具比例时滞四元数值中立型C...berg神经网络稳定性分析_陈展衡.pdf

2023 年 3 月伊犁师范大学学报（自然科学版）Mar.2023第 17 卷 第 1 期Journal of Yili Normal University（Natural Science Edition）Vol.17 No.1具比例时滞四元数值中立型Cohen-Grossberg神经网络稳定性分析陈展衡1，2（1.伊犁师范大学 数学与统计学院，新疆 伊宁835000；2.伊犁师范大学 应用数学研究所，新疆 伊宁835000）摘要：主要研究具比例时滞四元数值中立型Cohen-Grossberg神经网络的稳定性.通过利用M-矩阵理论、同胚映射原理、Lyapunov函数、线性矩阵不等式等技术，得到了系统平衡点的存在唯一性和全局指数稳定性的充分条件；最后通过数值仿真验证所得结果的有效性和正确性.关键词：四元数；比例时滞；中立型Cohen-Grossberg神经网络；稳定性中图分类号：O175.13文献标识码：A文章编号：2097-0552（2023）01-0001-080引言引言Cohen-Grossberg（C-G）神经网络是由Cohen和Grossberg两人提出，并且C-G神经网络在神经处理系统中发挥着重要的作用，广泛应用于实际问题中，如图像处理、并行计算、模式识别、优化和控制等.由于其应用的广泛性，学者们纷纷对此进行研究.四元数是超复数，包含1个实部和3个独立的虚部，可以完美地拟合三维和四维特征向量，例如图像处理中的（R，G，B）通道或空间坐标的三维特征.因此四元数神经网络（QVNN）也成为近期相关研究领域中的一个热点.文献 1 对四元数做了一些综述.文献 2 对一类具有不可微分时滞的四元数域神经网络的全局稳定进行研究，该文献将QVNN系统分解为2个CVNN系统进行研究.文献 3，4 同样也将QVNN分解为2个CVNN系统研究.文献 5 将QVNN分解为4个RVNN.文献 9 利用四元数代数性质推导四元数值C-G神经网络系统平衡点的稳定性.文献 10 采用了一种最优算法确定不同四元数的大小，从而解决了一类惯性四元数值 Cohen-Grossberg 神经网络的同步和状态估计问题.以上研究主要集中在四元数值神经网络的研究上，而四元数内的中立型C-G神经网络研究还很少，这也是本文的研究动机之一.由于实际应用的复杂性，时滞不可避免地存在，而比例时滞是一种特殊的时滞情况，它比一般的时滞系统具有更广泛的应用价值，比例时滞系统的研究同样也是近十年兴起的一个热点.比例时滞是时滞中特殊的一类时滞，具有很强的无界性.文献 11 研究了一类具比例时滞的Hopfield神经网络的全局渐近稳定性.文献 12 研究了一类具比例时滞的细胞神经网络的全局渐近稳定性.文献 14 研究了一类具比例时滞脉冲二阶Hopfield神经网络的全局指数稳定性.而应用到四元数域内的研究很少.收稿日期：2022-08-18基金项目：国家自然科学基金资助项目（61663045）.作者简介：陈展衡（1975），男，新疆伊宁人，副教授，研究方向：神经网络理论及应用.伊犁师范大学学报（自然科学版）2023年基于以上文献研究，本文拟研究具比例时滞四元数值中立型Cohen-Grossberg神经网络的一些稳定性特性.1预备知识预备知识1.1四元数的定义及性质R，C，Q分别代表实数域、复数域、四元数域.四元数的定义是跟实数域相结合的，1个四元数可以表示成下面的形式：h=h0+h1i+h2j+h3k,h Q.其中系数h0,h1,h2,h3 R，并且虚数单位i,j,k满足条件：i2=j2=k2=ijk=-1，ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=j,显然四元数不满足乘法交换律.四元数h=h0+h1i+h2j+h3k的共轭用h*表示，定义如下：h*=h0-h1i-h2j-h3k.h的模用|h=h02+h12+h22+h32表示；h的范数用 h=h02+h12+h22+h32表示.对于矩阵A,AT,A,A*分别代表矩阵的转置、共轭、共轭转置.若A=()apqn n Qn n，则A的范数为 A=p=1nq=1n|apq2.1.2模型描述具比例时滞四元数值中立型C-G神经网络系统x?()t+Ex?()qt=()x()t()-()x()t+Af()x()t+Bg()x(qt+U.（1）其 中，x?()=()x?1(),x?2(),x?n()T Qn代 表 神 经 网 络 状 态 变 量，()x()t=diag()1(),2(),n()Qn代表放大函数，()=()1(),2(),n()T Qn代表固有函数，f()=()f1(),f2(),fn()T Qn,g()=()g1(),g2(),gn()T Qn分别代表有时滞和无时滞的激活函数，U=()u1,u2,unT Qn代表外部输入，E=()epqn n Qn n代表中立型时滞连接权重，A=()apqn n Qn n,B=()bpqn n Qn n分别表示无时滞和有时滞连接权重，比例时滞因素q:0q1，并且满足qt=t-()1-qt，qt为C-G神经网络的比例时滞.系统（1）的初始状态为：x()s=w()s Q，qs1.1.3模型假设为保证文章的有效性和连贯性，现给出本文中用到的假设和引理：假设1设f(),g()满足在四元数域内，则对于任意的,Q，存在L1 0,L2 0，有|f()-f()L1|-,|g()-g()L2|-.假设2()满足,存在W 0，有|W|-|()-().假设3()x()t连续有界，D1()x()tD2.引理17如果f()v:Qn Qn是1个连续的映射,且满足下面2个条件:（1）f()v 在Qn上是单射.（2）若 v+,则f()+，就说f()是Qn自身的同胚.引理25对于矩阵P=()pijn n Rn n,如果所有非对角元数pij0,i j,以下的陈述是等价的：（1）P为M矩阵；（2）P各阶顺序主子式均为正；2陈展衡：具比例时滞四元数值中立型Cohen-Grossberg神经网络稳定性分析第1期（3）存在 Rn 0,使得P 0；（4）P的所有特征根的实部为正.