常弹性方差模型下含资本利得税的最优投资策略_李千妍.pdf

第36卷第4期,2023年7月 宁 波 大 学 学 报（理 工 版）中国科技核心期刊 Vol.36 No.4,July 2023 JOURNAL OF NINGBO UNIVERSITY(NSEE)中国高校优秀科技期刊 DOI:10.20098/ki.1001-5132.2023.0235 常弹性方差模型下含资本利得税的最优投资策略 李千妍,王 伟*（宁波大学 数学与统计学院,浙江 宁波 315211）摘要:研究风险资产价格动态满足常弹性方差模型且考虑资本利得税情形下的最优投资问题.假定金融市场中有无风险债券和风险资产两种可投资资产,风险资产的价格动态满足常弹性方差模型且这两种资产的收益都将被征收不同税率的税收.基于最大化终端财富期望效用的目标,利用随机动态规划原理建立相应的 Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程,通过求解 HJB 方程并利用一阶最优条件,分别得到幂效用和指数效用下最优投资策略的解析解,最后给出数值结果和经济学解释.关键词:资本利得税;常弹性方差;动态规划;最优投资 中图分类号:O211.9 文献标志码:A 文章编号:1001-5132（2023）04-0104-08 Merton1-2首次考虑了连续时间模型下的投资和消费问题,并应用随机动态规划方法得到最优投资和消费策略的解析表达式,从而奠定了连续时间投资消费理论.自此以后,最优投资优化问题一直是金融工程和金融数学领域的热点问题之一.Bielecki 等3假定金融市场中存在可投资的带违约风险的公司债券,且风险资产价格满足几何布朗运动,利用动态规划原理得到了最优投资策略.Elliott 等4利用连续时间马尔可夫链描述市场经济状态,研究了机制转换模型下的最优投资问题.由于金融市场中一些重大事件的发生会导致股票价格出现不连续的跳跃,因此 Jin 等5假定风险资产价格满足跳扩散过程,研究投资者面临投资限制时的最优投资组合问题.近几年的相关研究参见文献6-8.然而,这些研究都假定金融市场中风险资产的波动率为常数.事实上,大量实证研究表明市场中风险资产的对数收益率具有尖峰厚尾特征,且波动率不是常数,而是具有波动率微笑现象.于是学者们提出了许多不同的金融模型来描述市场中风险资产的价格过程,常弹性方差模型就是其中之一.常弹性方差模型最先由 Cox 等9提出,模型假定风险资产的波动率与其价格相关,研究了该模型下衍生产品的定价问题.在常弹性方差模型下的最优投资研究领域中,Zhao 等10研究了常弹性方差模型下指数效用型投资者的最优多资产配置问题.Li 等11假定劳动者的收入是随机的,风险资产价格满足常弹性方差模型下确定缴费型养老金的时间一致投资问题,接着 Li 等12进一步考虑了市场中存在违约债券的情况,研究了常弹性方差模型下带有违约债券的确定缴费型养老金的最优均衡投资策略问题.刘小涛等13假设风险资产价格服从常弹性方差模型,研究了双曲绝对风险厌恶效用和动态非自融资下的最优投资问题.阿春香等14假设保险公司的财富过程服从时滞随机微分方程,风险资产价格满足常弹性方差模型,研究了负指数效用最大化目标下的时滞最优投资与再保险控制问题.然而这些文献只考虑了市场风险而忽视了模型风险,行为经济学领域的研究学者指出,市场中投资者在投资时不仅仅会考虑市场风险,而且对经济因素的概率分布也是持有怀疑态度的,这就是所谓的模型风险.于是,Deng 等15 收稿日期:20230222.宁波大学学报（理工版）网址:http:/ 第 4 期 李千妍,等:常弹性方差模型下含资本利得税的最优投资策略 105 进一步考虑模型风险,研究了常弹性方差模型下含违约债券的最优投资问题.但是,上述研究均未考虑投资获得收益将被征收资本利得税的问题,目前这方面的研究较少,Gallmeyer 等16研究了资本利得税和多个风险资产价格背景下的消费组合问题,并给出了一种新的交易灵活性策略.