利用改进交叉模型交叉模态的随机模型修正方法_王炎.pdf

第 36 卷第 2 期2023 年 4 月振 动 工 程 学 报Journal of Vibration EngineeringVol.36 No.2Apr.2023利用改进交叉模型交叉模态的随机模型修正方法王炎1，陈辉1，2，黄斌1，柴满1（1.武汉理工大学土木工程与建筑学院，湖北 武汉 430070；2.武汉工程大学邮电与信息工程学院，湖北 武汉 430073）摘要:将混合摄动伽辽金方法和改进的交叉模型交叉模态技术相结合，提出了一种随机模型修正方法。该方法有效缓解了模型修正过程中测量数据有限和测量误差不确定的影响。考虑到实测模态数据具有不确定性，基于改进的交叉模型交叉模态方法，建立了一个新的描述结构随机参数和随机响应关系的模型修正方程。利用混合摄动伽辽金方法求解该随机修正方程，进而得到结构随机修正参数的统计特征。简支梁的数值结果表明，该方法在测量数据不确定性较大时仍能保持很高的修正精度，同时计算效率比蒙特卡罗模拟方法高出一个数量级。在测量模态数据较少的情况下，该方法比单独的混合摄动伽辽金修正方法修正效果好，且比交叉模型交叉模态法的修正精度更高。框架试验的结果表明，该方法可以同时修正结构的刚度和质量，修正后的结构参数与预设工况基本吻合，同时能复现结构的测量模态，从而验证了所提方法的有效性。关键词:随机模型修正；随机混合摄动伽辽金方法；改进的交叉模型交叉模态方法中图分类号:O324；TU311.4 文献标志码:A 文章编号:1004-4523（2023）02-0498-09 DOI：10.16385/ki.issn.1004-4523.2023.02.021引 言近几十年来，基于动力测量数据的有限元模型修正方法越来越受到关注。许多研究人员在这一领域进行了广泛的研究，并取得了大量研究成果14。在动力有限元模型修正中，修正参数的选择对修正结果有很大影响。如果修正参数过多，在修正过程中往往会出现病态问题，所以在修正模型之前首先要排除不敏感的修正参数5。关于动力有限元模型修正方法，Hu等6提出了一种基于交叉模型交叉模态（CMCM）方法的模型修正技术。与传统的模型修正方法不同，该方法可以同时修正结构的刚度矩阵、质量矩阵和阻尼矩阵。此外，该方法不用迭代计算，计算效率较高。在 CMCM 方法中，通过将结构的实测模态和计算模态相乘，就可以仅用少量的测量模态构建多个模型修正方程。李世龙等7利用 CMCM 方法，提出了一种有效识别子结构边界约束状态的模型修正方法。Wang 等8使用了 CMCM方法对海上平台进行了试验研究，证明了当结构的实际测量模态不完整且只有低阶测量模态可用时CMCM 方法的有效性。在已有的 CMCM 方法的基础上，Liu等9提出了一种基于改进的交叉模型交叉模态（ICMCM）的模型修正方法，该方法充分利用实测数据，进一步增加了修正方程的个数。然而，这些方法仅涉及确定性有限元模型修正，当结构参数的 不 确 定 性 或 者 测 量 噪 声 无 法 避 免 时，现 有 的CMCM 方法将不适用。因此，充分利用 CMCM 方法的优点，并将它融入随机模型修正中，是一项非常有意义的工作。在随机模型修正领域中，蒙特卡罗方法、摄动法以及贝叶斯方法被广泛使用。Schuller等10使用了具有大样本的蒙特卡罗模拟来计算模型修正的统计特性。宗周红等11在对下白石连续刚构桥进行模型修正的过程中，利用蒙特卡罗模拟方法和有限元方法进行不确定性量化分析，并评价模型的预测精度，实现对于连续刚构桥的有限元模型确认。但是对于大型结构而言，这种方法的计算效率太低，耗时过长。与蒙特卡罗方法不同的是，摄动法具有推导简单、计算效率高的特点。Hua 等12使用一种改进的摄动法，利用随机实测模态数据对桁架桥有限元模型进行修正，并估计了结构参数的均值和均方差。尽管摄动法的计算效率比较高，但其对测量误差的变异性要求比较苛刻。