面向目标参数估计的雷达低峰均比稳健波形设计_李响.pdf

第 卷 第 期（总第 期）年 月火控雷达技术 .（）.收稿日期：作者简介：李响（），女，硕士研究生。研究方向为数据分析，信号处理方法。面向目标参数估计的雷达低峰均比稳健波形设计李 响 李德煦 王俊伟 郝天铎 曹兴龙（.沈阳科技学院 沈阳；.部队 沈阳；.国防科技大学 合肥；.部队 长春）摘 要：针对目标和杂波先验知识不准确时面向目标参数估计的雷达波形设计问题，同时兼顾功率放大器对低峰均比（）波形的需求，该文提出一种信号相关杂波背景下雷达低 稳健波形设计方法。首先，以最大化互信息（）为优化准则，构建了估计波形优化模型；接着，通过提取协方差矩阵特征值，构建了关于目标和杂波矩阵的不确定集模型；然后基于极大极小化准则，将关于矩阵的非凸优化问题转化为关于特征值的凸问题；最后，基于序列线性规划方法给出了波形的优化解。分析表明，所提方法产生的波形具有较好的有效性和稳健性能。关键词：稳健波形设计；峰均比（）；不确定集；凸优化；序列线性规划中图分类号：文献标志码：文章编号：（）引用格式：李响，李德煦，王俊伟，郝天铎，曹兴龙.面向目标参数估计的雷达低峰均比稳健波形设计.火控雷达技术，（）：.：.，（.，；.，；.，；.，）：（），.，.，.，.，.：；火 控 雷 达 技 术第 卷 引言波形设计是雷达的关键技术之一。在实际情况中，由于环境的非平稳特性和先验知识估计方法的原因，使得杂波和目标的先验知识并不准确，造成所设计波形与实际目标和杂波不匹配从而降低波形估计性能。因此，为了有效防止波形的估计性能下降，需考虑进行稳健波形的设计。此外，为了增强发射机对发射功率的利用率，现有文献往往会考虑恒模约束。然而，恒模波形虽然是理想的发射波形，但其约束过于苛刻，往往为了便于实现，会转向低峰均比（，）约束下的波形设计。因此，约束下的稳健发射波形设计已成为认知雷达亟待解决的重要问题之一。文献 在先验知识不准确时，对稳健波形的设计进行了研究，其所运用的准则主要基于最小克拉美罗界（，）准则、最大互信息（，）准则和最小均方误差（，）准则。文献 以最小 为优化准则进行稳健波形设计。张向阳和周子昂在 雷达系统中对相关问题进行了研究，在白噪声背景下，将信道误差限定在一个超球体构成的不确定集内，分别采用不同的方法实现了非凸优化问题到凸问题的转换，进而得到了 雷达的稳健波形。.进一步假定信号与杂波无关，在杂波背景下采用半正定松弛（，）方法对 雷达稳健波形协方差矩阵进行了设计。然而，这些文献只考虑了信号无关杂波。此外，文献 基于最大 准则和 准则对雷达稳健波形设计问题进行了研究。.等人较早地对此类问题展开研究，当目标的先验知识不准确时，假定目标功率谱密度位于一个上、下界均已知的不确定集内，基于极大极小化准则进行了稳健波形设计.将目标的散射系数和目标的分布协方差矩阵限制在一个不确定集内，根据 补充定理将非凸优化问题转化为凸问题进行稳健波形的设计。但文献 均未考虑杂波的影响。而.弥补了这方面的不足，在其信号模型中加入了信号相关杂波，在目标散射系数不确定集范围内进行了稳健波形设计。需要说明的是，以上文献均未对波形进行恒模或者 约束。当对波形加以恒模或者 约束后，会使稳健波形设计问题变得较为复杂，现有文献很少对此类问题进行研究。针对该问题，以杂波冲激响应（，）和目标冲激相应（，）协方差矩阵特征值的不确定集表征 和 的波动范围，基于极大极小化准则构建 准则下的问题模型，在不确定集范围内给出了 最差情况下 和 的取值，并结合序列线性规划（，）方法实现了 约束下的稳健波形设计。信号模型本文主要以扩展目标为研究对象，考虑信号相关杂波背景下的波形设计问题。文中，用 表征相关杂波特性，用 表征目标散射特性，则时域信号模型如图 所示。图 相关杂波下的信号模型图 中，长度为 的发射波形用 表示；和 分别用 和 表示；噪声和接收机权值分别用 和 表示；目标和环境的回波用 表示，其长度 。信号模型可表示为 （）（）其中“”代表卷积运算，则有 ，。