2023年本科经济数学多元函数的极限与连续偏导数全微分等完成页（教学课件）.ppt

定 义定 义1 1 设 函 数设 函 数),(yxfz 的 定 义 域 为的 定 义 域 为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正是其聚点，如果对于任意给定的正数数，总存在正数，总存在正数，使得对于适合不等式，使得对于适合不等式 20200)()(|0yyxxPP的 一 切的 一 切点，都有点，都有|),(|Ayxf成立，则称成立，则称 A A 为函数为函数),(yxfz 当当0 xx，0yy 时的极限，时的极限，记为记为 Ayxfyyxx),(lim00 （或（或)0(),(Ayxf这里这里|0PP ）.三、二元函数的极限三、二元函数的极限 第第196页定义页定义2 说明：说明：（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx3二元函数的极限运算法那么与一元函数类似二元函数的极限运算法那么与一元函数类似 例例4 4 求证求证 证证 01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx ,0 ,当当 时，时，22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原结论成立原结论成立 例例 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解 22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中 yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1 222yxyx x21,00 x.0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 例例 证明证明 不存在不存在 证证 26300limyxyxyx 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在（1）令令),(yxP沿沿kxy 趋向于趋向于),(000yxP，若，若极限值与极限值与k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在；（2）找 两 种 不 同 趋 近 方 式，使找 两 种 不 同 趋 近 方 式，使),(lim00yxfyyxx存 在，存 在，但 两 者 不 相 等，此 时 也 可 断 言但 两 者 不 相 等，此 时 也 可 断 言),(yxf在 点在 点),(000yxP处 极 限 不 存 在 处 极 限 不 存 在 确定极限确定极限不存在不存在的方法：的方法：定义定义 2 2 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点，如果对于任意给定的正数是其聚点，如果对于任意给定的正数，总 存 在 正 数总 存 在 正 数，使 得 对 于 适 合 不 等 式，使 得 对 于 适 合 不 等 式|00PP的 一 切 点的 一 切 点DP ，都 有，都 有|)(|APf成立，则称成立，则称 A A 为为n元函数元函数)(Pf当当0PP 时的极限，记为时的极限，记为 APfPP)(lim0.n元函数的极限元函数的极限利用点函数的形式有利用点函数的形式有 设设n元函数元函数)(Pf的定义域为点集的定义域为点集0,PD是其聚点且是其聚点且DP 0，如果，如果)()(lim00PfPfPP 则称则称n元函数元函数)(Pf在点在点0P处连续处连续.设设0P是函数是函数)(Pf的定义域的聚点，如果的定义域的聚点，如果)(Pf在点在点0P处不连续，则称处不连续，则称0P是函数是函数)(Pf的的间断点间断点.四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性 第第197页页 定义定义3 3 例例 讨论函数讨论函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性 解解 取取 kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在 故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续(0,0)是函数的间断点是函数的间断点 21),(xyyxfz二元函数的间断点可以是孤立点，也可二元函数的间断点可以是孤立点，也可以是一条曲线以是一条曲线.例如函数：例如函数：的间断点就是一条抛物线的间断点就是一条抛物线.2xy 五、闭区域上二元连续函数的性质五、闭区域上二元连续函数的性质第第198页页 在有界闭区域在有界闭区域D D上的二元连续函数，在上的二元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的二元连续函数，如果上的二元连续函数，如果在在D D上取得两个不同的函数值，那么它在上取得两个不同的函数值，那么它在D D上取上取得介于这两值之间的任何值至少一次得介于这两值之间的任何值至少一次 1最大值和最小值定理最大值和最小值定理 3介值定理介值定理 2有界性定理有界性定理 在有界闭区域在有界闭区域D D上的二元连续函数，在上的二元连续函数，在D D上一定有界上一定有界 二元初等函数：由二元多项式及根本初等函数二元初等函数：由二元多项式及根本初等函数经过有限次的四那么运算和复合步骤所构成的经过有限次的四那么运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的二元函数叫二元初等函可用一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数数 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的一切二元初等函数在其定义区域内是连续的 定义区域定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义域内的区域或闭区域).