具有Markov切换的随机多群体SIRI动力学行为_邓涵.pdf

2 0 2 3年5月重庆师范大学学报(自然科学版)M a y2 0 2 3第4 0卷 第3期J o u r n a l o fC h o n g q i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c e)V o l.4 0 N o.3 D O I:1 0.1 1 7 2 1/c q n u j 2 0 2 3 0 3 1 5具有M a r k o v切换的随机多群体S I R I动力学行为*邓 涵,张志成,杨志春(重庆师范大学 数学科学学院,重庆4 0 1 3 3 1)摘要:【目的】研究一类具有M a r k o v切换的随机多群体S I R I模型。【方法】首先利用随机微分方程的基本理论给出模型解是正的、存在的、唯一的。再通过构造一些适当的新的L y a p u n o v函数,利用图论知识和不等式放缩技巧,获得了该传染病模型灭绝和持久的充分条件。【结果】得到该随机系统正解的存在唯一性,同时获得了疾病灭绝和在均值意义下持久的充分条件,得到了没有随机干扰时模型的阈值。【结论】通过分析可知调节系统的参数,即可以采取某些策略来调节疾病的动态,抑制疾病的爆发。关键词:多群体S I R I传染病模型;灭绝性;持久性;M a r k o v切换中图分类号:O 1 7 5文献标志码:A 文章编号:1 6 7 2-6 6 9 3(2 0 2 3)0 3-0 0 8 6-0 8由于传染病的流行对社会、经济的负面影响较大,因此为了有效防控传染病,有必要对传染病发病机理和传染规律进行深入研究。数学建模是研究传染病传播和控制的重要工具,传染病模型在其中扮演着非常重要的角色,传染病模型的研究分析能为研究者提供有效的参考。1 9 9 0年,T u d o r1首次提出了具有复发性的S I R I传染病数学模型,该模型适用于对肺结核、猪伪狂犬病的研究2-3,然而T u d o r在文中指出确定性传染病模型的缺陷是未考虑到传染病暴发过程中的随机性,这促使大部分学者对随机性传染病模型进行研究4-8。L e i等人4首次研究了随机S I R I传染病模型,得到了该模型的动力学行为;L i u等人5研究了随机S I R I的传染病模型,获得了白噪声强度对于疾病的影响。大多数传染病数学模型只考虑了单个群体的情况,但事实上地理环境的不同会造成病毒宿主的差异性。因此,将病毒宿主分成不同的群体,进而研究多群体的传染病模型就显得更为重要。目前,已有部分学者研究了多群体的传染病模型9-1 1。文献9 就首次提出了多群体S I S传染病模型,并用来研究淋病的传播,得到了地方病平衡点的稳定性。现实生活中的随机扰动(如环境噪音)会对感染率、死亡率等参数产生不同的影响,从而改变传染病的动力学行为。在现实生活中,随机噪声可以划分为白色噪声和有色噪声,其中白色噪声可以用布朗运动来描述,而有色噪音可以用M a r k o v链和L e v y随机过程来描述。特别地,流行病模型很有可能会受到有色噪声的干扰,而这可能会导致系统从一种环境状态切换到另一种环境状态。因此,考虑在随机M a r k o v干扰因素下的传染病数学模型,并且分析随机干扰对模型动力学行为的影响非常重要。基于上述分析,本文考虑了一类具有M a r k o v切换的随机多群体S I R I模型,证明了系统正解的存在唯一性,通过构造恰当的L y a p u n o v函数,利用一些图论知识,得到模型解的动力学行为。