2023学年辽宁庄河市高级中学高三最后一模数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，且，则等于（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A．240 B．264 C．274 D．282 3．设，是双曲线的左，右焦点，是坐标原点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．将函数f(x)=sin 3x-cos 3x+1的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论： ①它的图象关于直线x=对称； ②它的最小正周期为； ③它的图象关于点(，1)对称； ④它在[]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 5．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A． B． C． D． 6．已知集合，则等于（ ） A． B． C． D． 7．函数（）的图像可以是（ ） A． B． C． D． 8．已知，，，若，则正数可以为（ ） A．4 B．23 C．8 D．17 9．等差数列中，，，则数列前6项和为（） A．18 B．24 C．36 D．72 10．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（　　） A．2 B． C．3 D．4 11．已知平面平面，且是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（ ） A． B．16 C． D． 12．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是_____，_____． 14． “北斗三号”卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,,则“北斗三号”卫星运行轨道的离心率为__________. 15．已知向量满足，，则______________. 16．在边长为2的正三角形中，，则的取值范围为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）的内角所对的边分别是，且，. （1）求； （2）若边上的中线，求的面积. 18．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），焦点F到准线的距离为3，抛物线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．线段AB的垂直平分线与x轴交于点 C． （1）求抛物线E的方程； （2）求△ABC面积的最大值． 19．（12分）我国在贵州省平塘县境内修建的500米口径球面射电望远镜（FAST）是目前世界上最大单口径射电望远镜.使用三年来，已发现132颗优质的脉冲星候选体，其中有93颗已被确认为新发现的脉冲星，脉冲星是上世纪60年代天文学的四大发现之一，脉冲星就是正在快速自转的中子星，每一颗脉冲星每两脉冲间隔时间（脉冲星的自转周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最长的也不过11.765735秒.某-天文研究机构观测并统计了93颗已被确认为新发现的脉冲星的自转周期，绘制了如图的频率分布直方图. （1）在93颗新发现的脉冲星中，自转周期在2至10秒的大约有多少颗？ （2）根据频率分布直方图，求新发现脉冲星自转周期的平均值. 20．（12分）已知关于的不等式有解. （1）求实数的最大值； （2）若，，均为正实数，且满足.证明：. 21．（12分）已知函数 （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）若方程有两个不同实根，，证明：． 22．（10分）如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设． （1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域； （2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？ 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 由已知结合向量垂直的坐标表示即可求解． 【题目详解】 因为，且， ， 则． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查了向量垂直的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题． 2、B 【答案解析】 将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案. 【题目详解】 由三视图可得，该几何体的直观图如图所示， 延长交于点， 其中，，， 所以表面积. 故选B项. 【答案点睛】 本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题 3、B 【答案解析】 设过点作的垂线，其方程为，联立方程，求得，，即，由，列出相应方程，求出离心率. 【题目详解】 解：不妨设过点作的垂线，其方程为， 由解得，，即， 由，所以有， 化简得，所以离心率． 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解、推理论证能力，属于中档题． 4、B 【答案解析】 根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可. 【题目详解】 因为f(x)=sin 3x-cos 3x+1=2sin(3x-)+1，由图象的平移变换公式知， 函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期为，故②正确； 令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是对称轴，故①错误； 令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函数g(x)的图象关于点(，1)对称，故③正确； 令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④错误； 故选：B 【答案点睛】 本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型 5、C 【答案解析】 根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解． 【题目详解】 ，， ，． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查正态分布的应用．掌握正态曲线的性质是解题基础．随机变量服从正态分布，则． 6、C 【答案解析】 先化简集合A，再与集合B求交集. 【题目详解】 因为，， 所以. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题. 7、B 【答案解析】 根据，可排除，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果. 【题目详解】 由题可知：， 所以当时，， 又， 令，则 令，则 所以函数在单调递减 在单调递增， 故选：B 【答案点睛】 本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题. 8、C 【答案解析】 首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可； 【题目详解】 解：∵，∴当时，满足，∴实数可以为8. 故选：C 【答案点睛】 本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题. 9、C 【答案解析】 由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果. 【题目详解】 ∵等差数列中，，∴，即， ∴， 故选C. 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题. 10、C 【答案解析】 根据等差数列的求和公式即可得出． 【题目详解】 ∵a1=12，S5=90， ∴5×12+ d=90， 解得d=1． 故选C． 【答案点睛】 本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11、C 【答案解析】 根据与平面所成的角相等，判断出，建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程，由此求得点的轨迹长度. 【题目详解】 由于平面平面，且交线为，，所以平面，平面.所以和分别是直线与平面所成的角，所以，所以，即，所以.以为原点建立平面直角坐标系如下图所示，则，，设（点在第一象限内），由得，即，化简得，由于点在第一象限内，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以点的轨迹长度为. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查线面角的概念和运用，考查动点轨迹方程的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 12、A 【答案解析】 求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案． 【题目详解】 满足条件的正如下图所示： 其中正的面积为， 满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示， 阴影部分区域的面积为. 则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数的共轭复数和的模． 【题目详解】 ，则复数的共轭复数为，且. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题． 14、 【答案解析】 画出图形，结合椭圆的定义和题设条件，求得的值，即可求得椭圆的离心率，得到答案. 【题目详解】 如图所示，设椭圆的长半轴为，半焦距为， 因为地球半径为R,若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是,, 可得，解得， 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的离心率的求解，其中解答中熟记椭圆的几何性质，列出方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 15、1 【答案解析】 首先根据向量的数量积的运算律求出，再根据计算可得； 【题目详解】 解：因为， 所以 又 所以 所以 故答案为： 【答案点睛】 本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题. 16、 【答案解析】 建立直角坐标系，依题意可求得，而，，，故可得，且，由此构造函数，，利用二次函数的性质即可求得取值范围． 【题目详解】 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设，，，， 根据，即，，，则， ，即，，，则，， 所以， ， ，，， ，且， 故， 设，，易知二次函数的对称轴为， 故函数在，上的最大值为，最小值为， 故的取值范围为． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1），（2） 【答案解析】 （1）先由正弦定理，得