引理39对任意的x,y Qn,存在正定的Hermitian矩阵P Qn n,有x*y+y*xx*Px+y*P-1y.引理48设A Qn n，对任意的x,y Qn，以下不等式成立：x*A*Ax|xT|AT|A|x,x*A*y+y*Ax|xT|AT|y+|yT|A|y.2主要结论主要结论在这一部分，首先证明具比例时滞四元数值中立型C-G神经网络存在唯一的平衡点，其次证明系统平衡点具有全局指数稳定性.定理1在假设 12成立的情况下，如果=|W-|A L1-|B L2，是 M 矩阵，则系统（1）存在唯一的平衡点.证明：设H()z=-()z+Af()z+Bg()z+U.（2）首先证明单射，存在z1 z2,有H()z1-H()z2=-()z1+Af()z1+Bg()z1+()z2-Af()z2-Bg()z2()|A L1+|B L2-|W|z1-z2,又=|W-|A L1-|B L2,是非奇异M矩阵,当且仅当z1=z2时，H()z1=H()z2,所以H()z 是单射.下证当 z 时，H()z：z*()H()z-H()0+()H()z-H()0*z=2Rez*(H(z)-H(0)=2Rez*(-(z)+(0)+Af(z)-Af(0)+Bg(z)-Bg(0)2Re(-|W+|A L1+|B L2)|z2-2min()z2.因此2min()z22 zH()z-H()02 z()H(z)+H(0).所以当 z 时，H()z,则H()z是Qn自身的同胚.定理1证毕.注1设x?是系统（1）的平衡点，令y=x-x?,就可以得到以下四元数值中立型C-G神经网络模型：y?()t+Ey?()qt=()y()t()-()y()t+Af()y()t+Bg()y(qt).（3）其中()y()t=()y()t+x?,()y()t=()y()t+x?-()x?,f()y()=f()y()+x?-f()x?,g()y()=g()y()+x?-f()x?.接下来进一步研究平衡点的稳定性：定理2在假设成立的条件下，如果存在正定的对角矩阵P1,P2,R1,R2,Q1,Q2以及0，使得下面的LMI成立：3伊犁师范大学学报（自然科学版）2023年=|11|WT|D2TQ10|WT|D2TQ2+P1|EP1|D2T|AP1|D2T|B*-QT1-Q10QT1|E-Q2QT1|D2T|AQT1|D2T|B*-qP2000*-QT2|E-|ETQ2QT2|D2T|AQT2|D2T|B*-R10*-qR2 0,（4）其中11=-|WT|D1TP1-P1|D1|W+L1R1L1+L2R2L2+P1+P2,则系统（3）是全局指数稳定的.证明：设李雅普洛夫函数为V()t=ety*()t P1y()t+qttesy*()s P2y()s ds+qttesg*()y()sR2g()y()sds,（5）对（5）求导得V?()t=ety*()t P1y()t+ety?*()t P1y()t+ety*()t P1y?()t+ety*()t P2y()t-qeqty*()qt P2y()qt+etg*()y()tR2g()y()t-qeqtg*()y(qt)R2g()y(qt)=ety*()t P1y()t-et*()y()t*()y()tP1y()t+etf*()y()tA*()y()tP1y()t+etg*()y(qt)B*()y()tP1y()t-ety?*()qt E*P1y()t-ety*()t P1()y()t()y()t+ety*()t P1()y()tAf()y()t+ety*()t P1()y()tBg()y()qt-ety*()t P1Ey?()qt+ety*()t P2y()t-qeqty*()qt P2y()qt+etg*()y()tR2g()y()t-qeqtg*()y()qtR2g()y(qt),（6）又存在正定的对角矩阵R1,R2，使得下列不等式成立：ety*()t L1R1L1y()t-etf*()y()tR1f()y()t0,（7）ety*()t L2R2L2y()t-etg*()y()tR2g()y()t0.（8）且对于系统（2）有0=()etQ1y?()t+eqtQ2y?(qt)*()y?()t-y?()t+()y?()t-y?()t*()etQ1y?()t+eqtQ2y?(qt)=-ety?*()t QT1y?()t-ety?*()t QT1Ey?()qt-ety?*()t QT1()y()t()y()t+ety?*()t QT1()y()tAf()y()t+ety?*()t QT1()y()tBg()y(qt)-eqty?*()qt QT2y?()t-eqty?*()qt QT2Ey?()qt-eqty?*()qt QT2()y()t()y()t+eqty?*()qt QT2()y()tAf()y()t+eqty?*()qt QT2()y()tBg()y(qt)-ety?*()t Q1y?()t-ety?*()qt E*Q1y?()t-et*()y()t*()y()tQ1y?()t+etf*()y()tA*()y()tQ1y?()t+etg*()y()qtB*()y()tQ1y?()t-eqty?*()t Q2y?()qt-eqty?*()qt E*Q2y?()qt-eqt*()y()t*()y()tQ2y?()qt+eqtf*()y()tA*()y()tQ2y?()qt+eqtg*()y()qtB*()y()tQ2y?()qt，（9）综合（5）（9）可得V?()t ety*()t P1y()t-et*()y()t*()y()tP1y()t+etf*()y()tA*()y()tP1y()t+etg*()y()qtB*()y()tP1y()t-ety?*()qt E*P1y()t-ety*()t P1()y()t()y()t+ety*()t P1()y()tAf()y()t+ety*()t