与此不同,Ma 等17假定风险资产价格满足跳扩散模型,同时考虑了含资本利得税情形下的最优投资和消费问题,并得到了最优投资和消费策略的表达式.本文用常弹性方差模型描述市场中风险资产的价格动态,考虑投资获得的资产收益将被征收资本利得税的情形,通过Ito 公式和随机动态规划方法得到 Hamilton-Jacobi-Bellman(HJB)方程,分别考虑幂效用和指数效用下的最优投资问题,利用最优投资策略的解析表达式和 Matlab 软件得到数值结果,并给出模型参数对最优投资策略的影响分析和经济学解释.1 金融市场金融市场 考虑一个无摩擦且无套利的金融市场,市场中的投资者在0,T时间段内可连续进行交易且不考虑交易费用.用一个带域流的概率空间(,F)0(),TttPF来描述金融市场中的不确定性,其中P 是概率测度.假设金融市场中存在两种可投资的资产,一种是无风险资产,一种是风险资产股票.无风险资产的价格过程为 ddttBr tB=,(1)式中:0r 表示无风险利率.令tS表示 t 时刻风险资产股票的价格,满足 dddttttStkSWS=+,(2)式中:为股票的预期瞬时收益率,且r;tkS为瞬时波动率;k 为波动率系数;0为弹性系数;:0tWt为定义在概率空间()0,(),tTtPFF上的一维标准布朗运动.假设政府对资本利得税以对称的方式连续征税,即当资产价格上涨时,投资者需要缴纳税款,否则得到退款.在这里,对无风险资产的收益征收税率用0(0,1)来表示,风险资产的收益征收税率用1(0,1)来表示,则税后回报率分别为01-、11-.令tV表示(0,)tT时刻的财富,0V表示0t=时的初始财富.t和1t-分别表示投入风险资产和无风险资产占财富的比例,则动态财富过程满足 10(1)d(1)d(1)dtttttttttVVVSBSB-=-+-.(3)将式(1)和式(2)代入式(3),可得财富过程满足如下微分方程:01d11(1()d()ttttVVrt=-+-+1(1)dttttV kSW-.(4)定义 1(可允许投资策略)假设0 ttT是0ttTF可测的,且满足20()d TtEt ,其中E 表示在统计概率测度P下的期望.如果方程(4)有唯一强解,则称策略t是一个可允许投资策略.令|0,ttT=表示所有可允许投资策略的集合.假设投资者的投资目标是使得终端财富的期望效用达到最大,即()max()tE U V T,(5)式中:()U 为效用函数.定义问题(5)的值函数为(,)max()|,tTttH t s vE U VSs Vv=,(6)其中边界条件(,)()H T s vU v=.应用随机动态规划原理,值函数(,)H t s v满足如下 HJB 方程:max(,)0th t s v=,(7)式中:0(,)(1)tvsh t s vHrvHsH=+-+22222222111(1)22ssvvk sHk v sH+-+10(1)(1)vvvHrvH-+2211(1)0vsksvH+-=,(8)这里tH、sH、vH是(,)H t s v关于 t、s、v 的一阶导数;ssH、vvH分别是(,)H t s v关于 s、v 的二阶导数;vsH是(,)H t s v关于 v、s 的混合偏导数.对方程(7),利用一阶最优条件可得 221*0112221(1)(1)(1),(1)vvstvvrHk sHvk sH+-=-(9)再将式(9)代入方程(8),得 106 宁波大学学报（理工版）2023 22201(1)2tvsssHrvHsHk sH+-+01(1)(1)vvsvvsvvvvrsH HsH HHH-222222012221(1)(1)0,2(1)2vvsvvvvrHk sHk sHH+-=-(10)其中边界条件(,)()H T s vU v=.2 最优投资策略最优投资策略 目前研究比较常用的效用函数有幂效用、指数效用和对数效用,而对数效用是幂效用的特殊情况,因此选取幂效用和指数效用作为决策的目标函数,确定最优投资策略以实现投资者的终端财富期望效用最大化.2.1 幂效用下的最优投资策略幂效用下的最优投资策略 假设投资者的效用函数是幂效用函数,满足()pvU vp=,(11)式中:1p-|=-|-.