、与 分别代表向量、和 经过映射后的卷积矩阵，相关映射函数用（）表示。以 为例，（），令 （）（）（），则 （），其中，（，），的含义为 维零向量，（）表示转置运算，则可得（）（）（）（）（）（）|（）（）第 期李 响等：面向目标参数估计的雷达低峰均比稳健波形设计同理，矩阵 亦可表示为（）（）（）（）（）（）|（）（）文中假定噪声向量服从均值为，协方差矩阵为单位阵的复高斯分布，也即 （，），其中，的含义为 维零向量，的含义为 维的非奇异 矩阵。如果噪声为高斯白噪声，则有其协方差矩阵（取大于零的固定值，代表 维单位阵）；如果不是单位阵，则代表为高斯色噪声。可以认为是服从高斯分布的，即 （，），代表 维的非奇异 矩阵。同时，假定随机分布下 的目标向量 服从均值为，协方差矩阵为的圆对称复高斯分布，即 ，()。波形设计方法.基于互信息方法的问题描述从信息论的观点出发，通过设计发射波形，使雷达回波中包含更多的目标信息，从而实现目标参数的有效估计。因此，可采用目标与雷达回波之间互信息的大小作为对目标估计性能的度量，互信息越大，对目标参数的估计就越准确。本文以最大化 为优化准则进行波形设计，目标 和回波 之间的互信息可表示为（；）（）（，）（）其中（）表示已知时回波信号的熵，而（，）则表示 和 均已知时 的熵。其中，和 服从联合高斯分布且可表示为|，|（）令 ，的概率密度函数可表示为（）()（）则（）和（，）可分别表示为（）（）（）()（）（，）（，）（，）（）（）将式（）和式（）代入式（），可得互信息为（；）（）（）可以看出，互信息是波形矩阵 的函数，可通过优化波形提高（；），从而增强雷达的估计性能。接下来，对波形加以能量和 约束，并且在目标和杂波先验知识不准确的情况下进行稳健波形设计。.低峰均比稳健波形设计考虑到需要对波形的幅度加以 约束，一般定义为（），（）（）（）其中（）为 的第 个采样值。定义参数 为 所能取到的上限值，则 ，其中 （）代表发射波形总能量。为方便分析，根据文献，文中如无特别说明，均令，则 ，因此有（），（）（），（）（）.问题模型构建结合式（），同时考虑式（）所示波形的约束，则准则下的波形设计问题模型可表示为 （）.（），（）.|（）其中，波形矩阵 的结构如式（）所示。可以看出，问题 的目标函数是非凸的，且两个不等式约束条件是非齐次的，同时优化问题中的矩火 控 雷 达 技 术第 卷阵变量是波形向量经过函数映射的卷积矩阵，因此该优化问题较为复杂，很难直接得到波形的解析解。首先，为了使问题 得以求解，需对其目标函数进行转化，应用矩阵求逆引理，可得（；）（）其中，。继续运用矩阵求逆引理，则目标函数可转化为（；）（）（）因此，约束下基于极大极小化准则的稳健波形设计问题可表示为，().（，）（），（，），.|（）其中 表示和的不确定度变化范围。若直接对和进行不确定集构建，无法直接给出和的解析解，问题将较难求解。为方便求解，将对和的研究转化为对二者协方差矩阵特征值的研究。.不确定集下的稳健波形设计对和进行特征值分解，则和可分别表示为（）（）其中（，），（，），其对角元素为和的特征值，同时也代表 和功率谱密度的采样。由于，则酉矩阵 可表示为（）（），（，）（）假定和的特征值在一定区间内波动，该波动区间与反馈信息的估计精度有关，于是不确定集 可表示为，（）其中，。同理，高斯噪声也可表示为（）其中 （，），为 维的酉矩阵，其元素可通过式（）表示（将 用 代换）。将式（）、式（）和式（）代入式（）所示问题中的目标函数，可得，（）.，（），（，），.|（）式（）所示极大极小化问题的目标函数是非凸的，且第二个约束条件属于非齐次不等式约束，因此该问题是一个非凸问题。由于式（）所示优化问题中波形与噪声、和 的协方差矩阵是互相独立的，因此目标函数中的极大化和极小化的位置可互换，因此其目标函数也可转换为，（）（）此外，当，和，已知时，根据不等式，若要使目标函数取得极大值，波形矩阵 应满足如式（）结构。