1 模型建立与准备T u d o r等人1考虑了一个具有复发性的S I R I传染病模型,表示为:*收稿日期:2 0 2 2-0 6-3 0 修回日期:2 0 2 2-1 1-0 1 网络出版时间:2 0 2 3-0 4-2 8 T 1 6:0 7资助项目:国家自然科学基金面上项目(N o.1 1 9 7 1 0 8 1);重庆市教育委员会科技研究重大项目(N o.K J Z D-M 2 0 2 0 0 0 5 0 2);重庆市研究生科研创新项目(N o.C Y S 2 0 2 4 2)第一作者简介:邓涵,女,研究方向为随机常微分方程,E-m a i l:f z y m k t 1 6 3.c o m;通信作者:杨志春,男,教授,博士生导师,E-m a i l:y a n g z h c h1 2 6.c o m网络出版地址:h t t p s:/k n s.c n k i.n e t/k c m s 2/d e t a i l/5 0.1 1 6 5.N.2 0 2 3 0 4 2 8.1 4 0 6.0 0 2.h t m ldSdt=b-S I-S,dIdt=S I-(+)I+a R,dRdt=I-(a+)R。(1)式中:S,I,R分别表示易感者、感染者、恢复者在时刻t的人数,b为出生率,表示S和I之间的传染率系数,是死亡率,表示恢复率,a表示免疫失去率,这里的b,a,都是正常数。上述模型(1)只考虑了单群体的传染病模型。为了弥补上述模型的缺陷,本文考虑了具有M a r k o v的随机多群体S I R I传染病模型:dSkdt=bk-nj=1k j(r(t)SkIj-kSk,dIkdt=nj=1k j(r(t)SkIj-(k+k)Ik+akRk,dRkdt=kIk-(ak+k)Rk。(2)这里将总人数分为n个群体,将第k个群体分为3类,即Sk(t),Ik(t),Rk(t)分别表示t时刻第k个群体的易感者、感染者、治愈者数量,bk为第k个群体的人口输入率,k j是Sk(t),Ij(t)之间的传染率系数,k,k,ak分别是第k个群体的死亡率、恢复率和免疫失去率,并且它们都是正常数。r(t)是一条在有限空间S=1,2,N 中连续的M a r k o v链,在一定条件下,r(t)有唯一的平稳分布=(1,2,N),有Nj=1h=1,j0,jS。如果系统(2)是一个确定性方程,可以得到无病平衡点和地方病平衡点分别记作:q0=(b1/1,0,0,b2/2,0,0,bn/n,0,0),q*=(S*1,I*1,R*1,S*2,I*2,R*2,S*n,I*n,R*n)。如果B=(k j)nn是不可约的并且R01,那么q0是全局渐近稳定的;如果R01,那么地方病平衡点q*是全局渐近稳定的。这里,R0=(A),A=(ak+k)k jbk2k(k+k+ak)nn,(A)为矩阵A的谱半径。2 系统正解的存在唯一性对于传染病模 型(2),首 先应该考虑 的是系统 是 否 存 在 唯 一 的 正 解 并 且 是 全 局 的,因 此 本 节 将 利 用L a y p u n o v函数的知识证明系统(2)正解的存在唯一性。定义系统(2)的解(S1,I1,R1,Sn,In,Rn,r(t)为Y(t),初值为Y(0)=(S1(0),I1(0),R1(0),Sn(0),In(0),Rn(0),r(0),R3n+=yR3nyi0,1in,对任意的向量h=(h(1),h(2),h(N),定义h)=m a xjSh(j),h=m i njSh(j)。定理1 对于系统(2)任意给定的初值Y(0)R3n+,当t0时,系统都存在唯一的正解Y(t),并且该解以概率1位于R3n+中。证明 由于系统(2)的系数满足局部L i p s c h i t z条件并且连续,故系统(2)对于任意给定的初值条件Y(0)R3n+,存在唯一的局部解Y(t),t0,e),其中e表示爆破时间。即只需证明e=,a.s.。设m0足够大,使Sk(0),Ik(0),Rk(0)(k=1,2,n)均属于1/m0,m0,对于任意的正整数mm0,定义停时:m=i n ft0,e):m i nSk(t),Ik(t),Rk(t),k=1,2,n1/m或m a xSk(t),Ik(t),Rk(t),k=1,2,nm。规定i n f=,显然随着m的增加,m是单调递增的。令=l i mmm,如果能证明=,那么解Y(t)以概率1位于R3n+中。