几何画板在中考数学中的应用_陈咸存.pdf

第 25 卷 第 2 期 宁波教育学院学报 Vol.25 No.2 2023 年 4 月 JOURNAL OF NINGBO INSTITUTE OF EDUCATION Apr.2023 收稿日期：2022-12-27 基金项目：宁波市教育科学规划重点课题“信息技术与初中数学深度融合的实践与研究”（2020YZD025）作者简介：陈咸存（1964-），男，浙江宁波人，教授，研究方向：数学教育、信息技术、STEM 教育。几何画板在中考数学中的应用 陈咸存（宁波幼儿师范高等专科学校 鹤琴学前教育学院，浙江 宁波 315336）摘要：用几何画板对中考数学题进行精准绘图，可通过点的动态演示得到相应点的轨迹或函数图像，在数学实验中进行直观探究、猜想并获得解题思路。运用几何画板辅助数学教学，不仅有利于提高数学教师信息技术与数学的深度融合能力，而且有助于培养学生的直觉思维与创新思维，实现学生的深度学习，进而切实减轻学生的学业负担。关键词：几何画板；可视化探究；直觉思维；深度学习 中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1009-2560（2023）02-0107-04 以2022年浙江省中考数学题为例，从动态演示、构图推广和探究猜想等方面用几何画板来辅助数学解题，改变学生的数学学习方式，使“学数学”变为“做数学”1-2，获得直观的解题思路3-4，进而获知解的存在及解的个数，实现信息技术与数学的深度融合5-6。限于篇幅，详细解题过程略。一、动态演示 例 1：如图 1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，CDBE，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知3,5=BEBC，点P、Q分别在线段AB、BE上（不与端点重合），且满足 45=BQAP，设yCPxBQ=,。（1）求半圆 O 的半径；（2）求y关于x的函数表达式；（3）如图 2，过点P作CEPR 于点R，连结PQ、RQ，当PQR为直角三角形时，求x的值，作点F关于QR的对称点F，当点F 落在BC上时，求BFCF的值。（2022 温州市中 考数学 24 题）QDFAOEBCP RQDFAOEBCP 图 1 图 2（一）构图 如图 1 所示，可计算得圆 O 的半径 815=r，且4=CE，在几何画板绘图板任作 一点C，选中点C用变换菜单中的平移在直 角坐标系下平移水平方向固定距离45、2、825、4、5 且垂直方向固定距离为 0 分别得点 A、C、O、C、B，依次选中点C、C 用构造中的以圆心和圆周上的点作圆画一半径为4 的圆，依次选中点B、C 用构造中的以DOI:10.13970/ki.nbjyxyxb.2023.02.006108 宁波教育学院学报 2023 圆 心 和 圆 周 上 的 点 作 圆 画 一 个 半径为 3 的圆，两圆相交于点E，连接BC、CE、EB，如图 3。依次选中点O、B、A用构造中的圆上的弧得半圆，交BE于点F，切CE于点D。选中线段AB用构造中的线段上的点得线段AB上的点P，选中点A、P用度量中的距离得35.1=AP，用数据中的计 算得08.154=AP，即为BQ的长，依次选中点B、“度量值08.154=AP”用构造中的以 圆心和半径作圆交BE于点Q，如图 3。隐藏一些对象可得图 1。图 2 所示，选中点P、线段BE用构造中的平行线得平行线交CE于点R，隐藏平行线，连接PR、RQ、QP可得图 2。45AP=1.08厘米AP=1.35厘米QDFAOECC“BCP 图 3 yxCP=2.60厘米BQ=1.08厘米42L01 图 4（二）演示 演示一：如图 4，选中点B、Q用度量中的距离得1.08BQ=，选中点C、P用度量中的距离得2.60CP=，依次选中“度量值1.08BQ=”“CP=2.60”用绘图中的绘制点得点L，选中点P、L用构造中的轨迹得图 4，可见y是x的一次函数。也可对点P作动画动态演示点L的痕迹。演示二：如图 5，将编辑中的参数选项“角度”单位选为弧度，依次选中点Q、P、R用度量中的角度得1.76QPR=，依次选中“度量值1.08BQ=”“1.76QPR=”用绘图中的绘制点得点M，选中点P、M用构造中的轨迹得图 5，可见有唯一的x使得090QPR=。演示三：如图6，双击线段QR，选中点F用变换中的反射得点F关于QR的对称点F，选中点P、F用构造中的轨迹得点F的轨迹，如图 6，可见对称点F有且仅有一点落在BC上。yx QPR=1.76弧度BQ=1.08厘米M4201 FRQDFAOEBCP 图 5 图 6 二、构图推广 例 2：如图 7，在正方形ABCD各边上分 别 取 四 个 点：1B、1C、1D、1A，使 得A B1=B C1=C D1=D A1=ABDACDBCAB541111=，依 次 连 接 它 们，得 到 四 边 形1111DCBA；再 在 正方 形1111DCBA各边 上 分 别 取 点2B、2C、2D、2A，使 112121212154BAADDCCBBA=，依次 连接它们，得到四边形2222DCBA；如此继续下去，得到四条螺旋折线。（1）求证：四 边形1111DCBA是正方形；（2）求ABBA11的值；（3）请研究螺旋折线中相邻线段之间的关系，写出一个正确结论并加以证明。（2022 台第 2 期 陈咸存：几何画板在中考数学中的应用 109 州市中考数学 23 题）B1A1C1D1B2A2C2D2CDAB B1A1C1D1B2A2C2D2t=0.8CDAB 图 7 图 8（一）构图（1）绘制正方形ABCD。画线段AB，双击点A，选中线段AB、点B用变换中的旋转090-得线段AD、点D；双击点B，选中线段AB、点A用变换中的旋转090得线段BC、点C，连接CD。（2）螺旋折线。用数据 中的新建参数并赋初值0.8，即54，得8.0=t，双击点 D，选中点 A 用变换中的缩放以8.0=t为标记比缩放得点1A；双击点A，选中点B用变换中的缩放以8.0=t为标记比缩放得点1B。