（）|（）其中（，）。将式（）代入式（）所示问题的目标函数，则优化问题可转化为，().，（，），|（）第 期李 响等：面向目标参数估计的雷达低峰均比稳健波形设计可以看出，式（）所示问题的目标函数与，成反比，而与，成正比，于是内部极小化问题所示目标函数可表示为，（，），（，）（）因此，优化问题可转换为，（，）.，（，），|（）其中，和，均为常量。可以看出，式（）所示问题是关于变量，的线性规划问题，可采用 的方法进行求解。仿真实验与分析假设发射波形的总能量 ，和 的长度 ，发射波形的长度 。此外，令目标、噪声和杂波的能量分别为 ，.，假设 和 的功率谱密度采样值（即相应的特征值）的估计误差均为，若接收端所反馈的功率谱密度采样（即和的对角线元素）的估计值分别为，和，则二者的不确定区间的上界和下界可表示为，（），（）其中表示服从标准正态分布的随机变量，于是不确定集变化范围可表示为图 所示。图 为不确定集的变化范围，代表目标和杂波协方差矩阵特征值的变化区间。在该不确定集下，图（）和图（）分别给出了不同波形的 随 和 的变化曲线，图（）中 .。其中，将目标的下限，和杂波的上限，代入到式（）所示问题，分别令 和 ，恒模稳健波形和无约束稳健波形便是通过采用文献 中基于 的波形设计方法得到，然后将所设计波形、，和，代入式（）的目标函数，便可计算得到 曲线；令 和 ，去掉式（）中关于杂波和目标的不确定集约束并进行问题求解，可得到相应的两种波形，然后将这两种波形以及，和，代入式（）所示问题的目标函数，可得相应的恒模非稳健波形和无约束非稳健波形的 曲线。可以看出，稳健波形的 值要优于非稳健波形，无约束下波形的 要优于恒模波形的，且随着不确定度和的增大，所设计波形的 逐渐降低。该实验验证了所提方法产生的波形具有较好的稳健性能。图 目标和杂波特性不确定集区间图 不同估计波形稳健性能对比火 控 雷 达 技 术第 卷 图 为不同 约束下（从 到 变化）优化波形的 取值。图 中，随着 的增大，约束范围扩大，可行解区域也变大，所求得 的取值也会相应变大。这说明，低 波形（）比恒模波形（）具有更好的性能。然而，由于发射能量有限，波形所能提高雷达的估计性能也是有上限的，因此从图 中可以看出，当 达到某一上限时（即 ），曲线会收敛到一个稳定的数值（接近于上界，图中互信息上界是指在，和，分别取，和，时最优波形对应的互信息）。该实验说明所提方法可以对给定 下的波形进行优化，提升了波形包络设计的自由度。图 优化波形的 随 约束的变化图展示的是不同值下波形的实部和虚部，表示在只有能量约束时所求的波形，可以看出点此时分布半径较大，也间接说明波形峰值幅度较大，发射端功率利用率低，实用性较差。而当 时，此时所形成的是一个原圆，说明波形的幅度是恒定的；而当 时，圆的分布半径略大于 时波形，且波形的 高于恒模波形。从图 和图 可以看出，低 波形（例如 ）不仅能较好地兼顾发射机的效能（时分布半径较小，说明峰值幅度较小），亦可以使雷达具有较好的估计性能（比恒模波形有更高的），说明低 波形实用性较强。此外，对算法的有效性进行验证。将优化波形与相位 编 码 波 形 和 线 性 调 频（，）波形进行对比，如图 所示，其中 波形可表示为（）()()，（）图 为不同发射能量下优化波形与常用波形的对比，从图 可以看出，随着发射能量增加，三种波形的 取值逐渐增大，产生的优化波形对应的 要优于相位编码波形和线性调频波形，验证了所提方法有效性。图 不同 约束下波形的实部和虚部图 不同波形估计性能对比 结束语为了提高雷达功率放大器的效能，增强波形在 和杂波先验知识不准确时的稳健性能，基于极大极小化准则，研究了任意 约束下的认知雷达稳健波形设计问题。以 和 协方差矩阵特征值的不确定集表征 和 的波动范围，基于极大极小化准则构建 准则下的问题模型，在不确定集范围内给出了 最差情况下 和 的取值，并结合 方法实现了 约束下的稳健波形设计。仿真结果表明，与常用波形相