基于折截面法的两模数直齿轮副齿根应力分析_朱永越.pdf

第 卷 第 期安徽理工大学学报（自然科学版）年 月 （）基于折截面法的两模数直齿轮副齿根应力分析朱永越，李 琦（新南威尔士大学工程学院，新南威尔士州 悉尼；苏州赛腾精密电子股份有限公司 研发中心，江苏 苏州）摘 要：为研究两模数直齿轮副齿根应力特性，根据渐开线齿轮齿廓加工原理，推导出两模数渐开线直齿轮副齿根过渡曲线方程，在此基础上推导出折截面法计算两模数齿轮副的齿根应力公式，获得了不同模数比情况下齿根应力在齿根过渡曲线上的应力分布和齿根应力最大值。结果表明：在过渡曲线上随着切线角的增大，主动轮（小齿轮）、从动轮齿根应力先增大后减小；主动轮（小齿轮）齿根应力最大值随模数比的增大而减小，从动轮齿根应力最大值随模数比的增大而增大，增大模数比可以显著减小主动轮（小齿轮）的齿根应力。关键词：两模数；直齿轮副；过渡曲线；折截面法；齿根应力中图分类号：文献标志码：文章编号：（）收稿日期：作者简介：朱永越（），男，安徽淮南人，在读硕士，研究方向：机械传动及电气控制。，（，；，）：，（）（），（）：；齿根应力是使齿轮发生轮齿折断而失效的重要原因之一。对于齿根应力的计算问题，通常是采用国际标准化组织（）公式，公式在计算齿根应力时仅能得到 切线角处的齿根应力。而折截面法计算齿轮的齿根应力时，齿轮的危险截面垂直于齿轮过渡曲线，这一情况与实际应用中齿轮的裂纹扩展形式相同。折截面法根据齿轮齿廓曲线方程可以得到过渡曲线上任意一点处的齿根应力值，便于分析齿轮副齿轮过渡曲线上的齿根应力分布。主动轮、从动轮模数不同但满足法节相等条件的齿轮副也可以正确啮合，这种齿轮副简称两模数齿轮副。两模数齿轮副齿廓的几何参数随着模数比的变化发生改变。现有齿根应力的计算公式主要针对主动轮、从动轮模数相同的齿轮副。目前，有关两模数渐开线直齿轮副齿根应力特性分析的文献较少。两模数齿轮副齿根过渡曲线上的应力分布和齿根应力最大值的计算都需要齿根过渡曲线的参与。本文根据齿条型刀具加工渐开线齿轮原理推导出两模数齿轮副齿根过渡曲线方程，在此基础上推导出采用折截面法计算两模数齿轮副齿根应力的公式，进而分析两模数渐开线直齿轮副的齿根应力特性。齿轮过渡线曲线方程范成法加工齿轮是将一对相互啮合的齿轮（或齿轮与齿条）之一作为加工刀具，根据渐开线齿轮齿廓啮合原理加工齿廓。图 是滚动角为 时的被加工齿轮过渡曲线上任意一点的坐标确定示意图。坐标系 是加工刀具上随刀具一起运动的移动坐标系，坐标系 是被加工齿轮上的固定坐标系。使用齿条型刀具加工齿轮时，动坐标系 的坐标轴 沿被加工齿轮分度圆 作纯滚动。图 被加工齿轮过渡曲线上任意一点的坐标确定示意图图 中，刀具顶部圆角上的任意一点（，）与被加工齿轮过渡曲线上的点 重合，是齿条刀具在 点处的法线 与节线 的交点。将 点投影到定坐标系 中就可以得到过渡曲线上任意点 的坐标（），（），从而得到与加工刀具模数相同的被加工齿轮的过渡曲线普遍方程为（）()()（）()()（）式中，是被加工齿轮的分度圆半径 ，是被加工齿轮的模数，是被加工齿轮的齿数；（，）是被加工齿轮过渡曲线上任意一点 的坐标；、及端面分度圆压力角的余角 计算公式为：（）（）式（）、式（）中，是刀具顶部圆角圆心到节线的距离，是被加工齿轮的齿顶高系数，是被加工齿轮的顶隙系数，是刀具圆角半径系数，是被加工齿轮的变位系数；是刀具顶部圆角圆心到刀具齿槽中心线的距离，是被加工齿轮的分度圆压力角；为齿轮端面分度圆压力角的余角。由式（）、式（）可以确定两模数齿轮副主动轮、从动轮过渡曲线上任意一点的坐标（，）、（，）及两模数齿轮副主动轮、从动轮端面分度圆压力角的余角、的计算公式为：（）（）（）（）式（）式（）中，、是两模数齿轮副主动轮、第 期 朱永越，等：基于折截面法的两模数直齿轮副齿根应力分析从动轮刀具顶部圆角圆心到节线的距离；、是两模数齿轮副主动轮、从动轮刀具顶部圆角圆心到刀具齿槽中心线的距离；是两模数齿轮副中的模数比，、分别为两模数齿轮副主动轮、从动轮的模数。