2023年不定积分在经济问题中的应用（教学课件）.ppt

经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 第第4 4章章 不定积分不定积分 4.1 4.1 不定积分的概念与基本积分公式不定积分的概念与基本积分公式 4 4.4 4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4 4.2 2 换元积分法换元积分法 4 4.3 3 分部积分法分部积分法 经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 )(xCC已知某边际成本函数已知某边际成本函数 ,固定成本为固定成本为 5000如何求总成本函数如何求总成本函数 .3272)(qqC经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 这类问题的求解思路：这类问题的求解思路：1.对边际函数求不定积分；对边际函数求不定积分；3.写出这个满足初始条件的经济函数。写出这个满足初始条件的经济函数。2.由给出的由给出的初始条件初始条件，确定积分常数，确定积分常数C；经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 例例1 1 已知某厂生产某产品总产量已知某厂生产某产品总产量 的变化率是时间的变化率是时间 的函数的函数 ,当当 时时 ,求该产品的求该产品的 总产量函数总产量函数 .)(tQt20136)(ttQ0t,0Q)(tQ分析分析:(1):(1)总产量的变化率即总产量函数的导数总产量的变化率即总产量函数的导数;(2)(2)即初始条件即初始条件 00，Qt时经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 解：解：因为因为 ,所以所以 20136)(ttQCttdtttQ2068)20136()(2(C为任意常数为任意常数)又因为又因为 时，时，0t0Q代入上式得代入上式得 故所求总产量函数为故所求总产量函数为 tttQ2068)(2例例1 1 经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 例例 分析分析:(1):(1)边际本钱即本钱函数的导数边际本钱即本钱函数的导数;(2)(2)固定本钱固定本钱50005000元即初始条件元即初始条件,产量为零时的本钱产量为零时的本钱 某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际 成本是成本是 ,且固定成本是且固定成本是5000元元.求总成本求总成本 C与月产量与月产量 的函数关系的函数关系.q3272)(qqC经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 解：解：(C0为任意常数为任意常数)又因为固定本钱为又因为固定本钱为5000元元,即即C(0)=5000,代入上式得代入上式得 于是所求函数为于是所求函数为:例例2 2 因为因为 ,所以所以 3272)(qqC033221272)(CqqdqqqCC0=5000,5000212)(3qqqC经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 例例3 3 x分析分析:(1):(1)总收入总收入R R的变化率即总收入函数的导数的变化率即总收入函数的导数;(2)(2)即初始条件即初始条件,为默认条件为默认条件 00，Rx 时 已知某产品生产已知某产品生产 个单位时总收入个单位时总收入R的变化率为的变化率为 求生产了求生产了50个单位产品时的总收入个单位产品时的总收入 )0(x100200)(xxR经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 解：解：(C为任意常数为任意常数)又因为又因为 时，时，0 x0R代入上式得代入上式得 所以总收入函数为所以总收入函数为 例例3 3 因为因为 ,所以所以 100200)(xxRCxxdxxdxxRxR200200100200)()(2200200)(2xxxR经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 例例4 4 p 已知某商品的最大需求量为已知某商品的最大需求量为A,有关部门给出这种有关部门给出这种 商品的需求量商品的需求量 的变化率模型为的变化率模型为 .其其 中中 表示商品的价格表示商品的价格,求这种商品的价格求这种商品的价格.QpApQ)21(2ln)(分析分析:(1):(1)最大需求量最大需求量A A可理解为价格为零时的需求可理解为价格为零时的需求,即即 ;(2)(2)需求量变化率即边际需求需求量变化率即边际需求;,0pAQ)0(经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 解：解：将将 ，0pAQ代入上式得代入上式得 所以这种商品的需求函数为所以这种商品的需求函数为 例例4 4 由由 ,积分得积分得 pApQ)21(2ln)(dpApQp)21(2ln)(dpAp)21(2lnCAp)21(pApQ)21()(经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 例例5 5 x分析分析:(1):(1)边际成本即成本函数的导数边际成本即成本函数的导数;(2)(2)假设商品的需求量假设商品的需求量 =商品的销售量商品的销售量 ;(3)(3)利润利润=收益收益-成本成本 xx 已知某种商品的需求函数已知某种商品的需求函数 ,其中其中 为为 需求量需求量(单位单位:件件),为单位价格为单位价格(单位单位:元元/件件).又已知此又已知此 种商品的边际成本为种商品的边际成本为 ,且且C(0)=10,试确定试确定 当销售单价为多少时当销售单价为多少时,总利润为最大总利润为最大,并求出最大总利润并求出最大总利润.px5100 xxC2.010)(px经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 解：解：由需求函数由需求函数 得收益函数得收益函数R:px5100)2.010(4.020 xx 令令 ，得，得 0)(xL50 x又又 2.0)(xL例例5 5 22.020)(xxxpxR故边际利润为故边际利润为)()(xCxRxLx2.010 故故 时时,利润最大利润最大 10,50px即经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 解：解：由初始条件由初始条件C(0)=10,可得可得C0=10 所以当所以当 时，时，时，总利润最大时，总利润最大,最大利润为最大利润为:240元元.50 x10p那么总本钱函数为那么总本钱函数为:故总利润函数为故总利润函数为 例例5 5 又由边际成本又由边际成本 ,可得可得 总成本函数总成本函数C:xxC2.010021.010)2.010()()(CxxdxxdxxCxC.1.01010)(2xxxC.1.01010)(2xxpL经济数学经济数学 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用 课堂练习课堂练习 某产品的边际本钱某产品的边际本钱MCMC2 2x,x,固定本钱固定本钱C0C0100100，边际收益，边际收益 MRMR20204x4x单位：万元单位：万元/台台。求求1 1总本钱函数总本钱函数C(x)C(x)；2 2收益函数收益函数R(x)R(x)；3 3生产量为多少台时，总利润最大。生产量为多少台时，总利润最大。总本钱函数总本钱函数 收益函数收益函数 边际利润边际利润 10022)(2xxxC2220)(xxxR183)(xxL当当 时利润最大。时利润最大。6x经济数学经济数学 4.3 分部积分法分部积分法 习题习题4 4 P98P98 6 69 9 作业作业