２０２３年５月重庆师范大学学报（自然科学版）Ｍａｙ２０２３第４０卷第３期ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｏｎｇｑｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．３ＤＯＩ：１０．１１７２１／ｃｑｎｕｊ２０２３０３０３Φ－ｗ－平坦模与非诣零ｗ－凝聚环＊张晓磊（山东理工大学数学与统计学院，山东淄博２５５０００）摘要：【目的】为了研究非诣零ｗ－凝聚环的理想理论刻画和模理论刻画。【方法】引入并研究了Φ－ｗ－平坦模，并证明了Φ－ｗ－平坦模类是盖类。【结果】类似于经典的凝聚环刻画，给出了非诣零ｗ－凝聚环的理想理论刻画和模理论刻画。【结论】非诣零ｗ－凝聚环是ｗ－算子中非常值得研究的Φ－环。关键词：余挠理论；Φ－ｗ－平坦模；非诣零ｗ－凝聚环中图分类号：Ｏ１５４．２文献标志码：Ａ文章编号：１６７２－６６９３（２０２３）０３－０１２２－０７在本文中，Ｒ是有单位元的交换环。将Ｒ的诣零根记为Ｎｉｌ（Ｒ），Ｒ的零因子元素集合记为Ｚ（Ｒ）。如果Ｎｉｌ（Ｒ）是一个素理想，则称Ｒ为ＮＰ－环。记Ｈ＝｛Ｒ是一个交换环并且对任意ｘＮｉｌ（Ｒ），都有Ｎｉｌ（Ｒ）（ｘ）｝。设Ｒ是ＮＰ－环，如果Ｒ∈Ｈ，则称Ｒ是Φ－环。更进一步，如果Ｚ（Ｒ）＝Ｎｉｌ（Ｒ），则称Φ－环Ｒ是强Φ－环。Φ－环是整环的自然延伸，许多代数学家将整环的相关概念推广到Φ－环上。本世纪初，Ｂａｄａｗｉ等人［１－３］研究了Φ－链环和Φ－伪赋值环；Ｂａｄａｗｉ［４－６］将经典的Ｐｒüｆｅｒ整环、伪赋值整环、Ｂｅｚｏｕｔ整环和强Ｍｏｒｉ整环推广到Φ－环上；Ｂａｄａｗｉ［７］引进和研究了非诣零诺特环。２０１３年，Ｚｈａｏ等人［８］引进了Φ－平坦模类和Φ－ＶＮ正则环等相关概念。２０１６年，Ｂａｃｅｍ等人［３］给出了非诣零凝聚环和Φ－凝聚环的概念。最近，张晓磊等人［９］利用余挠理论研究了Φ－平坦模类的盖包性质，证明了对于任意Φ－环Ｒ，Φ－平坦模类都是盖类；Φ－平坦模类是预包类当且仅当Φ－环Ｒ是非诣零凝聚环。１９９７年，王芳贵等人［１０］引入并研究了强Ｍｏｒｉ整环（简称为ＳＭ整环）上的ｗ－模。直到２０１１年，尹华玉等人［１１］将强Ｍｏｒｉ整环推广到一般交换环上，并称之为ｗ－诺特环。对于整环情形，ｗ－平坦模首先出现在文献［１２］中。王芳贵等人［１３］将ｗ－平坦模推广到一般交换环上。２０１２年，Ｋｉｍ等人［１４］引入了Φ－Ｓ...
