算子接下来，我们探讨差分对紧致抵消性问题定理假设人，并且对，的任何非空真子集，有乙笋，则是到紧算子的充要条件为对任意的（），都有（是紧致旮证假设是紧算子对任意的？，且，设？，当丨料（？）时，有（？）或（？）？若（？），显然（？）？（？）？若（？），则？（仍），根据定理条件间，可得）？由定理假设条件可知？，从而，同样可以得出？因此推论的条件成立类似可证推论的条件（）成立，故有是紧致的假设对任意的，且，有是紧致的算子？因为：，所以因此（）是紧致的推论算子（）是到丑的紧致算子当且仅当（与都是紧致算子当（，）都是有界算子时，上述推论意味着：若算子与是到呼的非 紧算子，则（）（）也是非 紧的算子根据文中的推论，可知复合算子在丑上总是有界的，则在丑空间上非 紧的差分对再做差分，非 紧性是无法抵消 的若（，）满足定理的假设，且是紧致的，贝同时紧或非紧？定理算子（是到的紧算子当且仅当（沪）（？）且对任意的点列？（妁）及每个，有，）证分两种情形证明期张利到复合算子的线性组合情形：都是非 紧的必要性：首先，证明（灼）厂（灼），其中属于，且？由于非紧，则（不是空集设？（？）则由定理条件（）推出？为，乃？为，然而当厶时，这两个集合应该相同，这与笋矛盾，因此（）（）其次，证明（？）（？）（？）对任意点列（灼），由定理条件（）推出存在一个固定的，满足！，？则，），再根据引理，有（）因此）再次，证明（）（？）在此仅需要证明对每个，有（妁）（）对点列？（灼），由于只能是，所以，（？）且因此（？）故对，及任意点列？（灼），有（）（）（？），以及，）充分性：由于（？）（）（），数学年刊辑卷则当？（列）时，存在唯一的，满足（）（）因此，（）故，再根据定理，是紧致当？（讲）时，其中，有（），也可得出是紧致的情形：中有紧算子用表示集合，必要性：若是紧的，则以仍），考虑算子，其仍是紧算子定理中的条件（）意味着所有的 都是紧的因此当时，（），从而结论成立？若非紧，但是存在的子集满足化心）是紧的，（）是非 紧的则（朽），考虑算子显然有穸是紧的，因此根据情形，有（）（）（），且对及任意点列），有，（）？充分性：若（仍），则（仰），都是空集，因此都是紧致的从而也是紧的若（列），则存在的子集，满足对任意的，（料），（仍）（内）且（？）对任意点列？（朽）都成立因此根据情形，可以得到算子期张利到复合算子的线性组合是紧致的从而是紧致的注当时，定理与推论是等价的致谢感谢审稿人对论文初稿的仔细 审阅，同时，作者对编辑老师表示由衷的感谢参考文献，：，：，：，：，（）：，（）：，：，：，（）：，：，（）：，：数学年刊辑卷，？，：，：，（），：，？，（，（）（），