定理 2 指数效用下的最优投资策略*t为 2*1022211(1)(1)2()(1)(1)trsB tqvk sv-=+|-0(1)()er T t-.(25)证明 在式(24)所述指数效用函数情况下,猜测方程(10)的解满足 2()()()1(,)eq m t v A tB t sH t s vq-+=-,(26)其中边界条件()1m T=,()0A T=,()0B T=.值函数(,)H t s v关于 t、s、v 分别求导可得 222212242222222221(,),()(,)()(,),2()(,),4()4()2()(,),2()()(,)ttttvvvsssvsHq m vAB sH t s vHqm t H t s vHq m tH t s vHq sB t H t s vHqsBtqsB tq sB t H t s vHq m t sB t H t s v-|=-+=-=-|-|=(27)式中:tm是()m t对 t 的导数.再将式(27)代入式(10),可以得到如下方程:20(1)()(21)()ttmrm tvAk B t+-+2012(1)()1trsBB t-+-201221(1)(1)02(1)rqk-=-,(28)对方程(28)进行分离变量可得 0201201221(1)()0,(21)()0(1)2()1(1)(1)0.2(1),tttmrm tAk B tBr B trqk+-=+=-+-=-|(29)然后对式(29)求解,可以得到其方程解的表达式满足()00101(1)()212()0112012010112()110()e,(1)(1)()1e4(1)(1)21(1)(1)()4(1)(1)(1)1e.1,()2r T trt Trt Tm trB tr qkrA trqTtr-=-=-|-|+-=-|-|-|-|(30)将式(30)中的()m t、()B t、()A t代入式(27),再将式(27)中的vH、vvH、vsH代入式(9),可得*t满足 2101*2221(1)(1)2(1)(),(1)()trk qB tqvk sm t-+-=-(31)108 宁波大学学报（理工版）2023 最后由0(1)()()er T tm t-=可得最优投资策略*t由式(25)表示.下面考虑定理 2 的几个特殊情况当对市场中的资产收益不征收资本利得税时,指数效用函数下最优投资策略的表达式.注 4 当风险资产价格满足几何布朗运动,即0=时,指数效用函数下最优投资策略满足 0(1)()*10221(1)(1)e(1)r T ttrqvk-=-.(32)证明 将0=代入式(25)即可得到式(32).注5 当对市场中的资产收益不征收资本利得税,即010=时,指数效用函数下最优投资策略满足 2()*2()2()e 1(1e).2r T trT ttr srqvkr-=+-(33)证明 将010=代入式(25)即可得到式(33).注6 当风险资产价格满足几何布朗运动且对市场中的资产收益不征收资本利得税,即0=,0=10=时,指数效用函数下最优投资策略满足()*2()er T ttrqvk-=.(34)证明 将0=代入式(33)即可得到式(34).3 数值分析数值分析 本节给出幂效用和指数效用下最优投资策略*t的数值结果和经济学解释,分析模型参数、风险厌恶系数和资产收益所得税率对最优投资策略的影响.为了简便,仅分析0t=的情况,对于0t 的情况,采用相同方法即可得到最优投资策略.数值分析中的模型参数值部分参考文献18.初始财富的价值为 100,即0100Vv=.风险厌恶系数分别为4p=-,0.05q=.在整个数值分析过程中,除非另有说明,所有模型参数值见表 1.表 1 模型参数值 r 0 1 k 0.03 0.1 0.2 0.1