采用Green函数法求解二维固结微分方程_李秉宜.pdf

投稿网址：年 第 卷 第 期，（）：科 学 技 术 与 工 程 引用格式：李秉宜，王唤唤，刘旭 采用 函数法求解二维固结微分方程 科学技术与工程，（）：.，（）：.采用 函数法求解二维固结微分方程李秉宜，王唤唤，刘旭（.苏州科技大学土木工程学院，苏州；.江苏省生态道路技术产业化工程研究中心，苏州；.嘉兴市世纪交通设计有限公司，嘉兴）摘 要 以 一维固结理论为基础，采用 函数法对二维固结微分方程进行求解，得到了不同边界条件及地基应力条件下的二维固结微分方程的解析解，给出了计算表，进一步推导了线性加载下的解答。以一均质地基为例，将计算结果与一维解答、前人所得数值结果进行对比，验证了该方法的准确性与可靠性。研究结果表明：进行工程实际研究时应重点关注荷载中心点下的平均固结度，荷载宽度与地基宽度越接近，荷载中心点下的平均固结度与一维结果越接近；而当地基宽度远大于荷载宽度和软土厚度时，使用一维固结理论计算误差较小，工程设计中是可靠的。该方法解答考虑更多工程情况，更快捷方便，便于工程人员使用，可应用于工程计算。关键词 岩土工程；函数法；二维固结；边界条件中图法分类号；文献标志码 收稿日期：；修订日期：基金项目：国家自然科学基金青年科学基金（）第一作者：李秉宜（），男，汉族，江苏苏州人，博士，讲师。研究方向：地基处理。：。，（.，；.，；.，），；年 提出一维固结理论，该理论是土力学的重要理论之一，也是其他固结理论的基础，在地基渗透与固结领域被广泛运用。该理论给出了一维渗透固结条件下饱和黏土层中的孔隙压力、有效应力的变化规律及地基沉降变形的发展规律，通常采用分离变量法进行计算。杜明芳等通过一维固结理论和有效应力的方法得到软土地基任意加载速率下的通解及解析解。但在实际的软黏土地基工程中，固结沉降通常发生在二维或三维条件下，若用一维固结理论计算，会低估土中孔隙水压力的消散速率。将 一维固结理论扩展至二维和三维，得到了 固结理论，该理论保留了 一维固结理论的基本假定，还假定在排水固结过程中土中总应力保持不变。从弹性理论出发，在满足土体平衡方程、本构方程及几何方程的基础上，考虑了土体中孔隙水的渗流连续性条件，得出了能考虑流固耦合作用的三维固结理论。由于三维 投稿网址：方程求解较为复杂，通常采用数值方法求解。对于二维固结理论，目前有多种计算方法。黄传志等针对均质地基给出了二维 固结微分方程的通解；折学森提出了同时适用于均质地基和水平、竖向固结系数不同的二维 固结微分方程通用解；雷国辉等采用分离变量法得到了含水平向排水体地基的二维自由应变固结解析解；高然运用有限差分法得到了复杂条件下一二维固结方程的数值解。现有二维固结方程计算多是采用有限元进行求解，且对实际工程中可能遇到的复杂边界条件以及地基应力随空间二维分布的情况下的二维固结问题研究较少。针对这些问题，现采用 函数法对二维固结微分方程进行求解，得到不同边界条件下的二维固结问题的解析解。函数在二维固结中的应用.函数的定义在三维情况下，在物体中任取一闭曲面，它所包围的区域记作，一般线性热传导问题在该区域中的控制方程为（，）（，）（，），（）式（）中：（，）为曲面上的温度分布；（，）为热能产生速率；为时刻；为曲面半径。此类问题一般对应有三类边界条件。在边界 上，第一类边界条件为（，）（，），（）第二类边界条件为（，）（，），（）第三类边界条件为（，）（，）（，），（）式中：，为区域 连续边界的数量；（，）为边界函数；，为导温系数，；为导热系数，（），为密度，为比热系数，（）；为换热系数，（）；为垂直于边界面 的外法线方向导数。第一类边界条件规定了边界上温度分布及其时间的变化；第二类边界条件给出了边界表面上各点的热流密度值；第三类边界条件给定边界表面上各点与周围流体之间的对流换热系数及周围流体温度。初始条件为（，）（）（）式（）中：（）为初始状态的温度函数。设一 函数，通过 函数法可得到以上问题的一般解为（，）（，）（）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）式（）中：和 为微元单位。