关于一类poly-Dedekind_DC和的研究_马元魁.pdf

西北大学学报（自然科学版）年 月，第 卷第 期，（）收稿日期：基金项目：国家自然科学基金（，）第一作者：马元魁，女，山东青岛人，教授，从事数论及其应用研究，。数论关于一类 和的研究马元魁，罗玲玲，李红泽（西安工业大学 基础学院，陕西 西安；光云大学 数学系，韩国 首尔；上海交通大学 数学科学学院，上海）摘要 研究了 和的一个新的推广 和。和中的 函数替换成了由 函数定义的 函数。利用 函数的定义、第二类 数的定义、多项式的定义，得到了此类 函数满足的一些恒等式，包括此类 数与第二类 数之间的关系，以及此类 多项式与 多项式、第二类 数之间的关系，并证明了此 和满足互反关系。正如经典的 和一样，可进一步探讨其与模形式、函数以及三角和的关系。关键词 和；函数；多项式中图分类号：，（，；，；，），；关于 和以及各种类似和式的研究在解析数论、模形式、特殊函数理论、代数数论、组合几何、拓扑学以及算法复杂性研究中占有举足轻重的位置，并和 函数的转化公式、类数、格点问题、函数的特殊值问题、群在流形上的作用以及随机数生成器等问题密切相关。研究了推广的 和，把 和中第一类 函数替换成任意 函数，并得到了一个互反公式。（，）?()（）式中：?（）（）为 函数；（）为 多项式。定义为 （）！式中，表示不超过 的最大整数。作为 广义 和的推广，等研究了用第二类 函数定义的 和。等研究了用 函数定义的 和。（）（，）?（）()（）式中，?（）（）（）（），且（）（）（）。研究了 和（，）（）?()，（，）（）式中，?（）（）为 函数，。等研究了 和，把 和中 函数替换成用 函数定义的 函数。（）（，）（）?（）()（）式中：，；?（）（）为 函数；?（）（）（）（）。研究了 和的三角函数表示，并得到了它与其它一些函数或者和式的关系，如 函数、函数、函数、和等。此外，和 研究了推广的 和，推广了经典的 和，可以用 模形式、余切函数或 多重 函数的特殊值表示。他们证明了这些和式满足互反关系，并能从中推导出一些著名的互反关系。本文的目的是探索与模形式、函数以及三角和等有关的新的形式的和。本文进一步推广了 和，研究了 和，用 函数定义 函数，并证明它满足互反关系。（）（，）（）（，）（）（）！|（，）（）（）（）?()（）式中：，；（）；（）；。当 时，此互反公式退化成 和的互反公式（见推论）。（，）（，）（）（）（）?()，式中：，；（）；（）。预备知识首先回顾一些符号和定义。已知 多项式定义如下 （）！（）式中，（）称为 数。由式（）可以得到（）|，（）（）易知，数，。由式（）还可以得到（），（），表示 符号。由式（）可以推出（）（）（），（）（）已知 函数定义为（），（），（）当 时，（）（）。设 是非负整数，第二类 数定义第 期 马元魁，等：关于一类 和的研究为，！（）（，）！，（）（）由 函数定义的 和 对每一个整数，定义 多项式如下（）（）（）（）！（）当 ，（）（）（），称为 数。易见，对于任意的 ，（）（）（）。由式（）容易得到（），（），以及（）（）|（），（）（）把 和中 函数替换成用 函数定义的 函数，定义 和为（）（，）（）?（）()（）式中：，；?（）（）为 函数；?（）（）（）（）。由式（）有（）（）（）！（）因此，可得（）（）！()（）（）（）（）！（）另一方面，（）（）（）！（）（）！（，）（）！（）！（，）()！（）因此，由式（）和式（）可得如下定理。定理 对于任意 ，有（）（）（）（）！（，）。令 ，由定理 可得如下推论。推论 对于任意 ，有（）（）！（，），式中，表示 符号。接下来的引理同文献 中的引理、引理、定理 及定理。引理 对于，且 ，有|（）|（）（）|（）（）。引理 对于 ，有|（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）。引理对于 且 （），（）且 ，有（）（，）|（）（）（）（）（）|（）引理对于，且（，），（），有（）|（）()()|（）（）（）对于 且 （），有（）（）！（）（）（）（）（）（）西北大学学报（自然科学版）第 卷 （）（）（）()（）()！（）（）()！（）！（，）（）！（）()！（）（，）！|()！（）（，）！（）因此，由式（）可以得到如下定理。定理 对于，且（），有（）（）|()！（）（，）。对于，且（），（），由式（）和定理，有（）（，）（）（，）（）?（）()（）()?（）()（）|！（）（，）?()（）|！（）（，）?()（）（）|?()！（，）（）（）（）|?()！（，）（）（）（）（）（）?()！（，）|（）（）（）（）（）?()！（，）|（）（）！（，）|（）（）（）（）?()（）因此，由式（）可以得到 和的互反公式如下。定理 对于，且 （），（），有（）（，）（）（，）（）！（，）|（）（）第 期 马元魁，等：关于一类 和的研究 （）（）?()。当 ，由推论 可知，以上定理可以退化成 和的互反公式。推论对于，且 （），（），有（，）（，）（）（）（）?()。结语 和及其推广是由 函数及其推广定义的，和及其推广是由 函数及其推广定义的，而且它们都满足互反关系。作为 和的进一步推广，本文研究了 和，由 函数定义了 函数，并证明了它满足互反关系。参考文献 ，（）：，：，：，（）：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：，（）：（编 辑 张 欢）西北大学学报（自然科学版）第 卷