2023年第2期第41卷（总第223期）NO.2，2023Vol.41GeneralNo.223贵州工程应用技术学院学报JOURNALOFGUIZHOUUNIVERSITYOFENGINEERINGSCIENCEŁukasiewiczukasiewicz命题演算形式系统公理独立性证明命题演算形式系统公理独立性证明宋伟(湖北大学哲学学院，湖北武汉430062)收稿日期：2022-04-25作者简介：宋伟（1973-），男，安徽临泉人，哲学博士，湖北大学哲学学院副教授。研究方向：逻辑史与逻辑哲学。摘要：在有关Łukasiewicz命题演算形式系统的公理独立性证明中，一种常见的做法是直接运用模型论的方法构造出若干三值模型来表明各公理的独立性。不过，这种做法既没有详细解释构造这些三值模型的原因和依据，也没有系统说明构造这些三值模型的过程和方法。实际上，一种直观而自然的思考进路完全可以弥补上述做法的不足。关键词：命题演算；形式系统；公理；独立性中图分类号：B81文献标识码：A文章编号：2096-0239（2023）02-0057-08许多数理逻辑教科书在讨论Łukasiewicz命题演算形式系统的公理独立性时，常常都是运用模型论的证明方法直接给出一些三值模型来表明公理之间的独立性，并且常常在构造模型时即使对于同一系统也不断变换指派给公理和推论规则的指定值（designatedvalue），因而显得有些随意和凌乱。如，在亨特(Hunter)的《元逻辑：标准一阶逻辑的元理论导论》中[1]、在门德尔森（Mendelson）的《数理逻辑导论》中[2]，由于相关的讨论没有系统而详细地解释其中所给出的三值模型的具体构造思路和构造方法，给人一种似乎全凭随机猜想和试错、仅靠灵感来寻求答案的感觉，所以常常令初学者颇为困惑，不知为什么在证明这些公理的独立性时一定要构造三值模型而不是二值模型？三值模型的构造有无可遵循的思路或方法？其背后有什么样的机制和关联？这里就来尝试解答一下这些问题，希望能为初学者消除一些困惑。一这里所考虑的Łukasiewicz命题演算形式系统（以下简称为系统L），包含有如下三个公理模式(L1)、(L2)、(L3)和一个推论规则modusponens（即分离规则，通常缩写为MP）：[3](L1)(A→(B→A))(L2)((A→(B→C))→((A→B)→(A→C)))(L3)(((~A)→(~B))→(B→A))MPA,A→BLB其中的A、B、C表示系统L的任意公式。现在，如何证明(L1)、(L2)和(L3)的独立性呢？直观上看，(L3)比(L1)和(L2)在语形上更为独特，即多了一个在后两者中并无直接出现的符号“~”，从而先从证明(L3)的独立性入手似乎就成了一个非常自然的想法。这里不妨将这一想法的出现称为...
