具有结构阻尼的Kirchh...波方程的时间依赖全局吸引子_汪璇.pdf

数学年刊辑，（）：具有 结 构阻尼的型波方程的时间依赖全局吸引子汪璇田凯鸿提要本文讨论了具有结构阻尼的型波方程：）（）（）（），（）解的适定性和长时间行为当非线性项的增 长指数满足时，借助逼近方法和渐近正则估计，得到了解的适定性和正则性继而利用收缩函数方法验证解过程的渐近紧性最终证明 了时间依赖全局吸引子在自然能 量空间中 的 的存在性关键词 型波方程，时间依赖吸引子，结构阻尼，正则性（）主题分类 ，中图法分类 文献标志码文章编号（）引言设是中具有光滑边界的开集本文考虑了如下型波方程：（）（）（），），），（），（，）（），（，）（），（）其中未知函数：，）？，（，（；）：）？为方程对应初值时间依赖系数和非线性函数，满足如 下假设：（）为单调递减有界函数并且满足（）特别地，存在常数，使得（）！（）（），（），（）本文 年月日收到，年月日收到修改稿通信作者西北师范大学，数学与统计学院，兰州 ：西北师范大学，数学与统计学院，兰州：本文受到国家自然科学基金（，）的资助数学年刊辑卷并且？（）（）（）（），（）对于任意的，满足耗散型条件：，（）？以及増长型条件（）（），彡彡；，（）其中常数，并且为算子在边界条件下的第一特征值（）（）（）（，）祀满足（，）祀彡？注根据假设（）中的（）和（）中的（）可知，存在一个常数你，满足，使得）彡（）（），（）（）（），（），），（）（），成立，其中（）（）注根据假设（）中的（）可知，存在一个正常数，使得当？朽时，有（）（），若，），若彡）成立方程（）来源于可拉伸 弦振动系统，它具有深刻的数学物理背景 年在文中研究了可拉伸弦的振动行为，并建立了如 下模型：，（）其中：，未知函数（：，）表示关于空间；和时间的横向位移并且，五表示杨氏模量，表示质量密度，表示横截面积，表示长度，表示初始轴向拉力，表示外力项相对于经典的波方程，此类方程更清楚准确地描述了可拉伸弦的振动问题在振动过程中，由于振动系统本身固有的原因或者与外界相互作用的因汪璇田凯鸿具有结构阻尼 的型波方程的时间依赖全局吸引子期素引起振动逐渐下降的现象，称之 为阻尼为此，尼的可拉伸弦非线性振动的模型：在文中建立了描述具有弱阻（）其中是阻尼系数如果弦和杆由依赖于速度的黏弹性材料构 成，那么在振动过程中会出现强 阻尼，即（见）需要强调的是强 阻尼的强弱不仅依赖张力而且还依赖于张力的变化率除了强 阻尼和 弱阻尼之外，还有一种阻尼称为结构阻尼，或者称为分数阻尼，即（）、，结构阻尼主要由材料的内摩擦力与介质的相互作用引起的，其耗散性介于弱阻尼和 强阻尼之间由于具有结构阻尼的方程拥有实际应用背景和应用前景，从而引起了许多学者的研究兴趣，由此涌现出大量关于该模型的研究成果（见及其相关文献）如果时间依赖系数（，非局部项系数函数，阻尼耗散指数或者，则方程（）为弱阻尼或者强 阻尼波方程关于此模型，当非线性项满足次临界増长或者临界増 长时，等人在文 中讨论了解的适定性和长时间动力学行为而对于带有结构阻尼的波方程，当时，在文中探讨了方程（）在非 线性项次临界増长 时吸引子及指数吸引子的存在性；当时，在文中研究了具有临界非线性项的波方程解的渐近性态，并得到了全局指数吸引子的存在性；当时，杨志坚等人在文间中讨论了具有超临界非线性项的波方程解的适定性和渐近性值得注意的是，如果方程（）中包含时间依赖系数，并且为在无穷远处趋于零时的有界单调递减函数，那么问题（）（）将变得更加有趣与复杂因为此时能量泛函）（，）（，）：，其中（）的耗散性限制了通常意义上的吸收集的存在性，即相空间的有界集吸收了一定时间段后的所有轨道为了解决此问题，在文中，等人在拉回吸引性及最小性的基础上提出了时间依赖吸引子的概念，并且建立了时间依赖吸引子理论在此理论基础上，在文中，作者讨论了耗散型发展方程的解在时间依赖空间 中的渐近性态尤其关于带有结构阻尼和次临界增 长源项的波方程，当时，在文中，马巧珍等人证明 