采用反证法。假如0和(0,1)使得PT,则存在正整数a0m0使得ma0,PT。此外,对于tm,对系统(3)有:d(Sk+Ik+Rk)dt=bk-k(Sk+Ik+Rk),78第3期 邓 涵,等:具有M a r k o v切换的随机多群体S I R I动力学行为因此,有:Sk(t)+Ik(t)+Rk(t)Hk=bkk,Sk(0)+Ik(0)+Rk(0)bkk,Sk(0)+Ik(0)+Rk(0),Sk(0)+Ik(0)+Rk(0)bkk。同样地,有:d(Sk+Ik+Rk)dt=bk-k(Sk+Ik+Rk)bk-(k+ak+k)(Sk+Ik+Rk),Sk(t)+Ik(t)+Rk(t)Pk=bkk+ak+k,Sk(0)+Ik(0)+Rk(0)bkk+ak+k,Sk(0)+Ik(0)+Rk(0),Sk(0)+Ik(0)+Rk(0)bkk+ak+k。在R3n+0,+)上定义L y a p u n o v函数V=nk=1(Sk-1-l nSk)+(Ik-1-l nIk)+(Rk-1-l nRk)。对函数V采用伊藤公式得:LV=nk=11-1Skbk-nj=1k jSkIj-kSk()+nk=11-1Iknj=1k jSkIj-(k+k)Ik+akRk()+nk=11-1Rk(kIk-(ak+k)Rk)nk=1bk+3k+k+ak+nj=1k jIj-nj=1k jSkIjIk-k(Sk+Ik+Rk)-akRkIk-kIkRk-bkSknk=1bk+3k+k+ak+nj=1k jIjnk=1bk+3k+k+ak+nj=1)k jHj=M。式中:M是一个正常数。余下证明方法与文献1 2 类似,故略。证毕3 系统的灭绝性关于传染病的研究,最重要的问题之一是疾病的消失时间。本节将在随机系统(2)中建立疾病灭绝的充分条件。由定理1的证明知,若bkk+ak+k(Sk(0)+Ik(0)+Rk(0)bkk,则bkk+ak+k(Sk(t)+Ik(t)+Rk(t)bkka.s.,则称:=(S1,I1,R1,S2,I2,R2,Sn,In,Rn)R3n+:bk/(k+ak+k)(Sk+Ik+Rk)bk/k是系统(2)的正不变集,且Rs0=(As0)为As0=bk(ak+k)Ni=1k j(i)i2k(k+ak+k)nn的谱半径。定理2 假设B*=Ni=1ik j(i)()nn不可约,若:-m i nm i n1kn(1-Rs0)k-kk,m i n1knk(ak+k)m a x m a x1knk(ak+k)k(k+ak+k),m a x1knkakk(k+ak+k)+k+Ni=1iD(i)0,那么对于任意的初值解,疾病会以概率为1呈指数灭绝。其中:D(l)=nm a x1knbkk(ak+k)2k(k+ak+k)k j(l)-Ni=1k j(i)im i n1knk(ak+k)k(k+ak+k),k 0,(1-Rs0)kk。(3)且=(1,2,n)是As0的左特征向量。88重庆师范大学学报(自然科学版)h t t p s:/c q n u j.c q n u.e d u.c n 第4 0卷证明 由于矩阵B*=Ni=1ik j(i)()nn是不可约的,As0是不可约的且为正定矩阵,从文献1 3 可得到:(1,2,n)(As0)=(1,2,n)As0。(4)定义L y a p u n o v函数V=nk=1k(ak+k)k(k+ak+k)Ik+kakk(k+ak+k)Rk+nk=1kRk,再对它使用伊藤公式可得:L(l nV)=1Vnk=1k(ak+k)k(k+ak+k)nj=1k j(l)SkIj-(k+k)Ik+akRk+nk=1kakk(k+ak+k)kIk-(ak+k)Rk+nk=1kkIk-(ak+k)Rk=1Vnk=1nj=1k(ak+k)k(k+ak+k)k j(l)SkIj-nk=1kIk+nk=1kkIk-(ak+k)Rk+nk=1nj=1bk(ak+k)Ni=1k j(i)i2k(k+ak+k)kIj-nk