将式（）和式（）所示的两模数齿轮副主动轮、从动轮齿根过渡曲线上的点代入式（）所示过渡曲线普遍方程中，得到两模数齿轮副主动轮、从动轮过渡曲线方程如式（）和式（）所示：（）|（）|（）（）|（）|（）式（）和式（）中，（）、（）为主动轮齿根过渡曲线上任意一点的坐标，（）、（）为从动轮齿根过渡曲线上任意一点的坐标。两模数齿轮副齿根应力推导折截面法以更接近于实际齿轮断裂面的危险截面确定方式计算齿根应力，断裂点起始于齿根应力最大值处。以折截面法计算同模数齿轮副齿根应力 计算公式为（）式中，为计算两模数齿轮副齿根应力，用下标 进行标注，下标 为、时，分别表示主动轮、从动轮。后面公式中出现的下标 的含义相同。是该齿轮的输入转矩；是齿轮的齿宽；是齿轮的分度圆半径；是齿轮的模数；是齿轮的齿根局部应力系数。的计算公式为 ()（）式中，是被加工齿轮过渡曲线上某点横坐标；是被加工齿轮的分度圆压力角；是力作用线与齿轮对称轴线交点至过渡曲线上待求点的法线与齿轮对称轴线交点之间的距离；是齿轮的截面系数；是接触力作用线与齿轮对称轴线的垂线之间的夹角；是过渡曲线上某点的切线与齿轮对称轴线之间的夹角，即切线角。和 的计算公式如式（）和式（）所示 （）式中，是齿轮过渡曲线上任意点的纵坐标；是齿轮的基圆半径；是载荷角。()|（）式中，是过渡曲线曲率系数 ，是齿轮过渡曲线上任意一点的曲率半径；是截面初始系数，（）（）。将式（）和式（）所示两模数齿轮副主动轮、从动轮的齿根过渡曲线方程代入式（）和式（）中，使得式（）中（）、（），式（）中（）、（）。算例参数本文以主动轮（小齿轮）、从动轮的齿数分别为、的两模数渐开线直齿轮副为研究对象。具体的两模数渐开线直齿轮副传动计算参数如表 所示。表 两模数渐开线直齿轮副传动计算参数输入功率 输入转速（）变位系数齿宽 研究模数比 对两模数齿轮副中齿根应力的影响时，保持从动轮的模数、分度圆压力角等参数不变，根据两模数齿轮副的啮合原理确定主动轮的模数和其他相关算例参数。为避免主动轮齿顶过薄，取模数比；模数比 小于 时主动轮被削弱，取模数比。具体算例参数如表 所示。安徽理工大学学报（自然科学版）第 卷表 两模数渐开线直齿轮副算例参数序号 （）（）两模数齿轮副齿根应力特性 主动轮齿根应力特性）主动轮齿根应力局部系数 按照式（）计算得到不同模数比主动轮齿根应力局部系数随切线角变化曲线如图 所示。图 中，每条主动轮齿根局部应力系数随切线角变化曲线都是先下降后上升，说明在同一模数比下随着切线角的增大主动轮齿根局部应力系数先减小后增大；随着模数比的增大，主动轮齿根局部应力系数随切线角变化曲线上移。由公式（）可知，齿根局部应力系数相当于齿根应力在齿根过渡曲线上作用面积系数，模数比增大导致齿廓尺寸增大，作用面积系数增大，致使齿根局部应力系数增大。由图 可知，齿根局部应力系数的最小值在 切线角附近。图 主动轮齿根局部应力系数随切线角变化图 ）主动轮齿根应力 按照式（）计算得到不同模数比主动轮齿根应力随切线角变化曲线如图 所示。图 中，在同一模数比下随着切线角的增大主动轮齿根应力先增大后减小；随着模数比的增大，主动轮齿根应力随切线角变化曲线下降；每条主动轮齿根应力随切线角变化曲线都是在切线角为 附近出现最大值。图 中这些规律是因为齿根局部应力系数相当于作用面积系数，齿根局部应力系数与齿根局部应力是相反的关系：齿根局部应力系数变大齿根应力变小，齿根局部应力系数变小齿根应力变大。主动轮齿根最大应力在 切线角附近。与文献中同模数齿轮到齿根应力最大处在为 切线角附近结论一致。图 主动轮齿根应力随切线角变化图 从动轮齿根应力特性）从动轮齿根应力局部系数 按照式（）计算得到不同模数比从动轮齿根应力局部系数随切线角变化曲线如图 所示。图 中，在所有算例模数比下，从动轮齿根应力局部系数随着切线角的增大先减小后增大；从动轮齿根局部应力系数的最小值在 切线角附近；这两条规律与图 中主动轮齿根应力局部系数变化规律相同。