依次选中点A、B用变换中的迭代选中点1A、1B迭代次数为 2 可得图 7。若迭代次数为 6 则可得图 8。（二）推广 当参数t的值为 0.3 时，图 8 即为图9。一 般 地t可 为(0,1)中 的 任 意 值，即01t，可证螺旋折线中相邻线段之比)1,3,2,1()1(02211BBinittBBBBiiii为时当=-+=-+)10BBi为时当=。CDBDABC 图 9 图 10 三、探究猜想 例3：小王在学习浙教版九上课本第72页例 2 后，进一步开展探究活动，将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转）（00900，得到矩形ABCD，连结BD。探究 1如图10，当090=时，点C 恰好在 DB 延长线上，若1=AB，求BC的长；探究 2如图11，连结AC，过点D 作/ACMD交BD于点M，线段DM与DM相等吗？请说明理由；探究 3在探究 2 的条件下，射线DB分别交AD、AC 于点P、N（如图 12），发现线段DN、MN、PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明。（2022 舟山市中考数学 24 题）CMDBDABC 图 11 CPNMDBDABC 图 12（一）构图（1）绘制矩形ABCD。画线段AB，选中点B、线段AB用构造中的垂线过点B作AB的垂线，在垂线上取一点C，隐藏垂线，连接BC。依次选中点B、C用变换中的标记向量即标记BC，选中线段AB、点A用变换中的平移即按标记向量BC平移得线段DC、点D，连接DA。（2）矩形ABCD绕点A顺时针旋转）（00900的矩形ABCD。用数据 中 的 新 建 参 数 赋 初 值080-得 参 数080-=t，双击点 A，选中矩形ABCD（除点A外的 3 点 4 边）用变换中的旋转按标记角度080-=t旋转得矩形ABCD。（3）连接BD、AC，选中点D、线段AC用构造中的110 宁波教育学院学报 2023 平行线交BD于点M，隐藏平行线，连接DM，如图 11。图12：BD于AD交于点P，选中点B、线段BD用构造中的平行线交AC 于点N，隐藏平行线，连接BN。（二）探究 1.探究一：如图 11，选中点D、M用度量中的距离得2.2=MD，选中点D、M用度量中的距离得2.2=DM，用数据中的 计 算 得00.1=DMMD。依 次 选中度 量 值 080-=t、2.2=MD、2.2=DM、00.1=DMMD用数据中的制表，改变t的值 做数学实验2得表 1，由表 1 可猜想：DMMD=。表 1 不同t对应的度量值 t DM DM D MDM-800 2.20 2.20 1.00-600 1.85 1.85 1.00-400 1.42 1.42 1.00-300 1.16 1.16 1.00-200 0.85 0.85 1.00-100 0.47 0.47 1.00 2.探究二：如图 12，类似探究一改变t的值做数学实验得表 2，由表 2 可猜想：PNDNMN=2。表 2 不同t的相应数值 t MN DN PN 2MN DNPN 2MNDNPN-800 2.87 5.07 1.62 8.24 8.24 1.00-700 2.36 4.39 1.26 5.55 5.55 1.00-600 2.05 3.90 1.08 4.20 4.20 1.00-500 1.86 3.51 0.99 3.48 3.48 1.00-300 1.71 2.87 1.02 2.94 2.94 1.00-100 1.78 2.26 1.41 3.19 3.19 1.00 综上可见，信息技术与数学的深度融合，为数学教学提供一种新的学习环境，使数学思想形象化，使学生亲历数学知识的形成以及探索规律的过程。参考文献 1 陈咸存.用几何画板做数学J.宁波教育学院学报,2008(2):65-67.2 陈咸存.用几何画板探究、猜想与验证J.数学通报,2016(4):26-28.3 颜鲁晓.几何画板在高等数学课程中的可视化应用J.现代职业教育,2023(1):25-28.4 陈咸存.等分三角形面积的直线的可视化探究J.中学教研(数学),2015(5):27-28.5 陈咸存.信息技术与初中数学的深度融合J.宁波教育学院学报,2020(3):134-137.6 廖小舟.几何画板与初中数学教学有效融合的探索J.中学教学参考,2022(8):1-3+63.Application of The Geometers Sketchpad in Senior Middle School Entrance Mathematics Examination CHEN Xiancun(Heqin Honors School of Childhood Education,Ningbo Childhood Education College,Ningbo 315336,China)Abstract:Abstract:The Geometers Sketchpad is used to accurately draw the math problems in the senior middle school entrance exam.The trajectory or function image of the corresponding points can be obtained through the dynamic demonstration of the points,and the ideas of solving the problems can be directly explored and guessed in the mathematical experiments.Using The Geometers Sketchpad to assist mathematics teaching is not only conducive to improving mathematics teachers deep integration abi