构造的 函数 要满足条件为（，）（）（）（）（）（）式（）中：为一般热传导问题齐次方程的本征函数；为模；为特征值；为模型的长度。.函数的性质 函数的重要特点之一是可以通过式（）由一维情况构造出多维情况下的 函数。（，）（，）（，）（，）（）一维函数的构造可以利用式（）来完成。计算模型.控制方程为探究 函数在二维固结中应用的可行性，在保证计算中能直接利用 函数相关性质，建立如图 所示的模型，其中，路基远端为邻水界面，即自由排水。时段内土体体积的变化量等于流出土体的水的体积，据此可得到饱和土体渗流固结微分方程，控制方程为()，（）式（）中：为超静水压力；为时间；为土的固结系数，为土的渗透系数，；为土的压缩系数，；为水的重度，。.初始条件初始条件的表达式为科 学 技 术 与 工 程 ，（）投稿网址：为模型的深度；为模型的长度；和 为某一点横向和纵向坐标；为荷载宽度；为均布荷载图 二维固结计算模型.（，）（，）（）式（）中：（，）为 时土体中的超孔隙水压力。.边界条件（）顶面边界（）。（，）（）（）底面边界（）。（，）（）（）对称轴（）。（，）（）（）水平向远端（）。（，）（）固结问题中的自由排水和不排水边界条件分别对应.节中第一、二类边界条件。求解与验证.控制方程求解控制方程、初始条件和边界条件代入上述热传导问题，最后根据式（）可以得到孔压表达式为（，）（，）（，）（）式（）中：为对应的 函数。求解 的过程如下。，处分别为第二类和第一类边界，即（，），（，），则（，）（）（）（）（）（）（）（）式（）中：（），此过程根据相关公式直接得出。同理，处分别为第一类与第二类边界，则（，）（）（）（）（）式（）中：（），。而根据式（），可以得到二维固结情况下的 函数为（，）（，）（，）（）.初始附加应力为均匀分布时的解当初始附加应力均匀分布在整个地基，即（，）。根据式（）式（），得（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（）（，）（）|()（）（）（）()（）（）（）（）（，）（）|()（）（）（），（）李秉宜，等：采用 函数法求解二维固结微分方程投稿网址：()（）（）（）将式（）和式（）代入式（），得到整个地基初始应力为均匀分布情况下的二维固结解为（，）()）（）（）（）()（）（）（）为了验证所推导的解的正确性，将地基初始应力为均匀分布的二维固结解退化为 一维固结 解。只 需 要 使 地 基 宽 度 ，此 时，()，（）。同 时 利 用的 级 数 展 开 可 得：（）（）。故退化后的孔压表达式为（，）()（）（）（）一维固结解为 ()()|（）将 （，）代入式（）并进行积分，与式（）比较可知所得结果与 一维固结解一致，验证了 函数法可以快速准确地得到不同边界条件下二维固结问题的解。作为地基，一般情况为顶面排水，而对称轴则没有流量，主要的差异为水平向远端和地基底面是否排水。根据以上过程计算，表 直接给出了不同方向上边界的排水条件所对应解答积分项中的一维 公式，具体求解时将两方向上的 函 数 表 达 式 代 入 式（），接 着 代 入式（），即可得到远端排水、远端不排水、底面排水与底面不排水 种边界条件下的二维 固结解答。表 二维 固结通解中的项 远端排水一维 函数项（，）备注（）（）（）（），（）（）（），底面排水一维 函数项（，）备注（）（）（），（）（）（）（），注：表示满足远端排水或底端排水，表示不满足。.初始应力分布服从 解答时的解根据应力关系有（）()()（）式（）中：为初始应力；和 分别为 方向和 方向的应力；为地基表面荷载，为使表达式简洁，取（，）()()。采用对称轴分析，则相应作用在整个地基的荷载宽度为。仅顶面排水时，表达式为（，）（，）（，），（，）()()()()()（）科 学 技 术 与 工 程 ，（）投稿网址：双面排水时，表达式为（，）（，）（，），（，）()()()()()（）同时，由一、二维固结系数的公式分别为（）（）（）（）（）（）（）得到两者的关系为（）（）式中：为土体泊松比。