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 处连续，于是处连续，于是点点在在的定义域的内点，则的定义域的内点，则是是数，且数，且是初等函是初等函时，如果时，如果一般地，求一般地，求例例).32(lim22312yxyyxxyx求解解 22311231222原式.5例例.11lim00 xyxyyx 求求解：解：)11(11lim00 xyxyxyyx原式原式111lim00 xyyx.21 堂上练习题堂上练习题)12ln(12xyz、求定义域yxz、求定义域2xyz arcsin3、求定义域)1ln(44222yxyxz、求定义域221)ln(5yxxxyz、求定义域堂上练习题堂上练习题.)lnlim12201yxexyyx（、求.42lim200 xyxyyx、求.lim32200yxxyyx、求22()4l i mxyxyx y e 、求上节课内容小结：上节课内容小结：1、空间两点间距离公式、空间两点间距离公式 2、二元函数定义域确实定、二元函数定义域确实定 3、二元函数极限的定义和求法、二元函数极限的定义和求法 4、二元函数连续性的讨论、二元函数连续性的讨论 一、偏导数的定义及其计算方法一、偏导数的定义及其计算方法199页页 三、高阶偏导数三、高阶偏导数 第第202页页 偏增量比的极限偏增量比的极限 纯偏导纯偏导 混合偏导混合偏导 相等的条件相等的条件 第二节、偏导数全微分第二节、偏导数全微分 (199-206页页)二、偏导数的几何意义二、偏导数的几何意义 第第201页页 四、全微分四、全微分 第第203页页 定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某一邻的某一邻域内有定义，当域内有定义，当y固定在固定在0y而而x在在0 x处有增量处有增量x 时，相应地函数有增量时，相应地函数有增量 ),(),(0000yxfyxxf ，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，则称存在，则称此极限为函数此极限为函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对x的的偏导数，记为偏导数，记为一、偏导数的定义及其计算方法一、偏导数的定义及其计算方法 同 理 可 定 义同 理 可 定 义 函 数函 数),(yxfz 在 点在 点),(00yx处 对处 对y的 偏 导 数，的 偏 导 数，为为yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记 为记 为00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz，00yyxxxf，00yyxxxz或或),(00yxfx.如 果 函 数如 果 函 数),(yxfz 在 区 域在 区 域D内 任 一 点内 任 一 点),(yx处 对处 对x的 偏 导 数 都 存 在，那 么 这 个 偏 导 数的 偏 导 数 都 存 在，那 么 这 个 偏 导 数就 是就 是x、y的 函 数，它 就 称 为 函 数的 函 数，它 就 称 为 函 数),(yxfz 对对自 变 量自 变 量x的 偏 导 数，的 偏 导 数，记 作记 作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同 理 可 以 定 义 函 数同 理 可 以 定 义 函 数),(yxfz 对 自 变 量对 自 变 量y的 偏 导的 偏 导数，记 作数，记 作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.一阶偏导数的等价定义：一阶偏导数的等价定义：,),(),(lim),(0000000 xxyxfyxfyxfxxx,),(),(lim),(0000000yyyxfyxfyxfyyy偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如如 在在 处处 ),(zyxfu),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy.),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz三元函数的一阶偏导数的等价定义：三元函数的一阶偏导数的等价定义：,),(),(lim),(0000000000 xxzyxfzyxfzyxfxxx,),(),(lim),(0000000000yyzyxfzyxfzyxfyyy.),(),(lim),(0000000000zzzyxfzyxfzyxfzzz例例11 求求 223 yxyxz在点在点)2,1(处的偏导数处的偏导数解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213例例 2 2 设设yxz)1,0(xx，求证求证 zyzxxzyx2ln1 .证证 xz,1 yyx yz,lnxxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx.2 z 原结论成立原结论成立 例例 设设22arcsinyxxz ，求，求xz ，yz .解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy|)|(2yy yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx yyxx1sgn22 )0(y00 yxyz不存在不存在 例例 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程 RTpV （R为常数），求证：为常数），求证：1 pTTVVp.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pRRV.1 pVRT 偏导数偏导数xu是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；).0,0(),0,0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例如例如、求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解 xxfxx0|0|lim)0,0(0 0 000lim)0,0(0yyfyy.),()0,0(),(0)0,0(),(),(22的偏导数的偏导数求求设设yxfyxyxyxxyyxf 例例 解解,)0,0(),(时时当当 yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy,)()(22222yxyxx ,)0,0(),(时时当当 yx按定义可知：按定义可知：xfxffxx)0,0()0,(lim)0,0(0,00li