了时间依赖吸引子的存在性与正则性据我们所知，关于时的带有结构阻尼的型波方程的解在 时间依赖空间中的长时间动力学行为还尚未有人研究与此同时，方程中所包含的结构阻尼项，非线性项和 型非局部项给解的耗散性估计、有界吸收集的存在性以及解过程的渐近紧性验证带来了本质性困难对于这些困难，通过运用渐近正则估计技术、收缩函数的方法和时间依赖吸引子理论，我们攻克了这些技术性难题，并且证明了 问题（）（）解的适定性与正则性以及在空间丑纟（卬中的连续性、进而验证了过程数学年刊辑卷的渐近紧性最后证明 了问题（）（）的时间依赖全局吸引子在空间）中的存在性记号及预备结果本节主要介绍将用 到的记号，函数空间和一些预备结果下面将使用文中的记号，并设，定义域为丑）丑（）考虑空间族？），并且赋予它们相应的内积和 范数：，一）？，丨丨（岣丨丨，丨丨，其中？，？和分别表示仰中的内积和范数为了使用方便，我们引入记号，记（），内积和 范数分别表示为：（，），（；），则），？），？（）应用 嵌入定理，可得紧嵌入：当时，（）以及连续嵌入（）同时，不等式；（）？￥亦成立因此，问题（）（）可以写成以下形式：（）（）（）（），（，），），（），（，）（），（，）（），（）其中定义希尔伯特空间族？，并且赋予相应的 的内积和范数（），（），（）（）（）特别地，当？时，希尔伯特空间族？定义如下：），（）汪璇田凯鸿具有结构阻尼 的型波方程的时间依赖全局吸引子 期其内积和范数如 下：）？（）？）（），当时，希尔伯特空间族宄定义如 下：其内积和范数为：），）（）（）？此外，当办时，为了做解的渐近正则估计，我们将使用以下抽象结果引理如果为有界序列并且分（）为单调函数，那么）（）￥（）（）（）弓丨理】设，和为三个空间对于，如果并且（，）（，），（，）（），那么（，），（，）我们将回顾以下概念和一些抽象结果，它们将用 于解在 时间依赖空间的长 时间动力学行为研究定义】设是一族赋范空间，称双参数算子族）：，是一个过程，如果对任意的，（）（，）是上的恒等算子；（）对任意的和任意的彡彡，（，）（，）（，？）？设是一族赋范空间对每一个，定义的？球为（？）仁？（，）表示 为从集合到集合石的半距离，即（，）定义如果存在常数？，使得，则称有界集的集合族：是一致有界的数学年刊辑卷定义如果对任意的办，存在常数，使得（，）（），则称一致有界集族（？）是过程（，）的时间依赖吸收集如果过程拥有一个时间依赖吸收集，那么称过程是耗散的定义】最小族称为过程（，）的时间依赖吸引子，如果满足：（）每个次在中是紧的；（）是拉回吸引的，即它是一致有界的，并且对于每个一致有界族：和每个，极限（），）？成立定理如果过程（，）是渐近紧的，即集合？（只私每个私在中紧，只拉回吸引是非空的，那么时间依赖吸引子存在且唯一，并且它与（人致引理如果过程（？，？）是渐近紧的，那么它是拉回渐近紧的定义 设是一族空间，并且：（山是的一族一致有界子集我们称定义在上的函数￥丨，为上的收缩函数，如果对任意固定的和任意的序列，存在子序列，使（？，：！），我们 用（）表示（上收缩函数的集合定理设（，）是山上的过程，并且设它拥有一个拉回吸收集？（？）？如果对任意的，存在子序列，蚪（只），使得对任意固定的，）（，）￥（：，），（），那么（？，？）是拉回渐近紧的定理设（，）为作用于空间族的过程则（？，？）拥有时间依赖全局吸引子满足木（，）（），当且仅当（）（）拥有拉回吸收集族？（佝）娜；（）（，）是拉回渐近紧的期汪璇田凯鸿具有结构阻尼 的型波方程的时间依赖全局吸引子定义，叫函数 并且見称为过程（，）的一个完全有界轨道（），当且仅当（）（）；（）（）定义，如果对所有的有（，）则称时间依赖吸引子 是不变的定理，如果过程（）的时间依赖吸引子山是不变的，那么它与过程的所有集合一致，即，是过程（，）的解的适定性与正则性首先，我们对问题（）（）的解作出如 下定义定义对于，如果，），（；）（，；），并？