利用二维固结解计算孔压时，需要进行换算得到二维条件下的固结系数。一维与二维固结条件下地基的平均固结度分别为 （）（）初始应力随深度不变化时，地基的平均固结度为 ，（）当初始应力服从 解答时，地基的平均固结度为 ，.().(.)（）式（）中：时间因数。将式（）和式（）代入式（）并进行积分计算，就可以得到二维固结仅顶面排水条件下，整个地基的平均固结度为 ，（，）()()()()（，）（）通常，荷载中心的沉降固结特性需要重点关注。仅顶面排水条件下荷载中心点下地基的平均固结度为（）（，），（，）()()()（）同理，可以得到各种边界条件与初始应力分布条件下的地基固结度。双面排水，水平远端排水为（）（，），（，）()()()（）顶面排水，水平远端不排水为（）（，），（，）()()()（，）()（）双面排水，水平远端不排水为，（）李秉宜，等：采用 函数法求解二维固结微分方程投稿网址：（）（，），（，）()()()（，）()（）.变荷载下二维固结解答根据相应假设建立变荷载下的二维固结方程为()，（）采用的变荷载为常见的先线性后不变，即在 时，线性加载，大于 时，荷载不再发生变化。（，），（，），（）典型的计算边界条件如表 所示。表 计算的边界条件 顶面排水底面不排水对称轴不排水水平向远端自由排水初值条件 （，）根据 函数法，可以得到孔压的表达式如下。当 时，仅受时间影响时：（，）（，）（，），（，）（，），|（），（）（），|（）式（）中：()，；为对应的恒载下二维孔压解。计算荷载中心下的固结度为（，）（），（）（），|（）式（）中：为对应的瞬时加载条件下二维固结度。算例验算和分析.均质地基二维固结验算首先忽略横向排水边界的影响，利用本文解计算荷载中心下的固结度，此时取横向地基宽度 远大于荷载半宽度 和软土厚度 （，）。将结果与 等得到的黏土层二维 解答进行对比。图 可以看出，在时间因数.时（较小时级数所取项数导致一定误差），平面应变条件下本文二维固结解答的结果和二维 解答较一致，验证了本文解答是正确和合理的。图 不同 固结度随时间因数 变化曲线.由图 可以看出软土厚度与荷载宽度比 对固结速度有着一定影响，其他参数保持不变，越小，则固结的效率越快，反之则越慢。固结问题研究对象是较长时间内地基孔压或固结度的变化，验证了提出的基于 函数的二维固结微分方程解析解的准确性，以该解析解为基础对一软土地基进行研究。.算例分析对一软土地基进行算例分析。图 中的各参数为：软土厚度 ，地基半宽度 ，荷载科 学 技 术 与 工 程 ，（）投稿网址：半宽度 ，水平向远端自由排水，地基底面不排水，瞬时加载 ，软土固结系数 ，泊松比 .。通过式（）可以计算得到不同时间孔压的分布情况。由图（）可知，时，初始超孔压分布同时受到了荷载下附加应力分布与排水边界的影响。荷载以下区域（），同一纵断面，孔压随着深度先增大后减小。水平方向上，在荷载区域外，即 ，孔压随着 的增大而减小，当 .，几乎没有产生超孔压，可以认为是不受荷载影响区域。孔压随着时间的增长而消散；由图（）可知，当加载.后，孔压的总体分布变化较小，但数值上，最大孔压已从.降至 ，并且最大孔压位置逐渐下移。由于水平向也存在排水路径，随着时间的增长，孔压以扇形向上端和右端逐渐消散，扇形中心即为荷载中心下地基底部。、与 时，孔压最大值分别为.、.与.。对于一维固结，仅需要、两个参数即可得到孔压与固结度随时间变化的关系。而对于二维条件下的，则还需要水平向的地基宽度 与荷载宽度。为对比，继续采用了不同 与 探究二者对固结的影响。由图（）图（）可以看出，在地基厚度为 时，不同地基宽度与荷载宽度下，地基的平均固结度均未达到.，即加载 后，地基仍未完成固结。在以上假设条件下，分别得到了不同情况下的固结度计算结果。一维情况下，初始应力按 解分布时的固结度 发展速度大于随深度均匀分布得到的固结度，相同时间内，初始应力按