随机模型修正方法中，另一个具有代表性的方法是基于马尔可夫链与蒙特卡罗抽样的贝叶斯方法1315，但是基于此种抽样的贝叶斯方法会面临较大的挑战，即需要非常耗时的重复有限元计算。为了提高计算效率，Wan等16和 Fang收稿日期:2021-07-26；修订日期:2021-12-05基金项目:国家自然科学基金面上项目（51978545）。第 2 期王炎，等：利用改进交叉模型交叉模态的随机模型修正方法等17分别采用了高斯代理模型和随机响应面模型对原有的贝叶斯方法进行了改进。与上述方法不同，Huang 等18提出了一种基于混合摄动伽辽金方法（HPG）的随机模型修正方法（HPGSMUM），该方法在测量变异性较大情况下具有比较高的修正精度和效率，此方法也为确定性模型修正方法扩展到随机领域提出了一个新的思路和完整的框架。本文将随机摄动伽辽金方法与改进的交叉模型交叉模态方法结合，提出一种随机模型修正方法。该方法可利用含测量误差的少量模态测量数据实现结构有限元模型的有效修正。文中用一个简支梁的数值算例来验证该方法的有效性和不同模态组合的稳定性，并利用七层框架的模态试验来验证所提方法在较少测量模态情况下仍能同时有效地修正结构刚度和质量。1基于 ICMCM 的随机模型修正方程考虑具有 N 个自由度的无阻尼结构，该结构初始模型满足以下特征值方程：Kai=iMai；i=1，nc（1）式中 Ka和Ma分别为初始结构模型的整体刚度矩阵和质量矩阵；i和i分别为初始模型的第 i阶特征值和特征向量；nc为初始模型的计算模态的个数。类似地，实际结构的特征值方程可以表示为：Kdj=jMdj；j=1，nm（2）式中 Kd和Md分别为实际结构模型的整体刚度矩阵和质量矩阵；j和j分别为实际模型的第 j阶特征值和特征向量；nm为实际模型的计算模态的个数。初始结构与实际结构的质量矩阵、刚度矩阵存在以下关系：Md=Ma+n=1NenMn（3）Kd=Ka+n=1NenKn（4）式中 Ne为结构的单元个数；Kn和Mn分别为结构第 n 个单元的N N单元组装矩阵；n和n分别为结构第 n 个单元的刚度和质量的修正系数，表示实际结构的单元刚度和质量相对于初始矩阵的变化率。通过文献 6 可以得到确定性的基于交叉模型交叉模态的模型修正方程为：1+n=1NenTiKnjTiKaj=ji(1+n=1NenTiMnjTiMaj)（5）对式（5）进行因式变换可以得到：n=1NenTiKnjTiKaj-n=1NenjiTiMnjTiMaj=ji-1（6）通过求解式（6）所示的方程组可以得到刚度和质量的修正系数n和n。但是由于在实际的模态测量中只能精确测量出前几阶模态，使得修正系数方程组的方程个数比较少，导致求解结果不正确且不稳定。因此 Liu等9对传统的 CMCM 方法进行改进，充分利用测量模态数据，在式（2）方程两边同时乘Tj，得到如下所示的基于 ICMCM 的模型修正方程：Ti(Ka+n=1NenKn)j=TjTi(Ma+n=1NenMn)j（7）对式（7）进行因式变换，可以得到：n=1NenTiKnj-n=1NenTiMnj=TjTiMaj-TiKaj（8）显然，式（8）也含有与方程（6）相同的修正系数，结合式（6）和（8），就可以得到更多的修正方程，确保修正方程的适定性。在实际结构的模态试验过程中，不可避免地会遇到测量误差。假定第 j阶的特征值和特征向量可以表示为：j=0j+j1j（9）j=0j+j1j（10）式中 0j和0j分别为测量的第 j阶特征值和特征向量均值；1j和1j分别为第 j阶测量误差的确定性部分；j为与测量误差相关的随机变量，且随机变量的分布类型由实测数据的统计特征或者是工程经验决定。假设所有随机变量j完全相关，并且表示为随机变量，则第 n个刚度单元和质量单元的修正系数可以分别用下式表示：n()=n0+n1+n22+（11）n()=n0+n1+n22+（12）式中 ni(i=1，2，)和ni(i=1，2，)分别为展开式中的确定性系数。