图 中模数比增大，从动轮齿根局部应力系数随切线角变化曲线下移，从动轮齿根局部应力系数减小，与图 中主动轮齿根应力局部系数变化规律正好相反。这是因为齿根应力局部系数相当于作用面积系数，模数比增大主动轮齿根作用面积系数变大，主动轮齿根应力局部系数变大；虽然从动轮的模数和压力角为 和 保持不变，但相比由模数比增大造成的主动轮齿根作用面积变大，则从动轮齿根作用第 期 朱永越，等：基于折截面法的两模数直齿轮副齿根应力分析面积占比相应变小，进而使从动轮齿根作用面积系数变小，导致从动轮齿根局部应力系数减小。图 从动轮齿根局部应力系数随切线角变化图）从动轮齿根应力 按照式（）计算得到不同模数比从动轮齿根应力随切线角变化的曲线如图 所示。图 中，每条从动轮齿根应力随切线角变化曲线都是先上升后下降，在同一模数比下随着切线角的增大从动轮齿根应力先增大后减小；每条从动轮齿根应力最大值出现在 切线角附近。这些规律与图 中主动轮齿根应力变化规律相同。但图 中随着模数比的增大，从动轮齿根应力随切线角变化曲线上升，与主动轮齿根应力随切线角变化曲线下降的规律相反。这是因为图 中模数比增大从动轮齿根应力局部系数变小，导致图 中模数比增大从动轮齿根应力随切线角变化曲线上升。主动轮、从动轮齿根应力最大值对比根据不同模数比两模数齿轮副主动轮、从动轮齿根应力随切线角变化图（见图、图）得到不同模数比主动轮、从动轮齿根应力最大值图（见图）。图 中两模数齿轮副主动轮齿根应力最大值随着模数比的增大而降低，从动轮齿根应力最大值随着模数比的增大而增大。这是因为随着模数比的增大，主动轮的齿根局部应力系数增大，主动轮齿根应力减小，进而导致其最大值减小；随着模数比的增大，从动轮齿根局部应力系数减小，从动轮齿根应力增大，进而导致其最大值增大。图 从动轮齿根应力随切线角变化图图 中，模数比从 增大到，主动轮（小齿轮）对应的齿根应力最大值从 减小至，降幅；而从动轮对应的齿根应力最大值从 增大到，增幅。可见，增大模数比可以显著减小主动轮（小齿轮）的齿根应力。图 齿根应力最大值图 齿根应力有限元分析 建立分析模型直接利用三维绘图软件生成的两模数齿轮副 安徽理工大学学报（自然科学版）第 卷主动轮与从动轮会发生干涉，需要精确建模。由推导的两模数齿轮副齿根过渡曲线方程式（）和式（）生成数据点坐标，利用数据点坐标拟合成齿轮齿根过渡曲线，据此建立具有精确过渡曲线齿廓的两模数齿轮副三维模型。在建立齿轮的三维模型时，根据载荷点在齿轮齿面上位置作出分割线，装配时分割线的位置就是载荷作用点位置。有限元分析时需要划分精确的网格。齿轮副整体精确划分网格，网格节点多，运算时间长，不利于模型的分析。为提高分析效率，在建立三维模型时将齿轮进行切割，将相互啮合的一对齿及其相邻的两个齿一起分割，有限元分析时整体网格大小取，接触部分的齿轮模型网格大小设置成，接触部分的齿轮模型划分更小的网格有利于提高有限元分析结果的精度。模数比 时网格划分如图 所示。图 有限元网格划分图（）有限元仿真有限元分析时，为保证齿轮副受到的载荷更接近实际工况，本文采用静应力分析，小齿轮为主动轮，加载 的顺时针方向的驱动力矩，自由度只保留 坐标方向的旋转。大齿轮是从动轮，设置成全约束固定。图 是模数比 的齿轮副在载荷作用于主动轮单齿啮合上界点时齿根应力的分布情况。采集不同模数比载荷分别作用于主动轮、从动轮单齿啮合上界点时对应齿轮的齿根应力最大值，获得如图 所示有限元法计算得到两模数渐开线直齿轮副齿根应力最大值图。图 主动轮齿根应力分布图（）图 不同模数比齿根应力最大值图（有限元法）由图 可知，主动轮齿根应力最大值随着模数比的增大而减小，从动轮齿根应力最大值随着模数比的增大而增大。由图 和图 相比可知：图 的有限元分析数据与图 理论计算数据较为贴合，规律一致，说明基于折截面法的两模数渐开线直齿轮副齿根应力计算较为准确。结论（）两模数渐开线直齿轮副中，主动轮（小齿轮）、从动轮过渡曲线上的齿根应力随着切线角的增大，不同模数比下