两足），），），）（），）（），），且则称二元组（，汰）是问题（）（）在区间，上的一个弱解定理如果（）成立，那么对每一个且（，），问题（）（）存在弱解（，汍）（，；祀）（，；），并且（卜，；）（，；），满足（）（）（）厂义（）久如（）（，），（）进一步，解还满足下列性质：（）（耗散性）存在一个独立于（）的正常数使得（，），（），（）其中（？），并且（？）为依赖于正常数？的时刻（）（能量等式）对每一个下列 能量等式（），（）（）（），（）（）数学年刊辑卷成立，其中（），（）（）（）（）（），），（）（）（）（在弱拓扑空间 中的稳定性）解（，汰）在空间中是连续的，艮）（）（？（）（）（）（）（）（）其中歹奶，并且沾（，）是问题（）（）分别对应于初值（。，）（，）的两个弱解并且（？，（，（，），（，）（）（时的全局正则性）对任意的当时，或当时），（，）（，；）（，；（）满足疒（）（久）如（）？）：内：如（：；、（）（）（）与此同时，满足（，；）（，；）（）（）（）（）（）（）（）（）（、（）（）（）（）（）（）（，、，却灿叫”心成）（一）（）（）汪璇田凯鸿具有结构阻尼 的型波方程的时间依赖全局吸引子期（）（）（）、（）（）其中（，），（？，（，），（？，（，），（，），（，）证我们将分五步证明定理第一步证明能量等式（）将（）与战取内积，得到（。（）（），），）对上式在，上积分，可得（）成立？第二步证明（）成立？由于，可知（），（）（），），），事实上，根据积分中值定理和（），可得（）（）（）？，？其中卜？由（）中的（）和 紧嵌入可得（），）（）？）由（），可知（，）（）（）（）（）因此（，）？（）（），）（），）（）？）？入数学年刊辑卷（）？）其中。，（托出财（）誓，（表故（）成立由注，可知（）（）（）（）（）（）（）？（）（）由估计（）（），可知（），（）（），（）（，（），（）其中，爭，（）根据（）和（），可得（）（，（），（）运用嵌入告（印守和方程（），可得（）（）（，）（？（）（）（）（，）（）？（）（），）（）将（）式与、作内积，可得），），）（），）（）（，）（）利 用假设（）可知）下面，分别处理（）式的每一项如，如令如的，）（），（），（）（，）（，），汪璇田凯鸿具有结构阻尼 的型波方程的时间依赖全局吸引子期（）？）（）？，），別，）（，（，（，），其中彡将上述估计代入（），得到去（，）导彡如￥（？，卢，（，）因此，）冲（，；，）如￥，）利 用嵌入和（），可得（）（）缚二）（？）（？，），因此，（卜，；），并且（）（）？）（）（，）（），）（）（）再根据（）和（），可得）由（），（）（），（）（），可得估计（）（）（）（）数学年刊辑卷第三步证明 问题（）的解在空间（，；？）中的存在性设（，）是问题（）（）的解易知估计（）对逼近序列枷成立？因此，存在二元组（，細）（，；）和）（，），使得（，？）在（，；）中弱收敛于（），（？，？）在（，；）中弱收敛于（，），？在（，；）中弱收敛于硿如在（，；）中弱收敛于硿应用引理，可得：当？：？时，（？，在（，；）中收敛于（，），上收敛于，且？（；，）在，中几乎处处收敛于（；，），（）如？在：？；）中收敛于細，（知）在中收敛于因此，！，（？（）？）（）？）（，（）（？（）（）（）（）？，）（）（）对于任意的（），（）（），），（）（）（，）（），）（，）（？（）（）（）（）（）（）此外，对于任意的可得汪璇田凯鸿具有结构阻尼 的型波方程的时间依赖全局吸引子期（，（）（）？综上所述，可得函数（，汰）是问题（）（）的弱解并且满足估计（）下面我们将证明 问题（）（）的解（，如）（卜，了；祀）由于（以，决以）（卜，；）门【（，；抝），可知（以，战以）（卜，；？）且，細）祀（），細）和对于任意的，根据（）可知（），（）（），（）（）根据（），当时，可得（；，）（；，）：应用引理，注和引理，可得（，（），（），（，細）（），細）心，？（）（）？（）？（），（）（）（）（）（）（）（）（）（）（），（）（）由上述估计和（），有？（）（）