同样，将式（9）（12）代入到式（6）和（8）中，可以得到基于改进交叉模型交叉模态的随机模型修正方程为：n=1Ne(n0+n1+n22+)TiKn(0j+1j)+n=1Ne-(n0+n1+n22+)jTiMn(0j+1j)=(0j+1j)TiMa(0j+1j)-TiKa(0j+1j)（13）499振 动 工 程 学 报第 36 卷n=1Ne(n0+n1+n22+)(0j+1j)TKn(0j+1j)+n=1Ne-(n0+n1+n22+)(0j+1j)(0j+1j)TMn(0j+1j)=(0j+1j)(0j+1j)TMa(0j+1j)-(0j+1j)TKa(0j+1j)（14）这里，式（13）和（14）也是关于ni(i=0，1，2，)和ni(i=0，1，2，)的随机代数方程。2随 机 模 型 修 正 方 程 的 HPG 方 法求解首先采用高阶摄动法，递推求解对应多项式基0，1，2，的方程。考虑与式（13）和（14）中与0对应的项，有：n=1Nen0TiKn0j+n=1Ne(-n0jTiMn0j)=0jTiMa0j-TiKa0j（15）n=1Nen0T0jKn0j+n=1Ne(-n00jT0jMn0j)=0jT0jMa0j-T0jKa0j（16）将式（15）和（16）写为以下矩阵形式：C(0)E(0)(0)=f(0)（17）C(0)E(0)(0)=f(0)（18）式中(0)=(0)(0)T。式（17）和（18）中矩阵C(0)，E(0)，C(0)，E(0)以及向量f(0)，f(0)，(0)和(0)中的元素表示如下：C(0)pn=TiKn0j，E(0)pn=-0jTiMn0j，C(0)qn=T0jKn0j，E(0)qn=-0jT0jMn0j，f(0)p=0jTiMa0j-TiKa0j，(0)n=n0，f(0)q=0jT0jMa0j-T0jKa0j，(0)n=n0式中 下标 p 或 q 代表矩阵的第 p 或第 q 行；下标 n代表矩阵的第 n 列。假定测量的模态数为 s，则p=j+(i-1)s，q=j+(j-1)s。合并式（17）和（18），可得：C(0)I E(0)I(0)=f(0)I（19）式中 C(0)I=|C(0)C(0)，E(0)I=|E(0)E(0)，f(0)I=|f(0)f(0)。类似地，考虑与式（13）和（14）中与1对应的项，有：C(0)E(0)(1)+C(1)E(1)(0)=f(1)（20）C(0)E(0)(1)+C(1)E(1)(0)=f(1)（21）式中(1)=(1)(1)T。式（20）和（21）中矩阵C(1)，E(1)，C(1)，E(1)以及向量f(1)，f(1)，(1)和(1)中的元素表示如下：C(1)pn=TiKn1j，E(1)pn=-0jTiMn1j，C(1)qn=T0jKn1j+T1jKn0j，E(1)qn=-0jT0jMn1j-0jT1jMn0j-1jT0jMn0j，f(1)p=(0j-i)TiMa1j+1jTiMa0j，f(1)q=1jT0jMa0j+0jT0jKa1j+0jT1jMa0j-T0jKa1j-T1jKa0j，(1)n=n1，(1)n=n1。将式（20）和（21）合并，可得：C(0)I E(0)I(1)+C(1)I E(1)I(0)=f(1)I（22）式中C(1)I=|C(1)C(1)，E(1)I=|E(1)E(1)，f(1)I=|f(1)f(1)。然后，考虑二阶多项式基2，可以得到：C(0)E(0)(2)+C(1)E(1)(1)=f(2)（23）C(0)E(0)(2)+C(1)E(1)(1)+C(2)E(2)(0)=f(2)（24）式中(2)=(2)(2)T。式（23）和（24）中矩阵C(2)，E(2)以及向量f(2)，f(2)，(2)和(2)中的元素表示如下：C(2)qn=T1jKn1j，f(2)p=1jTiMa1j，E(2)pn=-1jT0jMn1j-1jT1jMn0j-0jT1jMn1j，f(2)q=1jT0jMa1j+1jT1jM0j+0jT1jM1j-T1jK1j，(2)n=n2，(2)n=n2。综合式（23）和（24